2025~2026学年浙江省宁波市慈溪市名校九年级（上）月考数学试题（解析版）

这是一份2025~2026学年浙江省宁波市慈溪市名校九年级（上）月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上
B. 顶点坐标是
C. 图象与轴交点的坐标是
D. 图象在轴上截得的线段长度是4
【答案】D
【解析】根据得顶点坐标是， ，
∴抛物线开口向下；
故A，B错误；
令，得，
∴图象与轴交点的坐标是；
故C错误；
令，得，
解得，
∴，
故D正确，
故选D．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件
B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C. 射击运动员射击一次，命中10环是必然事件
D. “掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件
【答案】D
【解析】、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意；
、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意；
故选：．
3. 如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】如图，由题意得：，米，
∴，
∴米，
即她沿垂直方向升高了米，
故选：D．
4. 如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】是半圆的直径，
，
，
，
．
故选：B．
5. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】D
【解析】根据网格可得，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
故选：D．
6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D的坐标为，
故选：C．
7. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为cm，油漆面宽为cm，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ）
A. cmB. cm
C. cmD. cm
【答案】B
【解析】过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图，
∵油漆桶的直径为，
∴，
∵，
∴，
∴
∴油漆桶中油漆的最大深长为．
故选：B．
8. 如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：C．
9. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，得：，
∴设，，则：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得或（不合题意，舍去）；
在中，；
故选A．
10. 在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ）
A. B. 2
C. 2D. 4
【答案】B
【解析如图，延长至点，使，
D为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，即，
，
点是的中点，
，D为中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，
当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大，
，
，即为等腰直角三角形，
∵，，
，
．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有________个．
【答案】9.
【解析】设红球有x个，
∵白球有3个，
∴口袋中有（x+3）个球，
∵从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，
∴，
解得x=9（个）．
12. 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为______．
【答案】
【解析】设该扇形的半径为，
∵一个扇形的圆心角为，其弧长为，
∴，
∴，
∴该扇形的面积为，
故答案为：．
13. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____．
【答案】
【解析】，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；时，，当时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
14. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【解析】∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
15. 如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________．
【答案】
【解析】如图，在图中标注，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（舍去），
∵
∴，
∴，
∴
故答案为：．
16. 四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为________．
【答案】
【解析】如图，过D作于E，过B作于F，
∵，
∴，则，
设 ，则，
，，
，
，
，
即，
，
∵O是的中点，
，
，
，
，
，
在中，，
由勾股定理：，即，
解得：，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有8小题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
18. 一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
（1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________；
（2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
解：（1）∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同，
∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．
19. 如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
（1）在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得；
（2）在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等．
解：（1）如图，取格点、，连接，与交于点，
设正方形网格的边长为1，则，，
，
，
，
点为所求作；
（2）如图，取格点、，连接、，与的交点为点，
则四边形是平行四边形，
，
，
，
与不全等，
点和点为所求作．
20. 某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行．
若火箭第二级的引发点的高度为．
（1）求两段路径所在函数解析式；
（2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
解：（1）∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得，，
∴函数解析式分别为：，；
（2），
∴最大值，
当时，则，
解得，，
又∵时，，
∴当时，则．
解得，
，
∴这两个位置之间的距离．
21. 如图，四边形为的内接四边形，连结，交于点E．若，．
（1）求的大小（用含的代数式表示）．
（2）若，，求的长．
解：（1）∵，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
（2）由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
∴设，则，
∵，
∴，
解得：或（舍去负值），
∴，，
∵在中，，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
22. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
（1）填空： ， ；
（2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
解：（1）过点C作，
∵垂直于，
∴，
∴，
∵与水平线平行，
∴，
∴，
∴，
故答案为：64；53；
（2）过点D作，过点E作，如图所示：
∴四边形为矩形，
同理得：四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23. 已知二次函数（m为常数）．
（1）若点在该函数图象上，则______；
（2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
解：（1）将代入，
得：，
解得，
故答案为：2；
（2）由题可知，
∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
（3）的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴二次函数图象开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或．
24. 如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的值．
（3）在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长．
解：（1）设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴点在线段的垂直平分线上，
如图所示，连接并延长交于于点，
∴，，，
∴，
在中，设，则，，
∴，
∴；
（3）由（2）可得，，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
中，，
在中，，
∴，即，
解得，，即，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
如图所示，连接，过点作于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
解得，，
在中，．