2026届高三数学一轮复习课件第51讲数据分析——列联表与独立性检验

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1．为调查中学生近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，下列方法最有说服力的是(　　)A．回归分析B．均值与方差C．独立性检验D．概率
2．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表：根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2＞10.828，所以断定秃发与心脏病有关系，则这种判断出错的可能性不大于_________．
　　　　因为χ2＞10.828＝x0.001，所以判断出错的可能性不大于0.001．
3．(人A选必三P139复习参考题T3)根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(　　)A．变量x与y不独立B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量x与y独立D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
　　　　因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1．
4．(人A选必三P134练习T4改)已知变量X，Y，由它们的样本数据计算得到χ2的观测值χ2≈4.328，则最大有________(填百分数)的把握说变量X，Y有关系．
　　　　因为χ2≈4.328＞3.841＝x0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为变量X，Y有关系，所以最大有95%的把握认为变量X，Y有关系．
5．(人A选必三P135习题T8)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表(单位：人)：
依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_______的前提下可以认为性别与出生时间有关联．
1．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
3．独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
　　　(2024·晋城三模节选)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若该班级共有36名学生，具体见列联表信息．
(1) 依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关；
(2) 为进一步验证(1)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(1)中列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数)．若要使得依据α＝0.001的独立性检验可以肯定(1)中的判断，试确定k的最小值．
独立性检验的方法：(1) 构造2×2列联表；(2) 计算χ2；(3) 查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．
变式1　(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
(1) 填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
　　　　根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：
独立性检验与回归分析的综合
　　　下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”违章驾驶人次统计数据．
(2) 交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断“礼让行人”行为与驾龄是否有关联，并用一句话谈谈你对结论判断的体会．
　　　　根据题中的列联表补全得下表：
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
1．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样的方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：则a－b－c＝(　　)A．7　　　　　　B．8　　　　　C．9　　　　　　D．10
　　　　由题意得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9．
2．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c的值可以为(　　)(附：x0.025＝5.024)A．3B．4C．5D．6
　　　　2×2列联表如下：
3．(2024·湛江一模)(多选)某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
下列说法正确的有(　　　)  B．χ2＞6.635C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
4．(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：
　　　　s＝100＋80＝180，t＝400－250＝150．
(2) 记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；
(3) 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
一、单项选择题1．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
　　　　对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是不是线性相关，故A错误；对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故B错误；对于C,99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟的人中患肺病的发病率，故C错误；对于D，根据χ2计算的定义可知D正确．
2．某校为了研究“学生的性别”与“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过(　　)A．0.1%B．1%C．0.5%D．0.25%
　　　　因为χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，所以认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过1%．
3．(2024·枣庄一模)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为(　　)A．两种疗法的效果存在差异B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005C．两种疗法的效果没有差异D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
　　　　零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881＜7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．
4．(2024·临汾二模)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开阔眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下：
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为(　　)A．10B．20C．30D．40
二、多项选择题5．某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出(　 　)B．该学校男生比女生更经常锻炼C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
6．(2024·南昌二模)为了解中学生喜爱足球运动与性别是否有关，甲、乙两校的课题组分别随机抽取了本校部分学生进行调查，得到如下两个表格：甲校样本乙校样本
则下列判断中正确的是(　 　)A．样本中，甲校男学生喜爱足球运动的比例高于乙校男学生喜爱足球运动的比例B．样本中，甲校女学生喜爱足球运动的比例高于乙校女学生喜爱足球运动的比例C．根据甲校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关D．根据乙校样本有99%的把握认为中学生喜爱足球运动与性别有关
7．(2024·湖北八市3月联考)某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，根据调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则(　　　)参考数据：本题中χ2≈3.94．A．表中a＝12，c＝30B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
三、填空题8．下表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈_________(结果保留到小数点后3位)．
　　　　设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得 2×2列联表如下：
四、解答题10．(2024·保定二模)某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图(1)所示的强化训练前的频率分布直方图，如图(2)所示的强化训练后的频率分布直方图．
(1) 根据图中数据，估计强化训练后的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与成绩的中位数(中位数精确到0.01)；
　　　　强化训练后的平均成绩约为55×0.04＋65×0.16＋75×0.2＋85×0.32＋95×0.28＝81.4．由于前三列概率之和为0.04＋0.16＋0.2＝0.4，设中位数为80＋x，则0.032x＝0.1，解得x＝3.125，所以中位数约为83.13．
(2) 我们规定得分80分以上(含80分)的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
将上面的表格补充完整，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
　　　　零假设为H0：跳水运动员是否优秀与强化训练无关．补充完整的2×2列联表如下：
11．某校为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2023年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表．
(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：
请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生对劳动课程是否满意与性别有关．