高考物理一轮复习课时练习 第11章第4练　专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题（含详解）

这是一份高考物理一轮复习课时练习 第11章第4练　专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题（含详解），共9页。

1.如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为( )
A.eq \f(2mv,qB) eq \f(2mv,qB) B.eq \f(mv,qB) eq \f(2mv,qB)
C.eq \f(2mv,qB) eq \f(mv,qB) D.eq \f(mv,qB) eq \f(mv,qB)
2．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD之间射出(不包括A、D两点)，电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)( )
A.eq \f(v,2) B.eq \f(3v,2) C．2v D．3v
3.(2023·北京市一模)如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出
B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍
C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出
D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍
4.如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由P点在纸平面内沿不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法中正确的是(不计离子的重力和离子间相互作用)( )
A．从Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
B．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等
D．在磁场中运动时间最长的离子可能经过圆心O点
5.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为eq \f(mv0,2qR)、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
A.eq \f(πR,6v0) B.eq \f(πR,4v0) C.eq \f(πR,3v0) D.eq \f(πR,2v0)
6.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°。当将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则v1∶v2至少为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(3) C.eq \f(4\r(3),3) D．2eq \r(3)
7.(多选)如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ边界线的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为eq \f(1,2)L，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为eq \f(1,2)L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为eq \f(5qBL,8m)
C．粒子从PQ边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
8.(多选)(2023·河南省联考)如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(5πm,3qB)
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为eq \f(qBR,m)
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为eq \f(\r(3)qBR,3m)
D．选择合适的速率，粒子可能从M点离开磁场
9.如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝eq \f(qBR,m)，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝eq \f(2qBR,m)，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝eq \f(qBR,2m)，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
10.(多选)(2024·江西吉安市三中月考)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，eq \x\t(OP)＝eq \r(3)eq \x\t(OS)＝eq \r(3)d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
A．粒子的速度大小为eq \f(qBd,m)
B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为eq \f(πm,qB)
C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为eq \f(d,2)
第4练 专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题
1．A [若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴最远为|x|＝2r＝eq \f(2mv,qB)，离x轴最远为y＝2r＝eq \f(2mv,qB)，所以A项正确。]
2．B [根据题意，速度为v时，恰好由A点射出，如图中轨迹Ⅰ，
由几何关系可得r＝eq \f(R,2)，由牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,r)，联立可得R＝eq \f(2mv,qB)，要使电子恰好从D点射出，如图中轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r′＝R，则有R＝eq \f(mv′,qB)，解得v′＝2v，要使电子从弧AD之间射出，电子从O点射入的初速度应大于v，小于2v。故选B。]
3．C [由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，如图所示，则有，Bqv＝meq \f(v2,r)，r＝eq \f(mv,qB)，T＝eq \f(2πm,qB)，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增大为原来的2倍，由图可知，粒子不会从b点射出，A错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝eq \f(2πm,qB)，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子的半径将增大为原来的2倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，B错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子的运动半径将减小为原来的eq \f(1,2)，将从a点射出，C正确；结合C选项，由T＝eq \f(2πm,qB)可知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的2倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝eq \f(πm,qB)，在磁场中运动时间t＝eq \f(πm,2qB)，与从N点射出时的运动时间相同，即时间将不变，D错误。]
4．A [由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏转角最大，故应该是弦长为PQ，由Q点飞出的离子圆心角最大，所对应的运动时间最长，轨迹不可能经过圆心O点，故A正确，B、D错误；因洛伦兹力永不做功，故离子在磁场中运动时动能保持不变，但由于离子的初动能不一定相等，故飞出时的动能不一定相等，故C错误。]
5．C [粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝meq \f(v02,r)，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝eq \f(FE,r)，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝eq \f(OE′,r)，解得αm＝eq \f(π,6)，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝eq \f(\f(π,6),2π)·eq \f(2πr,v0)，解得tm＝eq \f(πR,3v0)，故选C。]
6．B [粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r1＝eq \f(3R,tan 60°)＝eq \r(3)R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv1B＝meq \f(v12,r1)，解得v1＝eq \f(\r(3)qBR,m)，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子的轨迹半径r2＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv2B＝meq \f(v22,r2)，解得v2＝eq \f(qBR,m)，则v1∶v2至少为eq \r(3)，B项正确。]
7．BC [作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒子根据几何关系有R2＝(L－R)2＋(eq \f(L,2))2，求得R＝eq \f(5,8)L，A项错误；由qvB＝meq \f(v2,R)得粒子做圆周运动的速度大小v＝eq \f(qBR,m)＝eq \f(5qBL,8m)，B项正确；设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得s＝eq \f(L,2)，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcs θ＝L，可得cs θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误。]
8．AC [当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为300°，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t＝eq \f(300°,360°)×eq \f(2πm,qB)＝eq \f(5πm,3qB)，故A正确；
如图所示，当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(设切点为Q)，粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径r1＝eq \f(R,2)，设粒子的速度大小为v1，有qv1B＝meq \f(v12,r1)，解得v1＝eq \f(qBR,2m)，故B错误；
设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为r2，根据几何关系有eq \f(\r(3),2)r2＝eq \f(R,2)，r2＝eq \f(\r(3),3)R，设粒子的速度大小为v2，有qv2B＝meq \f(v22,r2)，解得v2＝eq \f(\r(3)qBR,3m)，故C正确；
当粒子的速度大于eq \f(qBR,2m)时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于eq \f(qBR,2m)时，粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。]
9．(1)eq \f(πm,2qB) (2)eq \f(πm,3qB) (3)eq \f(πR,3)
解析 (1)由v1＝eq \f(qBR,m)，r1＝eq \f(mv1,qB)，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝eq \f(2πm,qB)，可得t1＝eq \f(T,4)＝eq \f(πm,2qB)
(2)由v2＝eq \f(2qBR,m)，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图所示，由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)
(3)由v3＝eq \f(qBR,2m)
可得r3＝eq \f(R,2)
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图所示
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的eq \f(1,6)，即s＝eq \f(πR,3)。
10．AC [粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，如图所示
可知SP为直径，则有(2R)2＝d2＋(eq \r(3)d)2，可得R＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝eq \f(mv2,R)，联立解得v＝eq \f(qBd,m)，故A正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，由几何知识可得从O点射出的粒子如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3qB)，故B错误；运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，可得t1＝eq \f(3,4)T。运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，此时对应的圆心角为60°，可得t2＝eq \f(1,6)T，所以t1∶t2＝9∶2，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。]