2026届高三数学一轮复习课件第54讲随机事件与概率

这是一份2026届高三数学一轮复习课件第54讲随机事件与概率，共54页。PPT课件主要包含了链教材·夯基固本，答案D，基本结果，A⊆BA＝B，A∩B＝∅A∪B＝Ω，有限个，PA＋PB，－PB，研题型·能力养成，随机事件的关系与运算等内容，欢迎下载使用。
1．(人A 必二P233练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是(　　)A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没中靶
　　　　对于A，“至多一次中靶”包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件；对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B不满足条件；对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满足条件；对于D，“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件．
2．(人A必二P243习题T3(2))抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是(　　)A．A与B互为对立事件B．A与B互斥C．A与B相等D．P(A)＝P(B)
3．(人A 必二P242练习T1)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3．(1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______；
　　　　如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3．
(2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____．
　　　　如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0．
4．(人A必二P243习题T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是______．
5．(人A必二P239练习T3)从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为1的概率是______；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______．
1．样本空间和随机事件(1) 样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2) 随机事件①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件．②表示：大写字母A，B，C，…．③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
3．古典概型(1) 有限性：样本空间的样本点只有__________；(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性________．4．古典概型的概率公式
5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0．性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝__________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝___________________.
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
　　　　　(1) 口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则下列是互斥而不对立的事件是(　　)A．“至少有1个红球”与“至少有1个黑球”B．“至少有1个红球”与“都是黑球”C．“至少有1个红球”与“至多有1个黑球”D．“恰有1个红球”与“恰有2个红球”
　　　　对于A，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，“至少有1个红球”与“都是黑球”不能同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如“恰有3个红球”，所以D符合题意．
　　　　　(2) 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)A．A⊆DB．B∩D＝∅C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
　　　　用(x1，x2)表示试验的射击情况，其中x1表示第1次射击的情况，x2表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．由题意得，A＝{(1，1)}，B＝{(0，0)}，C＝{(0，1)，(1，0)}，D＝{(0，1)，(1，0)，(1，1)}，则A⊆D，A∪C＝D，且B∩D＝∅，即A，B，C都正确；又B∪D＝Ω，A∪B＝{(0，0)，(1，1)}≠Ω．所以A∪B≠B∪D，故D不正确．
判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
变式1－1　(1) 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　)A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
　　　　A中，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；B中，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；C中，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；D中，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．
(2) (多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是(　　　)A．B∪C＝DB．A∩C≠∅C．C⊆DD．B∩D＝B
　　　　对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确；对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝∅，故B错误；对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确；对于D，由C选项可知B⊆D，所以B∩D＝B，故D正确．
视角2　利用事件的互斥、对立关系求概率
视角3　用频率估计概率　　　　　某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示．若每辆车的投保金额均为2 500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为________；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4 500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4 500元的概率为________．
【答案】0.21 0.18
变式1－3　某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C三个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费80元、50元、30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1) 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2) 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？
　　　　甲分厂加工100件产品的总利润为45×(80－40)＋30×(50－40)＋25×(30－40)＝1 850(元)，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为18.5元．乙分厂加工100件产品的总利润为40×(80－35)＋10×(50－35)＋50×(30－35)＝1 700(元)，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为17元．故该厂家应选甲分厂承接加工业务．
　　　(1) (2023·全国乙卷文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　)
(2) (2024·苏锡常镇调研)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为(　　)
求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)，以及排列、组合法．
变式2　(2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是(　　)
　　　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．  (1) 求派出医生至多2个的概率；
　　　　设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名或5名以上医生”，且事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04．“派出医生至多2个”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
　　　某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．  (2) 求派出医生至少2个的概率．
　　　　方法一：“派出医生至少2个”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74．方法二：“派出医生至少2个”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74．
求复杂互斥事件的概率的两种方法(1) 直接法(2) 间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．
1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　)
　　　　方法一：画出树状图，如图，
3．(2024·济南一模)某公司现有员工120人，在荣获“优秀员工”称号的85人中，有75人是高级工程师，既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人．公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选中的员工是高级工程师的概率为(　　)
一、单项选择题1．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
2．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　)
3．(2024·唐山一模)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为(　　)
4．(2024·黄山一检)2024年是安徽省实施“3＋1＋2”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是(　　)
二、多项选择题5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是(　 　)A．E与G是互斥事件B．F与I是互斥事件，且是对立事件C．F与G不是互斥事件D．G与I是互斥事件
　　　　对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件，故B正确；对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确；对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误．
6．对于事件A和事件B，P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则下列说法正确的是(　 　)A．若A与B互斥，则P(AB)＝0.3B．若A与B互斥，则P(A∪B)＝0.9C．若A⊆B，则P(AB)＝0.18D．若A与B相互独立，则P(AB)＝0.18
　　　　对于A，若A与B互斥，则P(AB)＝0，故A错误；对于B，若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.9，故B正确；对于C，若A⊆B，则P(AB)＝P(A)＝0.3，故C错误；对于D，若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.18，故D正确．
三、填空题7．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为______．
8．(2024·十堰4月调研)某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班，已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是______．
9． 某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，抽到一等品或三等品的概率为0.85，则抽到一等品的概率为________．
四、解答题10．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(1) 求频率分布直方图中a的值，并估计1 000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)；
　　　　由(0.002 5＋0.010 0＋a＋0.015 0＋0.010 0)×20＝1，可得a＝0.012 5，这 1 000名学生每日的平均阅读时间为10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90× 0.2＝58(min)．
11．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；