模型03 全等模型（十二大易错分析+举一反三+易错题通关）-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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易错模型1：倍长中线模型
模型解读 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
易错提醒：若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：(1)材料中的“依据”是________．（填选项）
A． B． C． D．
(2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．(3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长．
【答案】(1)A(2)(3)1
【详解】（1）解：根据证明过程可得的依据是，故选：A；
（2）解：如图，延长至点，使．连接,
∵是边的中点∴．∵，，∴．∴．
又，∴即∴．
（3）解：如图，延长，交于点，
∵，即，∴∵点是的中点，∴
又∴∴
∵平分∴∴，
∴∴
变式1．（2024·山东·校考一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．

在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴ ∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
变式2．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范围是_________；
(2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积；
(3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)(2)50(3)
【详解】（1）解：根据题意：延长到点E，使，再连接，∴，
∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
（2）解：如图：连接．过点A作交的延长线于点T．∴，

∵为边上的中线，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
设的面积为x,∵，∴的面积为，
∵，∴的面积为,的面积为，
∵，∴的面积=的面积=,
∴四边形的面积的面积的面积，∴．∴的面积为50．
（3）解：如图，延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，∵E为中点，∴，在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∵，∴垂直平分，∴，∴．
易错模型2：截长补短模型
模型解读 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
易错提醒：在截长补短模型中，辅助线的添加是关键。如果辅助线添加不当，可能会导致后续步骤无法顺利进行，甚至得出错误的结论。因此，需要准确判断何时何地添加辅助线，并确保其合理性。‌
例1．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答．（1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________；
②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________；
（2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10．
【详解】（1）①∵是的角平分线，∴，
∵，，∴，∴；故答案为：；
②在上取点D，使，连接，，
∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴；故答案为：；

（2），理由：在上取点E，使，连接，则，
∵，∴，
∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）设，则，
当时，，∴，∴，∴，
过点E作于点G，则，∴，∴，
∵，，，
∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，，∵，∴，
∴，∴，，∴，
∴，∴，；
当时，，过点P作于点H，则，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，；
当时，，
∵，∴，∴，∴不成立．综上，或．

变式1．（2024·湖南怀化·模拟预测）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．
【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）平分，，
，，，
，，平分；
（2），，，，，
，，，；
（3）在上截取，连接，平分，，
，，，，
，，，
，，，，
，，
，，，
，，，，．
变式2．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，
在和中，，，，
∴∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
方法二：延长到点E，使得，连接，

∴，则，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，，，
∴，∴，∵，∴；
（2）在上取，连接，∵于，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，
∴∴，
∴，∴，∴，
过作，交于点，∴，
∵是的中点，∴，又，∴，
∴ ，，，而，
，∴，
又∵，∴，∴ ， 即．
易错模型3：一线三等角（K字）模型
模型解读一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。
1）一线三等角（K型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角
条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角
条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。
易错提醒：在直角K型图（如等腰直角三角形）中，常伴随隐藏的边角关系（如等边或特殊角度）。若未挖掘这些条件，可能导致计算错误或步骤冗余。‌
例1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．
【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；
【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；
【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或
【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，
由旋转得，，∴，
∵，∴，，

∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，故答案为：；
（2）补全图形如图：，理由如下：过点作交于点，
由旋转得，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，，
∵，∴，∴，∵，∴；
（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，
由（2）得，，∴，
∴，∴．
当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，
同理可得：，∴，，∴，
∴，∴；综上：或
变式1．（2024·湖南·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．
变式2．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【详解】（1），理由如下：∵，，，∴，
∴，∴，∵，∴，∴，，
∴，∴；
（2），理由如下：过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，∴，平分，，
∴，即，
∵，，∴，∵，∴，∴，

∵，，，，∴四边形是正方形，
∴是正方形对角线，，∴， ，
∴，，
∴，即，
∵， ∴，即有；
（3），理由如下，过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，∵，，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵在正方形中，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
易错模型4：手拉手模型
模型解读 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

