2026届高三数学一轮复习课件第52讲计数原理

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第52讲计数原理，共58页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，排列与组合的概念，一定的顺序，不同排列，不同组合，研题型·能力养成，两个计数原理的应用，排列与组合，答案D，隔板法等内容，欢迎下载使用。
1．(人A 选必三P5练习T1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是_____．
　　　　因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9．
2．(人A 选必三P5练习T1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是_____．
　　　　因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6．
3．(人A选必三P25练习T3(2))有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有______种不同的选法．
4．(人A 选必三P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有______项．
　　　　根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45．
5．(人A选必三P26习题T9)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有_______种不同的排法．
1．两个计数原理的区别与联系
3．排列数与组合数(1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．(2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____________的个数，用符号_______表示．
4．排列数、组合数的公式及性质
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
　　　(1) (2024·揭阳二模)智慧农机是指配备先进的信息技术传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机．正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有_______种不同的选择方案．
　　　(2) 如果一条直线与一个平面平行，那么称该直线与该平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是______．
　　　　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另外，含4个顶点的6个对角面构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．
思路：(1) 弄清完成一件事是做什么；(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3) 弄清分步、分类的标准是什么；(4) 利用两个计数原理求解．
变式1　(1) 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)A．120B．160C．180D．240
　　　　根据题意，规定一个区域只涂1种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法．
(2) (2024·石家庄二模)各位数字之和为4的三位正整数的个数为______．
　　　　因为4＝1＋1＋2或4＝2＋2＋0或4＝4＋0＋0或4＝1＋3＋0，所以各位数字之和为4的三位正整数有400，220，202，112，121，211，130，103，310，301，共10个．
视角1　相邻、相间问题　　　　　(1) (2024·岳阳三模)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法种数为(　　)A．96B．60C．48D．36
(2) (2024·金华义乌三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱．某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是(　　)A．36B．48C．60D．72
相邻、相间问题的解题策略：
变式2－1　(2025·济南期初)由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为(　　)A．60B．108C．132D．144
视角2　分组分配问题　　　　　(1) (2024·河南济、洛、平、许四模)为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案种数为(　　)A．10B．20C．216D．729
　　　　　(2) (2024·杭州二模)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是(　　)A．300B．240C．150D．50
对于不同元素的分配问题，可以按需分配(即定人又定数可直接取)，也可按先分组后分配的方式处理，分组时应注意整体均匀分组与部分均匀分组的区别．(2) 部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3) 不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
变式2－2　(2024·承德、衡水二模)将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一个人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为(　　)A．78B．92C．100D．122
视角3　定序问题　　　　　在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A，B，C，D，E，F共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A，C，D按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为(　　)A．100B．120C．300D．600
变式2－3　将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为(　　)A．480B．360C．120D．240
　　　(2024·湖北联考)已知x，y，z∈N*，且x≥1，y≥2，z≥3，则方程x＋y＋z＝10的解的组数为______．
对于相同元素的分配问题，可以利用分类加法计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”．把n个相同的小球放到m(m＜n)个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是：
变式3　某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少分配一个篮球，则不同的分配方法种数为(　　)A．126B．84C．72D．48
1．(2025·德州期初)为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈、摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为(　　)A．48B．36C．24D．12
2．(2023·全国乙卷理)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　)A．30种B．60种C．120种D．240种
3．(2024·厦门四检)某校5名同学到A，B，C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有(　　)A．18种B．30种C．42种D．60种
4．用四种颜色给图中的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，若四种颜色全用上，则不同的涂法种数为(　　)A．72B．96C．108D．144
　　　　设四种颜色为1，2，3，4，①先涂区域B，有4种填涂方法，不妨设涂颜色1；②再涂区域C，有3种填涂方法，不妨设涂颜色2；③再涂区域E，有2种填涂方法，不妨设涂颜色3；④若区域A填涂颜色2，则区域D，F填涂颜色1，4或4，3，若区域A填涂颜色4，则区域D，F填涂颜色1，3或4，3，共4种不同的填涂方法．综合①②③④，由分步乘法计数原理可得，共有4×3×2×4＝96(种)不同的填涂方法．
A组　夯基精练一、单项选择题1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，则甲不站在两端，且丙和丁相邻的不同的排列方式有(　　)A．12种B．24种C．36种D．48种
2．(2023·全国甲卷理)有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为(　　)A．120B．60C．40D．30
3．(2024·武汉2月调研)将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为(　　)A．7B．8C．9D．10
4．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)A．120种B．180种C．221种D．300种
　　　　当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅱ有4种涂色方法，Ⅲ有3种涂色方法，此时共有5×4×3×1＝60(种)涂色方法；当Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅳ有4种涂色方法，Ⅱ有3种涂色方法，Ⅲ有2种涂色方法，此时共有5×4×3×2＝120(种)涂色方法．综上，共有60＋120＝180(种)不同的着色方法．
5．(2024·河南济、洛、平、许三模)有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有(　　)A．180种B．150种C．90种D．60种
6．小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择)，单价均为一元一本，小明只有8元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有(　　)A．70种B．165种C．280种D．1 860种
7．(2025·大同期初)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　)A．32个B．28个C．27个D．24个
二、多项选择题8．(2024·镇江期初)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列说法正确的是(　　　)A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法D．共有18种安排方法
9．现有4个小球和4个小盒子，下面的说法正确的是(　　　)A．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，共有24种放法B．将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有两个空盒的放法共有18种C．将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，恰有一个空盒的放法共有144种D．将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种
编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2，1，4，3)代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，则所有符合要求的情况为(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9种放法，故D正确．
三、填空题10．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．(用数字作答)
11．7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，则不同的排法种数为_______．(只考虑左右人选，不考虑具体方位)
12．(2024·邢台一模)4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为_______．
13．(2024·张家口一模)有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有______种．(用数字作答)
14．(2024·永州三模)在2024年龙舟公开赛期间，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法有______种．
B组　滚动小练15．(2024·安庆池州铜陵期初联考)(多选)已知x＝1为函数f(x)＝x2－3x－lgax的极值点，则(参考数据：ln 2≈0.693 1)(　　)A．f(x)在(0，1)上单调递减B．f(x)的极小值为－2
16．(2024·惠州一调)设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9．(1) 求数列{an}的通项公式；
　　　　由题意，等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9，即d＝2a1，a1＋4d＝9，解得a1＝1，d＝2，故an＝1＋2(n－1)＝2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1．