高考物理一轮复习讲义专题提升练22　用“动态圆”思想解答临界、极值问题

这是一份高考物理一轮复习讲义专题提升练22　用“动态圆”思想解答临界、极值问题，共8页。试卷主要包含了5d处射入，不会进入Ⅰ区等内容，欢迎下载使用。
1.(2025·南宁模拟)如图所示，边长为L的正方形abcd区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能从bc边离开磁场，则该粒子入射的速率为(A)
A.qBL3m B.qBL4mC.3qBLm D.4qBLm
解析 已知粒子恰好能从bc边离开磁场，可知轨迹与bc边相切，作出轨迹如图所示，根据几何关系有R+Rsin 30°=L2，解得R=L3，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=mv2R，联立解得v=qBL3m，A项正确。
2.(多选)如图所示，在水平边界OP上方有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，OP距离为2 m，PQ是一足够长的挡板，OP延长线与PQ的夹角为θ，粒子打在挡板上均被吸收。在O、P之间有大量质量、电荷量和速度都相同的粒子，速度方向均垂直于边界OP，且在纸面内。其中从OP中点射入的粒子恰能垂直打在挡板上(不计粒子重力及其相互作用)。则下列说法正确的是(AC)
A.θ=30°时，PQ上粒子打中区域的长度为3 m
B.θ=30°时，PQ上粒子打中区域的长度为2 m
C.θ=60°时，PQ上粒子打中区域的长度为233 m
D.θ=60°时，PQ上粒子打中区域的长度为1 m
解析 由于粒子从OP中点射入恰能垂直打到挡板上，即粒子运动半径r=1 m，当θ=30°时，如图甲所示，粒子打中挡板的长度L=2rcs θ=3 m，A项正确，B项错误；当θ=60°时，如图乙所示，粒子打中挡板的长度L=rsin θ=233 m，C项正确，D项错误。
3.(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则(BD)
A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B.磁感应强度大小为mv0qR
C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为πR3v0
D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为πR2v0
解析 由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径，粒子带正电，所以根据左手定则和磁发散原理可知，从C点射入磁场中的所有粒子均平行于AB向上射出，A项错误；根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=mv02R，所以B=mv0qR，B项正确；若粒子经过圆心O，则其圆心角等于120°，所以粒子在磁场中运动的时间为t=120°360°T=13·2πRv0=2πR3v0，C项错误；若粒子沿着CO方向射入磁场，其圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为t'=14T=14·2πRv0=πR2v0，D项正确。
4.(多选)(2025·邢台模拟)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是(BC)
A.粒子可能从B点射出
B.若粒子垂直BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为34L
C.若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为πm3qB0
D.若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
解析 带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能达到B点，A项错误；粒子垂直BC边射出，如图甲所示，粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离，R1=12Lsin 60°=34L，B项正确；粒子从C点射出，如图乙所示，根据几何关系可得粒子轨迹对应的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间为t=60°360°T=16×2πmqB0=πm3qB0，C项正确；qvB0=mv2r，可知r=mvqB0，若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示，粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，D项错误。
5.(多选)如图所示，平面直角坐标系中，A点的坐标为(3d，0)，在y轴和直线AD之间存在垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在AD和AC之间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度均为B，AD、AC边界的夹角∠DAC=30°。质量为m、电荷量为+q的粒子可在边界AC上的不同点射入，入射速度垂直AC且垂直磁场，若入射速度大小为qBdm，不计粒子重力，则(ACD)
A.粒子在磁场中的运动半径为d
B.粒子距A点0.5d处射入，不会进入Ⅰ区
C.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子在区域Ⅰ中运动的最短时间为2πm3qB
D.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子从距A点(3-1)d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间最短
解析 根据Bqv=mv2r可得r=mvBq=mBq·qBdm=d，A项正确；如图甲所示，设粒子从M点入射时，轨迹和AD相切，则O1A=2d，AM=d，可知粒子距A点0.5d处射入，会进入Ⅰ区，B项错误；粒子在区域Ⅰ运动时间最短时，轨迹如图乙所示，此时MN平行于x轴，又MN=3d，由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为T3=13·2πmqB=2πm3qB，C项正确；由几何关系可知∠AO2N=30°，AO2=3d，又r=d，则AE=(3-1)d，D项正确。