1）双等边三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
4）双正方形形型

条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
易错提醒：1）手拉手模型需满足两等腰三角形‌共顶点且顶角相等‌，若题目未明确给出等腰条件或顶点位置，易误判模型适用性；2）模型中需通过‌顺（逆）时针方向‌判断左右手，若方向颠倒则无法正确应用“左拉左，右拉右”的全等结论。‌
例1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：___________；②求证：．
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析
【详解】（1）证明：在和中，，，，
，，．
是斜边的中点，，，
，．，
，．；
（2）解：①；理由如下：延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．证明（具体证法过程跟②一样）．，
是中点，是中点，是中位线，，
，，，
，．故答案为：；

②证明：延长到点，使，连接．
，，，，
，，，，
，，．
，．在和中，
，，，，，，．
变式1．（2024·山东·九年级专题练习）已知，为等边三角形，点在边上．
【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）．
【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：．
【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析．
【详解】基本图形：证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，，
∴，，∴，
在与中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
迁移运用：证明：过点作，交于点，∵是等边三角形，∴，
∵，∴，，又∵，∴为等边三角形，∴，∵为等边三角形，∴，，
∵，，∴，
在与中，∴，∴，∴；
类比探究：解：，理由如下：过点作，交于点，
∵是等边三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴为等边三角形，∴，
∵为等边三角形，∴，，
∵，，∴，
在与中，∴，∴，
∵，∴．
变式2．（2024·浙江绍兴·校考一模）【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．
【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．
【答案】（1）BD＝CE；（2）BD2＝54；（3）8
【详解】解：（1）BD＝CE．理由是：
∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝5， ∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∴，∴ ．
（3）如图，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，则BE＝AD，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，∵∠ADC＝30°， ∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝8， ∴CD＝DE＝8．
易错模型5：半角模型
模型解读 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。
1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型
条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；
3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；
易错提醒：1）半角模型常基于正方形、等边三角形等对称图形，若未挖掘隐含的‌邻边相等‌或垂直关系，易遗漏关键证明条件；2）半角模型需通过旋转构造全等三角形，若旋转方向或角度错误（如未绕顶点旋转），则无法正确匹配对应边角。‌
例1．（2023·广东广州·二模）在正方形中，点E、F分别在边上，且，连接．
(1)如图1，若，，求的长度；(2)如图2，连接，与、分别相交于点M、N，若正方形的边长为6，，求的长；(3)判断线段三者之间的数量关系并证明你的结论﹒

【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：延长，使，如图所示：

∵四边形为正方形，∴，，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴．
（2）解：设，则，由（1）可知，，
在中，根据勾股定理可得，，解得：，∴．
（3）三者之间的数量关系：．
证明：截取，在和中，，∴，
∴，，又∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．即．
变式1．（23-24九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长．
【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）．
【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD
∵绕点A逆时针旋转，得到∴
∴，∴
∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD
∵∴，即CE⊥BD 故答案为：CE⊥BD；CE=BD；
（2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG，
则∴AG=AE，BG=CE，
∵，∴
在和中，∴∴ED=GD

∵∴即
（3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到，
∴∴AF=AE，，EC=BF，
∵，AB=AC∴∴
∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE
∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形
∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形 ∴是直角三角形
若，且∴BF=2BD=EC，
∵∴
∴∴ 若，且∴BD=2BF=2EC，
∵∴∴BD=2，∴
变式2．（2024·江西·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想；
（2）【迁移推广】如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里
【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，

∵，∴∠ADG=∠ABC=90°，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°，
∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，
∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC，
∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF，
∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF；
（3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M，
根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB，
∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，
∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．
易错模型6：对角互补模型
模型解读 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。对角互补模型处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）

条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.
3）“等边三角形对120°模型”（1）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
4）“等边三角形对120°模型”（2）
条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.
5）“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA；

6）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。
7）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏对角互补）条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。
易错提醒：当互补角位置从同侧变为异侧时，原结论可能失效（如线段和变为线段差），需结合旋转方向重新推导。‌
例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践：已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．
（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝ S△ABC．（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．
（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

图1 图2 图3
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析.
【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）；
②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．

设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，
∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
变式1．（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.
（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）
【详解】解：（1）是的角平分线
在中，，同理：
（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于

