2025-2026学年浙江省杭州市名校九年级上学期期中数学试卷（解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（ ）
A.圆外B.圆上
C.圆内D.不能确定
【答案】A
【解析】∵，
∴这点在圆外，
故选：A．
2.下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A.小明买彩票中奖
B.任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
C.任意三角形的两边，其差小于第三边
D.在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球
【答案】D
【解析】A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意；
B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意；
C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意；
D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意；
故选：D．
3.如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】，
，
故选：A．
4.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】∵ 抛物线解析式为 ，符合顶点式形式，
∴ 顶点坐标为．
故选：B．
5.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，
故选：C．
6.已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A.36B.5
C.2D.6
【答案】D
【解析】设a，b的比例中项线段为c，
则，
∵，
∴．
故选：D．
7.如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A.有最大值，无最小值B.有最大值，有最小值
C.有最大值，有最小值D.有最大值，有最小值
【答案】C
【解析】由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为，
∵此抛物线开口向下，
∴此函数有最大值，最大值为；
∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值，
当时，，
∴当时，，即函数有最大值，有最小值．
故选：C．
8.如图，四边形是的内接四边形，E在的延长线上，若，则的度数是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】∵，
设，则．
，
∴，
解得，
，
，，
．
故选：D．
9.若二次函数的图象经过，，三点，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】，
图象的开口向上，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大，
点关于直线的对称点为，
，
．
故选：A．
10.如图，是的直径，点在上位于直径两侧，且，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的度数为，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11.一个仅装有球的不透明布袋里共有个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是______．
【答案】
【解析】这个布袋里红球的个数是个．
故答案为：．
12.抛物线与x轴的交点个数为______ 个．
【答案】2
【解析】由二次函数得，，，，
则，
所以抛物线与轴有2个交点．
故答案为：2．
13.一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留）
【答案】
【解析】一个扇形的圆心角为，半径为2，
这个扇形的面积为，
故答案为：．
14.若，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15.如图，点为正八边形的中心，则的度数为______．
【答案】
【解析】作正八边形的外接圆，连接OA、OB，如图：
∴，
由圆周角定理得：
；
故答案为：．
16.已知二次函数的图象的对称轴为直线若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵二次函数的图象的对称轴为直线，
，
解得．
∴二次函数为．
当时，取得最大值4；
当时，；
当时，；
时，．
∵即的解相当于与直线的交点，
当即时，在的范围内有解，
的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
（1）转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）转盘转动两次，求指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
解：（1）∵一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，
转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中指针两次所指区域的数字之和是偶数的结果有8种，
指针两次所指区域的数字之和是偶数的概率
18.某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
（1）求此二次函数的表达式：______；
（2）的值是______．
解：（1）观察表格中的x、y的值，可知、是对称点，
所以抛物线的对称轴是直线，
所以顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式中，可得，
解得，
所以该二次函数的表达式为，即．
故答案为：；
（2）当时，，
．
故答案为：．
19.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出绕点B顺时针旋转后得到；
（2）点的坐标为______；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）由图可知：.
故答案为：(0，-1).
（3）由勾股定理，得，
点C经过的路径长
20.如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
（1）证明：；
（2）若，，求弦的长．
解：（1）为的直径，是弦，且，
，
；
（2）为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
21.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
解：(1)y=-x2+3x+1=-+
∵-＜0，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
(2)当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
22.随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元．
（1）用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
（2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
（3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②.
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则

，
当时，有利润的最大值为3600元．
23.在二次函数中．
（1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
（2）若点在抛物线上，令，求证：．
（3）如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
解：（1）根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
24.如图1，点，，都上，且平分，交于点．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）如图2，是直径，与相交于点．
①若，，求的半径．
②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）∵平分，
∴，
∴，
即是等腰三角形；
（2）①如图，连接，
设，则，．
由（1）知，
又，
∴，
∴在中，，即，
解得，（不合题意，舍去），
即的半径为；
②．
理由如下：
如图，过点作于点，
∵是的直径，
∴．
∵平分，，，
∴，，
由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
x
0
1
2
3
4
y
0
1
0
m