高考物理一轮复习讲义专题提升练21　带电粒子在有界匀强磁场中的运动

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1.如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知AB边长为L，∠C=30°，比荷均为qm的带正电粒子(不计重力)以不同的速率从A点沿AB方向射入磁场，则(D)
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的最长时间为4πm9qB
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越短
D.粒子在磁场中运动的最长路程为23πL
解析 当粒子能够从AC边射出时，在磁场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子运动轨迹对应的圆心角为120°，因此运动时间为t=120°360°T=2πm3Bq，当粒子不能从AC边射出，圆心角变小，时间变短，可知所有从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间相同，且粒子在磁场中运动的最长时间为2πm3Bq，A、B两项错误；粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC边相切时运动轨迹最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越短，C项错误； 当粒子和BC边相切时路程最大，此时有R=AB=L，因此运动的路程为s=θR=23πL，D项正确。
2.(2024·广西卷)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(C)
A.mvqBB.3mv2qB
C.(1+2)mvqBD.1+22mvqB
解析 粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2r，可得粒子做圆周运动的半径r=mvqB，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+rcs 45°=(1+2)mvqB，C项正确。
3.(2025·宿州模拟)如图所示，在半径为R的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，现有a、b两个粒子，分别从P点沿PO方向垂直于磁场射入，a粒子从A点离开磁场，速度方向偏转了90°，b粒子从B点离开磁场，速度方向偏转60°，两粒子在磁场中运动的时间相等。不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，下列说法正确的是(D)
A.a粒子带正电
B.a、b粒子在磁场中运动的周期之比为1∶3
C.a、b粒子的比荷之比为2∶3
D.a、b粒子在磁场中运动的速度之比为3∶2
解析 a粒子进入磁场后，向下偏转，由左手定则可知a粒子带负电，A项错误；a粒子在磁场中运动的时间t=14Ta，b粒子在磁场中运动的时间t=16Tb，a、b粒子在磁场中运动的周期之比为Ta∶Tb=2∶3，B项错误；由粒子做匀速圆周运动的周期T=2πmqB，可得qm=2πBT，则a、b粒子的比荷之比为3∶2，C项错误；如图，由几何知识可得a粒子做匀速圆周运动的半径为ra=R，b粒子做匀速圆周运动的半径为rb=3R，由qvB=mv2r，解得v=qBrm，a、b粒子在磁场中运动的速度之比为3∶2，D项正确。
4.(多选)(2025·开封模拟)如图所示，虚线MN右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个带同种电荷的带电粒子从虚线上同一点A分别以速度v1、v2与MN成相同角度θ垂直磁场方向射入匀强磁场，结果两粒子在边界上B点相遇。不考虑粒子间的相互作用力，不计两粒子的重力。则(AC)
A.若两粒子的比荷相等，则v1=v2
B.若两粒子的比荷相等，则v1v2=π-θθ
C.若两粒子同时从A点射入，则q1m1∶q2m2=π-θθ
D.若两粒子同时从A点射入，则q1m1∶q2m2=1
解析 两粒子的运动轨迹如图，由几何关系可知R1=R2，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力qvB=mv2R，解得R=mvqB；若两粒子的比荷相等，则R1R2=v1v2，故v1=v2，A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的周期为T=2πRv=2πmqB，故q1m1∶q2m2=T2∶T1，在磁场中两粒子的运动时间分别为t1=2π-2θ2πT1=π-θπT1，t2=2θ2πT2=θπT2；若两粒子同时从A点射入，则两粒子相遇时运动时间相等t1=t2，故T2T1=π-θθ，联立可得q1m1∶q2m2=π-θθ，C项正确，D项错误。
5.(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子均能通过D点，已知质子的比荷qm=k，则质子的速度可能为(ABD)
A.BkL2 B.BkL C.3BkL2 D.BkL8
解析 质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得2nRcs 60°=L(n=1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=mv2R，联立解得v=BqRm=BkLn(n=1，2，3，…)，所以A、B、D三项正确，C项错误。
梯级Ⅱ能力练
6.(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为qm，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(BD)