由（1）知，
，且点是的平分线上一点
（3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，
∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC．
变式2．（2023春·江苏·八年级专题练习）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）
【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是．
【详解】感知：，理由如下：
∵，，∴，即，∵平分，∴；
探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：
∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，
∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；
应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：
∵，，∴，∵，∴，
∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，
∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，
∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．
易错模型7：角平分线模型(全等)
模型解读
1）角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B.
结论：、≌.
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）

图1 图2 图3 图4
2）角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！）
条件：如图3，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。
条件：如图4，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
3）角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
图1 图2
条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。
易错提醒：1）优先验证角平分线存在性及隐含对称性，避免强行套用定理‌；2）严格按“双垂线”“截长补短”等标准步骤构造辅助线，确保全等对应关系。‌
例1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴平分，
过点作，，则：，
∵，且，∴，
∴四边形的面积，
∵，∴，设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，解：，∴，
∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．
变式1．（2024·广东·九年级期中）如图，在中，，，
（1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点．
（i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由．
（3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程）
【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD．
【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；
（ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3，
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．
变式2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题．
如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：．
讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接CF，先证明，再证明，即有，即．
解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明
，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接CF．
∵平分，∴，在和中， ∴（）
∴，．
（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．
拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：．
（4）如图④，在中，，延长的边到点，AD平分交延长线于点，若，，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）
【详解】（1）补充证明如下：∵，∴，
又∵∴，∴
∵点是边的中点，∴，又∵∴，
在中，∴∴，
又，∴，即；
（2）∵，∴，
∵为的角平分线，∴
∴，故答案为：．
（3）证明：如图所示，在上截取，
∵，∴，∵是的角平分线，∴，
在中，∴，∴，，

∵，∴，
又∵∴∵是的角平分线，∴，
在中，∴∴∴；
（4）解：如图所示，在上截取，∵AD平分∴，
在中，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴∴，
∴，∴ 答案：．
易错模型8：十字架模型
模型解读“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。
条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。

条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；
结论：HE=GF。

易错提醒：十字架模型的核心是‌垂直与边相等互为条件‌，若题目未明确“垂直则边相等”或“边相等则垂直”的具体场景，易混淆使用方向导致推导错误‌。
例1．（2024·北京·一模）如图，正方形中，点分别在上，交于点；(1)_______．(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点．
①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案为：．
（2）解：①根据题意补全图形如图所示：

②证明：过点A作，交延长线于点H，连接，
∵，平分，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵四边形为正方形，∴，∵，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴．
变式1．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论：①；②；③；④中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：四边形是正方形，，，，，
在和中，，，（故①正确）；
∴∵四边形是正方形，∴
∴（故④正确）；∴
∵四边形是正方形，∴，，
∴一定成立（故②正确）；假设，
，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
在中，，，这与正方形的边长相矛盾，
假设不成立，（故③错误）；∴正确的有①②④共3个正确，故选：C．
变式2．（23-24江苏九年级期中）苏科版八下数学教材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94页第19题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图1，探究所提供的正方形的边长都为2．
【探究】(1)如图2，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论．
【应用】(2)如图3，在正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，与交于点P，设，求线段的长（用含t的式子表示）．
【拓展】(3)如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是、上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)，理由见解析(2)(3)
【详解】（1）．证明：四边形是正方形，，，
，，，，
在和中，，．
（2）解：过作，交于，连接，
四边形是正方形，，四边形是平行四边形，，
将正方形沿直线折叠，使点B对应的点M始终落在边，
，，，，，
由（1）得同理可证：，，设，，，
，，，在中，，
整理得：，．

（3）解：如图，过点作，过点作，当、、三点共线时，的值最小，四边形是平行四边形，，，由（2）可证：，，
四边形是正方形，，，
，，，，
当、、三点共线时， ，的值最小，的值最小．
易错模型9：婆罗摩笈多模型
模型解读
模型1）知中点证垂直
条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。
模型2）知垂直证中点
条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。
结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。
易错提醒：模型中需通过“已知中点证垂直”或“已知垂直证中点”，若未明确题目给定条件的方向性，易颠倒证明逻辑。‌
例1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析
【详解】（1）证明：在和中，，，，
，，．
是斜边的中点，，，
，．，
，．；
（2）解：①；理由如下：延长到点，使，连结，延长到，使，连接并延长交于点．证明（具体证法过程跟②一样）．，
是中点，是中点，是中位线，，
，，，
，．故答案为：；