梯级Ⅱ能力练
6.(2025·抚州模拟)如图所示，P点处固定一位于纸面内的质子源，它可以向各个方向均匀发射速率相同的质子，在P点下方放置有长度为L=2.0 m以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离OP为a，在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。不考虑粒子间的相互作用，质子的电荷量q=1.6×10-19 C。若质子的质量m=1.7×10-27 kg，质子的动量p=4.8×10-21 kg·m/s。求:
(1)当a=0.3 m，B=0.1 T时，求计数率η(即打到探测板上的质子数与总质子数的比值)；
(2)当a=0.3 m，B=0.1 T时，求质子从质子源出发到探测板上运动的最长时间；
(3)若a取不同的值，可通过调节B的大小获得与(1)问中同样的计数率，求B与a的关系并给出B的取值范围。
解析 (1)根据洛伦兹力提供向心力qvB=mv2R，
解得R=mvqB=pqB=0.3 m，
竖直向上和竖直向下射出的质子刚好能打到探测板上，运动轨迹如图甲所示，
故能够打在探测板上的角度α=π，
计数率为η=α2π=π2π=12。
(2)由图甲可知，竖直向上的粒子运动时间最长，为t=2πmqB×34≈5.0×10-7 s。
(3)由(1)中分析可知，在确保计数率相同的情况下，只要满足R=a，
结合(1)中半径公式可得B=pqR=3100a，
若刚好打到探测板最左端时为粒子运动所允许的最大半径，如图乙所示，
由几何关系可得(2Rmax)2=Rmax2+L22，
解得Rmax=33 m，
由于R=a，
可得amax=33 m，
结合B与a的关系可得B≥31003 T。
答案 (1)12 (2)5.0×10-7 s (3)B=3100a
B≥31003 T
7.如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一系列带正电的粒子以不同的速率从O点沿垂直于磁场方向且与 ON成30°角方向射入磁场。已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，重力不计，不考虑带电粒子间的相互作用力。
(1)若带电粒子能从半圆形磁场边界的圆弧部分射出，求粒子速率应满足的条件；
(2)若带电粒子恰好从P点射出磁场，求带电粒子的速率及其在磁场中的运动时间；
(3)若带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，求带电粒子的速率。
解析 (1)如图甲所示，带电粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时恰好不从磁场圆弧部分边界射出，设此时粒子速度大小为v1，轨道半径为r1，根据几何知识，有r1=R2，
根据洛伦兹力提供向心力，有qv1B=mv12r1，
解得v1=qBR2m，
所以粒子速率应满足的条件是v>qBR2m。
(2)如图甲所示，带电粒子恰好从P点离开磁场时，设粒子速度大小为v2，轨道半径为r2根据几何知识，有r2cs 30°=R2，
根据洛伦兹力提供向心力，有qv2B=mv22r2，
解得v2=3qBR3m，
带电粒子做圆周运动转过的圆心角为2π3，带电粒子做圆周运动的周期T=2πRv=2πmqB，
带电粒子在磁场中的运动时间t=13T=2πm3qB。
(3)如图乙所示，带电粒子通过磁场区域后速度方向偏转了30°，设此带电粒子的速度大小为v3，轨道半径为r3，根据数学知识，有r3sin 75°=Rsin 30°，
根据洛伦兹力提供向心力，有qv3B=mv32r3，
解得v3=(2+6)qBR2m。
答案 (1)v>qBR2m (2)3qBR3m 2πm3qB (3)(2+6)qBR2m
梯级Ⅲ创新练
8.(多选)(2025·台州模拟)如图所示，在三角形OMN区域内存在着垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，∠OMN=60°。磁场的边界MN上放置着一长度为L的挡板，挡板中心处有一小孔K。在ON的左侧空间有质量为m、电荷量为+q的粒子流均以初速度v平行OM进入磁场，到达K孔的粒子可沿任意角度穿过小孔，不考虑粒子与挡板碰撞后的运动情况，不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是(BD)
A.若粒子垂直挡板射出小孔K，则粒子的速度大小为qBLm
B.若粒子能从小孔K射出，则粒子的最小速度为qBL4m
C.若粒子以最小的速度通过小孔K，则粒子在磁场中的运动时间为πmqB
D.若粒子的速度大小为3qBL6m且能从小孔K射出，则粒子在磁场中的运动时间为πm3qB
解析 根据题意，作出粒子垂直挡板射出小孔K的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=xNK=L2，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=mv2r，联立解得v=qBL2m，A项错误；根据题意，当轨迹半径最小时﹐粒子的速度最小，作出粒子以最小速度从小孔K射出的运动轨迹如图乙所示，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r'=xNKcs 60°=L4，根据洛伦兹力提供向心力有qv'B=mv'2r'，联立解得v'=qBL4m，又粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为90°，则粒子在磁场中运动的时间为t=T4，由qvB=mv2r和T=2πrv，解得T=2πmqB，则t=πm2qB，B项正确，C项错误；根据洛伦兹力提供向心力有qv″B=mv″2r″，粒子的速度大小为3qBL6m时，粒子在三角形OMN区域运动的轨迹半径r″=36L，作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图丙所示，粒子从小孔K射出时，由几何关系有sin θ=L4r″=32，则有θ=60°，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间为t'=T6=πm3qB，D项正确。