A.B>mv3qs，垂直纸面向里
B.B>mvqs，垂直纸面向里
C.B>mvqs，垂直纸面向外
D.B>3mvqs，垂直纸面向外
解析 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知:负离子向右偏转，约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切，如图所示(大圆弧)，由几何知识知，OBsin 30°=R2， OB=s+R2，所以R2=s，当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=mv2R2，解得B>mvqs，A项错误，B项正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知:负离子向左偏转，约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知， OCsin 30°=R1， OC=s-R1，所以R1=s3，当离子轨迹的半径小于s3时满足约束条件，由牛顿第二定律及洛伦兹力公式得qvB=mv2R1，解得B>3mvqs，C项错误，D项正确。
7.在如图所示的xOy平面内，边长为2R的正方形ABCD区域中存在方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，自O点沿x轴放置一长为2R的探测板，与磁场下边界的间距为R；离子源从正方形一边(位于y轴上)的中点P沿垂直于磁场方向持续发射质量为m、电荷量为q的正离子，发射速度方向斜向上，与x轴正方向的夹角范围为0~50°，且各向均匀分布，单位时间发射离子数为N，离子的速度大小随发射角变化的关系为v=v0cs α ，α为发射速度方向与x轴正方向夹角，其中α=0°的离子恰好从磁场下边界的中点沿y轴负方向射出。不计离子间的相互作用和离子的重力，离子打在探测板即被吸收并中和，已知R=0.05 m，B=1 T，v0=5×105 m/s，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8，sin 50°=0.77，cs 50°=0.64。
(1)求离子的比荷qm；
(2)证明:从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直；
(3)求单位时间内能打在探测板上的离子数n。
解析 (1)α=0°时，离子恰好从磁场下边界中点射出，由几何关系可知，此时离子的运动轨迹半径为r=R，
在运动过程中，由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B=mv02r，
解得qm=v0RB=107 C/kg。
(2)由题意和几何关系可知，离子运动轨迹的半径为r'=mv0qBcs α=Rcs α，
在磁场区域中，由几何关系可知，离子做圆周运动的圆心在y=R(即AB边)这条直线上，则从AB边飞出磁场的离子速度方向与AB边垂直。
(3)由题意可得，离子从B点射出时有
r'+r'sin α=2R，
即1+sin α=2cs α，
可得α=37°，r'=54R，
此时，离子从B点垂直AB边射出，综上，α角在0~37°之间时，离子从AB边射出，且射出的方向都垂直AB。
当角度大于37°时，离子的运动轨迹半径变大，离子射出磁场后不能打在探测板上，故在0~50°的范围内，单位时间内打在探测板上的离子数为n=3750N。
答案 (1)107 C/kg (2)见解析 (3)3750N
8.如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°后从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计。求:
(1)磁场的磁感应强度B；
(2)正方形区域的边长；
(3)粒子再次回到M点所用的时间。
解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，由几何关系可知r1=R，
洛伦兹力提供向心力qv0B=mv02r1，
解得B=mv0qR。
(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，
qv0B=mv02r2，r2=mv0Bq=R，
正方形的边长L=2r1+2r2=4R。
(3)粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期
T1=2πRv0，
在圆形磁场中运动时间t1=12T1=πRv0，
粒子在正方形区域做圆周运动的周期
T2=2πRv0，t2=32T2=3πRv0，
再次回到M点的时间为
t=t1+t2=4πRv0。
答案 (1)mv0qR (2)4R (3)4πRv0
梯级Ⅲ创新练
9.(多选)如图所示，正方形虚线框abcd边长为L，框内有垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，e点为bc边上的点，且∠bae=30°，M、N两粒子由a点同时沿ae方向垂直磁场以相同的动量进入，经过一段时间，粒子M由b点离开磁场，粒子N垂直cd边离开磁场，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(CD)
A.粒子M带负电，粒子N带正电
B.粒子M的轨道半径为233L
C.粒子M的轨道半径为L
D.粒子M、N的电荷量之比为2∶3
解析 M、N两粒子的轨迹如图所示，根据左手定则可知，粒子M带正电，粒子N带负电，A项错误；根据几何关系可知，粒子M的轨道半径为r1=L，粒子N的轨道半径为r2=Lsin 60°=233L，由洛伦兹力提供向心力可得qvB=mv2r，解得r=mvqB，由于两粒子的动量大小相等，则粒子M、N的电荷量之比为q1q2=r2r1=23，B项错误，C、D两项正确。