②证明：延长到点，使，连接．
，，，，
，，，，
，，．
，．在和中，
，，，，，，．
变式1．（2024·重庆渝中·二模）如图，以的边、为边向外作正方形和正方形，连接、相交于点，连接、，取中点，连接并延长交于点．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论有 （填写编号）．
【答案】①②④⑤．
【详解】解：如图，连接AD，延长CM至H，使MH=CM，连接AH，
∵四边形ACDE是正方形，四边形BCGF是正方形，
∴AC=CD，BC=CG，∠ACD=∠BCG=90°，∠ADC=45°，∴∠ACG=∠BCD，
∴△ACG≌△DCB（SAS），∴AG=BD，∠CAG=∠CDB，∠DBC=∠AGC，故①正确；
∵∠CAG=∠CDB，∴点D，点A，点C，点O四点共圆，
∴∠DOA=∠ACD=90°，∠ADC=∠AOC=45°，故⑤正确；
∴∠BOC=45°=∠AOC，∴∠AGC+∠OCG=∠DCO+∠ODC，
∵△ACB是任意三角形，∴AC不一定等于BC，即DC与BC不一定相等，
∴∠CDB与∠AGC不一定相等，∴∠DCO与∠GCO不一定相等，∴CO不一定平分∠DCG，故③错误；
∵点M是AB的中点，∴AM=BM，又∵CM=MH，∠CMB=∠AMH，∴△BCM≌△AHM（SAS），
∴AH=BC=CG，∠H=∠BCH，∠ABC=∠HAM，S△BCM=S△AMH，∴S△ABC=S△ACH，
∵∠DCG+∠ACM+∠BCM=180°，∠H+∠CAH+∠ACM=180°，∴∠CAH=∠DCG，
又∵AC=DC，CG=AH，∴△ACH≌△CDG（SAS），
∴S△ACH=S△CDG，∠ACH=∠CDG，∴S△ABC=S△CDG，故④正确；
∵∠ACD=90°，∴∠DCN+∠ACM=90°，∴∠CDN+∠DCN=90°，∴MN⊥DG，故②正确，故答案为①②④⑤．
变式2．（23-24九年级上·福建·期中）定义：如图13，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)在图1中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，若为等边三角形，则与的数量关系为：______．
(2) 在图2中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
(3)如图3，在四边形中，，，，，．若四边形内部恰好存在一点P，使是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长是____________．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵为等边三角形，∴，，
∵是的“旋补中线”，∴，∴，
∵，，∴，∴，则．
（2）延长到点M，使得，连接，，如图，

∵，，∴四边形为平行四边形，，，
∵∴，∴，
在和中，∴，∴，则．
（3）延长，交点M，作交于点E，作线段的垂直平分线交于点P，交于点F，连接、、，作的中线，连接交于点O，如图，
∵，∴，在中，，，则，，
在中，由，，得，，
∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，
在中，由，，∴，即，
∴，即，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∴，则，∴，又∵，∴四边形为平行四边形；
∵，∴，∴，则为等边三角形，∴，
∵，则，∴，则为的旋补三角形，
在中，，，∴．
易错模型10：奔驰模型
模型解读 此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。
条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5），
结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）
常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用）
条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足，
结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。
模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。
（注意：上述两个模型结论和条件互换也成立）
图1 图2
鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。
易错提醒：奔驰模型的核心是‌绕固定点旋转构造全等‌，若未明确旋转中心位置或旋转角度对应关系，易导致全等判定失败。
例1．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，是等边三角形， ，
∵，，，，
与的面积之和为．故选：C．
变式1．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角，点P在内，，，则PB的长为（ ）
A．B．C．5D．5
【答案】A
【详解】解∶∵等腰直角，∴，
∵，∴，
如下图，把绕点C顺时针旋转得到，连接，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴，故选∶A．
变式2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．

【答案】
【详解】解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：
则，，∴是等边三角形，∴，，
∵是等边三角形，∴，，∴，

