2026届高三数学一轮复习课件第14讲函数与方程

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第14讲函数与方程，共59页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，BCD，横坐标，fa·fb，fc＝0，研题型·能力养成，零点所在区间的判定，零点个数的判定，根据零点情况确定参数，0∪1＋∞等内容，欢迎下载使用。
1．(人A必一P143例1改)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3
　　　　因为函数的定义域为(0，＋∞)，f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点．又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点．
A．(3，4)B．(2，3)C．(1，2)D．(0，1)
3．(人A必一P155习题T2改)(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　　)A．(1，2) 　　　　B．(2，3) 　　　　C．(3，4) 　　　　D．(4，5)
　　　　由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．
4．(人A必一P160复习参考题T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c
　　　　在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg2x，y＝x3及y＝－x的图象，如图所示，由图象可知b＞c＞a．
　　　　令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．
1．函数零点(1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__________，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2) 存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) ____________＜0．②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法(1) 方法：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)＜0
3．常用结论(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．(2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
　　　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1
　　　　因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2．
确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．
变式1　(2024·安庆期末)函数f(x)＝ln (x－2)＋x－4的零点所在区间为(　　)A．(2，3)B．(3，4)C．(4，5)D．(5，6)
　　　　由条件知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，又f(3)＝－1＜0，f(4)＝ln 2＞0，根据零点存在定理知该函数的零点所在区间为(3，4)．
A．3B．4C．5D．6
函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．
变式2　(2024·湛江二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则(　　)A．当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点B．当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点C．当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点D．当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点
　　　　作出y1＝|2x－1|，y2＝x2－4|x|＋2的大致图象如图所示，两个函数的零点个数转化为图象与y＝a的公共点的个数．由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点．
视角1　根据零点个数求参数范围
A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)
　　　　由F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，得函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a的图象有2个交点，画出函数图象如图所示，平移直线y＝－x，可以看出当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点．
已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围；(2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解．
1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)A．3B．2C．1D．0
　　　　由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象如图所示．由图可知两个函数的图象有2个交点．
2．(2024·泰州期末)(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则(　　　)  A．f(x)在区间(2，3)上不一定单调B．f(x)在区间(5，6)内可能存在零点C．f(x)在区间(5，6)内一定不存在零点D．f(x)至少有3个零点
　　　　由所给表格可知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，所以f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0．又函数y＝f(x)的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上存在零点，即f(x)至少有3个零点，故D正确；对于A，由于只知道f(2)，f(3)的函数值，故无法判断f(x)在区间(2，3)上的单调性，故A正确；对于B，C，虽然f(5)＜0，f(6)＜0，但不知道函数在(5，6)内的取值情况，所以函数在(5，6)内可能存在零点，故B正确，C错误．
3．(2024·镇江模拟)若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是___________________．
　　　　函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，即y＝|ex－1|的图象与直线y＝b只有1个交点．作出y＝|ex－1|的大致图象与直线y＝b如图所示，由图可知，实数b的取值集合是{0}∪[1，＋∞)．
A组　夯基精练一、单项选择题1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　　)A．0B．1C．2D．3
　　　　设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点．因为f(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，故k＝1．
2．(2024·北京西城模拟)函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3
　　　　由f(x)＝0可得|ln x|＝e－x，作出函数y＝|ln x|与y＝e－x的图象如图所示．由图可知，函数y＝|ln x|与y＝e－x的图象的交点个数为2，故函数f(x)的零点个数为2．
A．0B．1C．2D．3
　　　　作出函数y＝f(x)的图象如图所示．将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数．由图可知，当a＜0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象有1个交点；当a＞0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有3个交点．所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有2个交点．
二、多项选择题5．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：  则一定包含f(x)的零点的区间是(　　　)A．(－1，1)B．(1，3)C．(3，5)D．(5，7)
　　　　因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零点的区间是(－1，1)，(3，5)，(5，7)．
6．若关于x的方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是(　　　)
三、填空题8．函数f(x)＝sin x－lg2x的零点个数为_____．
　　　　注意到lg22＝1，在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x与y＝lg2x的图象如图所示，易知零点个数为1．
9．(2024·潍坊二模)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝________________________．①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值．
　　　　取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)；令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，满足②f(x)至少有两个零点；f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值．
x2－2x(答案不唯一)
(1) 函数f(x)的零点个数为_____．
　　　　当m＞0时，可知f(x)有一个零点x＝－m；当m＝0时，f(x)有一个零点x＝0；当m＜0时，可知f(x)有一个零点x＝0．综上，函数f(x)的零点个数为1．
(2) 若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则实数m的取值范围是_______________________．
　　　　如图(1)所示，当m＞0时，若要满足题意需2m＞m2，得m∈(0，2)；当m＝0时，不符合题意；如图(2)所示，当m＜0时，若要满足题意需m2＞－2m，得m＜－2．综上，实数m的取值范围是(0，2)∪(－∞，－2)．
(0，2)∪(－∞，－2)
四、解答题11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1．(1) 求函数f(x)的解析式；
11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1．(2) 讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数．
当m＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有1个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有2个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上无零点．根据奇函数的对称性可得，当m＝－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有3个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有5个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有1个零点．