∴，∴，∵，∴，
又，，∴．故答案为：．
易错模型11：帽子模型
模型解读
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。
例1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且．(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）证明：过点C作交于点E，如图①，∴，，
∵，，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∵D是中点，∴，∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：，理由如下：过点C作交于点F，如图②，
∴，，∵，，
∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵D是中点，∴，∵，∴，∴，
∵，∴．
变式1．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：过P作PM∥BC，交AC于M，
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，在△PMD和△QCD中，，
∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD＝DM＝CM；∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝3．故选：C．
变式2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．
猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】（1）解：，理由如下：过点E作交于点F，

∵，，∵，，，
，∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解： 理由如下：如图，过点E作交的延长线于点F，
∵，，，

在和中，，∴，；
（3）解：如图，过点E作交的延长线于点F
∵，
，，，．
易错模型12：等边截等长与内接等边模型
模型解读
条件：如图1，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。

图1 图2 图3
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图2，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图3，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，，
又，∴，∴．
变式1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】解：为等边，，，
在与中，，，，
，
，因此结论A正确；，即：，
又，，，
，因此结论B正确；过作于点，

为等边，，，，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
，因此结论C正确；设，，则，，
，，
，，过点作于点， ，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，即：，
，将代入上式得：，整理得：，因此结论D不正确．故选D．
变式2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ．
【答案】
【详解】解：∵是等边三角形，∴，设，
如图所示，过点作于点，∴在中，，

∴，，∴，
∵点分别是的黄金分割点，∴，
∴，∴，
∴，则，
如图所示，过点P1作于点，∴在中，，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
变式3．（23-24八年级下·广东·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．

【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．
∵，∴．
∴．
∴．∴是等边三角形．
（2）解：∵是等边三角形，∴．
在和中，，∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．
1-1．（2024·广东·校考二模）综合与实践：小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决
请回答：(1)小明证明用到的判定定理是：________；（填入你选择的选项字母）
A． B． C． D．
(2)的取值范围是________．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．
【答案】(1)A(2)；．
【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接，点为的中点，，
在和中，，，故答案为：A；

（2）解：，，，，，，
，，故答案为：；
解决问题：如图，延长交的延长线于点H，
四边形是正方形，，为边的中点，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，，．
1-2．（2024·江苏·三模）【探究发现】（1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】（2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交CA的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．①若．求的长度；
②在射线上取一点G，且，连接，直接写出的最小值．

【答案】（1），；（2），见详解；（3）①；②
【详解】（1）解：为边的中点，，，，，
，，，故答案为：，；
（2）解：，理由如下：如图2，延长至点，使，连接，
为的中点，，，，
，，，，，，
平分，，，；
（3）解：①延长至，连接,为边的中点,，，

，，，，
在中，，，，D为边的中点，
，，
，，，，，
，，，

，，，
②如图，过点作交的延长线于点，点从点向点动时，点从点向点运动，均同时减小，故点在点时，最小，此时，
，即，，，
，，
在中，，，
在中，，
．故的最小值为．
1-3．（23-24广东八年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由．
【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．
（1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程；
【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【详解】解∶（1）小王同学的思路：
如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则．所以．

因为，所以．
因为，所以．所以，即是的中点
小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则．
所以，因为，所以．
因为，所以．
所以．所以，即是的中点；
（2）猜想方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，

则．所以．因为，
所以，．
所以．所以．
又因为，所以．所以．
方法2：如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，
则．所以．因为，所以．
因为，所以．
所以．所以．
因为，所以．所以．所以．
2-1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，平分，，

在和中，，，，，
，，，，；
方法2：延长到，使，连接，平分，，
在和中，，，，，
，，，，；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：如图，在上截取，连接，
由（1）知，，
，，，
为等边三角形， ，，
，为等边三角形，，，
，，，．
方法：理由：延长到，使，连接，

由（1）知，，是等边三角形， ，，
，，，
，为等边三角形，，，
，，即，
在和中，，，，
，；
（3）线段、、之间的数量关系为．连接，过点作于点，
，，，
在和中，，，，，
在和中，，，，
，．
2-2．（2024·广西贺州·一模）阅读与思考：下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．

任务：(1)补全解答过程；(2)如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______．
【答案】(1)见解析(2)，见解析
【详解】（1）解：∵是的直径，∴，∵，∴．

如图，过点A作交于点M，根据圆周角定理得，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵∴，∴，∵，∴．
（2）．理由如下：∵是的直径，∴，
∵，∴，，∴．
如图，过点A作交于点N，根据圆周角定理，得，
∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，
∵，∴．
2-3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系．
解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______；
【拓展延伸】（2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm．
【答案】（1），见解析；（2）；见解析；（3）
【详解】解：（1），理由如下：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，
∴，∵，即，
∴，即，∴是等边三角形，
∴，即，故答案为：；
（2），如图2，延长到点E，使，连接，

∵，∴，
∵，∴，∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，∴；
（3）如图3，连接，
∵，∴，∴，
由（2）知．∴．故答案为：．
3-1．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，由旋转得，
∵四边形是正方形，∴，，，设，∴，
∵，∴，∴，∴，，
设，则，∴，
∴，而，∴，∴，
∵，∴，同理可求，
∴，∴，故选：A．
3-2．（23-24八年级上·重庆綦江·期末）（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）如图②，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：；
（3）如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为17，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】证明：（1）∵，，，∴，
∴，，∴，
在和中，，∴；
（2）∵，，，，
∴，，在和中，，∴；
∴，，∴；
（3）∵的面积为17，，∴的面积是：，
根据解析（2）同理可证，∴，∴．
3-3．（2023·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：
①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______；
②如图2，为正三角形，，则________；
③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________．
【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________．
【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长．
【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm
【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜
∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD
在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF；
②∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜
∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF
在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD；
③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜
∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF
在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3；
（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示
∵四边形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD
在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD
∵∴OD=1，∴CE=1，∵点C在第二象限∴点C的坐标为
故答案为：；
（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜ ∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜
∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)
∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)
4-1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：、为等边三角形，
，，，，，
在和中，，，故①正确；
，，，
，故②正确；
在和中，，，，
为等边三角形，故③正确；，，
点到，的距离相等，即边上的高相等，
点在的角平分线上，即平分；故④正确；
已有的条件无法求的度数，故⑤错误；综上所述：正确的结论有4个；故选：D．
4-2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上．(1)如图1，证明：平分；(2)如图2，与交于点F，若，求的度数；(3)如图3，连接，若，则的长为 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．
【详解】（1）证明：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，∴，∴，∴平分；
（2）解：设，∵∴，
∵，∴，
∵，∴，解得，∴；
（3）解：过A作于H，如图：
∵绕点A顺时针旋转得到，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∵，∴，，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：．
4-3．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知，与都是等腰直角三角形，，，连接，．
(1)如图，求证；(2)如图，点在内，，，三点在同一直线上，过点作的高，证明：；(3)如图，点在内，平分，的延长线与交于点，点恰好为中点，若，求线段的长．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)
【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形，，
，，
，，，；
（2）证明：，，，，
，，由（1）可知：，
点在内，，，三点在同一直线上，
（3）解：如图，连接，
平分，，，，，，
设，则，，，由（1）知，，
，，，，
是的中点，，，，，
，，，，
，，，，
，；
5-1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠BAD＝15°，∠DAE＝60°．若DE=3，则AB的长为 ．
【答案】
【详解】如图，过点A作于点F，
在中，，，，
，，，，
，，
，，设，
在中，，，
，，
又，，解得，则，故答案为：．

5-2．（2024·重庆二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；
（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．
【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB
【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）∠EAF=180°-∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，
又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB．
5-3．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．
(1)【问题背景】已知：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则之间存在怎样的数量关系呢？
（分析：我们把绕点A顺时针旋转至，点G、B、C在一条直线上．）
于是易证得： 和 ，所以 ．
直接应用：正方形的边长为6，，则的值为 ．
(2)【变式练习】已知：如图2，在中，，D、E是斜边上两点，且，请写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，当绕着点A逆时针一定角度后，点D落在线段BC上，点E落在线段BC的延长线上，如图3，此时（2）的结论是否仍然成立，并证明你的结论．

【答案】(1)(2)，见解析(3)成立，见解析
【详解】（1）∵四边形是正方形，∴，
把绕点A顺时针旋转至，则与重合， ∴
∴，∴点G、B、C在一条直线上
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；∵正方形的边长为6，，
∴，∴，，
在中，，∴，解得，
∴故答案为：；
（2），理由如下：把顺时针旋转到的位置此时与重合，连接，

则，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴是直角三角形，
∴，∴．
（3）依然成立，理由如下：
把顺时针旋转到的位置此时与重合，连接，
则，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，
∴是直角三角形，∴，∴．
6-1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，
，，，，
，，
平分，，，，
在和中，， ，，
在和中，，，
，故①正确，，定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
6-2．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；
问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）PB＝PE还成立(3) PB＝PE还成立
【详解】(1)如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE (2)如图2，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE
(3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，
∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，
在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE
6-3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系．
【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB
【详解】解：（1）如图1中，
∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4，
∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°，
又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1．

（2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB．
（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB．
∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，
又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，
∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB．
7-1．（2024·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．

【答案】
【详解】解：如图：延长，交点于，

平分，，，，
在和中，，，，；
，，即； ，，
当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：．
7-2．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，M为上一点，N为上一点，连接线段，若．求证：．

①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系．
②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证，得到，接下来只需证，可得．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．
如图4，在中，，平分交与点D，在线段上有一点E，连接交与点F，若．求证：．
【学以致用】（3）如图5，在中，，垂足为点D，在的延长线上取一点E，使，在线段上截取，点G在线段上，连接，使，若，，，求四边形的面积．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①证明：如图2，在上截取，连接，

∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
②证明：如图3，过D点向∠BAC的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，
∵平分，∴，又∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴，∴；
（2）证明：延长至点M使，连接，
又∵，∴，∴，
∴为的平分线，∴，
又∵，∴，∴，∴；
（3）如图：在上截取，连接，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．即△ABE的面积为．
7-3．（2024·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，
(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析
【解析】（1）证明：∵为的角平分线，∴，
在与中，，∴，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，∴，∴，∴．
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵为的角平分线时，∴，
在与中，，∴，
∴，，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
（3）解：猜想，证明如下：∵平分，∴，
在与中,，∴，∴，，
如图，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴．
8-1．（2023.江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为6cm，则MN的长为 cm．
【答案】3
【详解】解：作NF⊥AD，垂足为F，连接AE，NE，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，
∴∠D=∠AHM=90°，∠DAE=∠DAE，∴△AHM∽△ADE，∴∠AMN=∠AED，
在△NFM和△ADE中∵，∴△NFM≌△ADE（AAS），∴FM=DE=CD-CE=3cm，
又∵在Rt△MNF中，FN=9cm，∴根据勾股定理得：MN==3（cm）．
故答案为3．
8-2．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，

∵点E、F、H分别是的中点，∴，
在与中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；故①正确；连接，如图所示：同理可得：，，在中，H是边的中点，
∴，即；故④正确；
∵，∴是等腰三角形，∴，垂直平分， ∴；
若，则是等边三角形，则，，
则，而，与矛盾，
∴，∴，∴，故②错误；∵，∴是等腰三角形，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴；故③正确；正确的结论有3个，故选：C．
8-4．（2024·河南·一模）综合与实践
完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．

①在图2中，已知，求证：；②在图3中，若，则的度数为多少?
【拓展应用】（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴．故答案为：；
（2）①作于点H，∵四边形是正方形，∴，，
∴四边形是矩形，∴，，∴．
∵，∴，∴，∴，∴；
②作于点L，同理可证四边形是矩形，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴．
．
（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴
∵，∴，∴．设，则，
∵，∴，∴（负值舍去），∴．
②当N、F在的延长线上时，如图，
同理可得：，，∴．
9-1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：作轴于，如图所示：
∵等腰、等腰，∴，
，，，，
在和中，，，．
在和中，，，，
又点的坐标为，，，故选C．
9-2．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论．（3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由．
【答案】（1）＝；（2）AD＝ED，证明见解析；（3）△ACE的最大面积为6，．
【详解】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，，∴AC=BC，∠ACH+∠BCN=90°，
∵MN⊥PQ于N，∴∠MNQ=90°，∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACH=∠CBN，
在△ACH和△CBN中，，∴△ACH≌△CBN（AAS），∴AH＝CN，故答案为：＝；
（2）AD＝ED，证明：过点A作AH⊥MN于点H，过点E作EI⊥MN于点I，
同（1）可证△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，∴AH＝CN，EI＝CN，∴AH＝EI，
又∵∠EDI＝∠ADH，∠EID＝∠AHD＝90°，∴△EID≌△AHD（AAS），∴AD＝ED；
（3）∵，，∴由勾股定理可得BC＝，CF＝，
如图，∵△ACH≌△CBN，△ECI≌△CFN，∴，，
∵△EID≌△AHD，∴，∴，
过点F作FT⊥BC交BC延长线于T，则，
∵FC≥FT，∴当FC＝FT＝，即FC与BC垂直时，最大，
此时，
∴△ACE的最大面积为6，此时．
9-3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）【方法回顾】如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明的依据是（ ）
A． B． C． D．
②证明四边形是平行四边形的依据是______；
【类比迁移】（2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长至点G，使，连接，…请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】（3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接、，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由：
（4）如图4，四边形是一片草坪，、是等腰直角三角形，，为锐角，已知m，的面积为．计划修建一条经过点A的笔直小路，其中点G在边上，的延长线经过中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为______元．

【答案】（1）①②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）见解析（3），理由见解析（4）
【详解】（1）①延长到点F，使，连接，

∵D，E分别是边的中点，∴，
在和中，∴；故选A；
②∵，∴，，∴，
∵，∴，又，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长至G，使，连接，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，∴；
（3），；理由如下：延长至点，使，连接，
同法（2）可得：，∴，，
∴，∴，

∵四边形与四边形均为正方形，∴，
∴，∴，
又：，∴，∴，，
∵，∴，延长交于点，则：，
∴，∴，∴；综上：，；
（4）∵，是等腰直角三角形，∴，
如图，构造正方形和正方形，过点作于点，
由（3）可知，
∵为的中点，∴平分的面积，∴，
∴，∴，∵，
∴，，
又，∴，∴，
∴修建小路的总造价为元；故答案为：．
10-1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，点P是等边三角形内的一点，且，，，则的度数为 ．

【答案】150
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转后得到的．

∴，∴，，
∴为等边三角形，∴，，
∵，，∴，∴为直角三角形，
∴，∴；故答案为：150．
10-2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=，故选D．
10-3．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：四边形为正方形，，，
，，，
，，故①正确；
，，，
，
，，故②正确；
过点作的延长线于点，如图所示，
，，，
，，，
，，
，，，故③错误；
，，，，
，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：C．
11-1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．

【答案】
【详解】解：过点P作交于点F，

∵，是等边三角形，∴，，∴是等边三角形，∴，
∵，∴；∵，∴，∵，∴，
在和中，∴，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
11-2．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为定值5，理由见解析
【详解】（1）证明：、的移动速度相同，，，；
（2）如图，过点P作，交于点F，，，
，，，，由（1）得，，
在与中，，，；

（3）解：为定值5，理由如下：如图，过点P作，交于点F，
由（2）得：，为等腰三角形，
，，由（2）得，，
，为定值5．
11-3．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．
（1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________；
（2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D､E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【详解】解：（1）2；
【解法提示】如解图①，过点D作交AC于点G，
图①图② 图③
∵△ABC是等边三角形，∴△AGD是等边三角形，
∴，由题意知，∴，
∵，∴，
在与中，，∴，∴，
∵，∴，∴，，∴；
（2）如解图②，过点D作交AC于点G，则，
∵，∴，，
，∴△DGH为等边三角形，∴，．
由题意可知，．∴．∵，∴．
在与中，，∴，∴．
，即，∴，即；
（3）．如解图③，过点D作交AC于点G，
易得，，．
在中，∵，，
∴，，，∴，
∵，∴．
∴，∴．由可得．
∵，∴．∴．
∴，即．∴．
12-1．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．

【答案】(1)见解析(2)8
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，
在和中，∴，∴．
（2）解：∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，又∵，∴．
12-2．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
∴，同理：，∴是等边三角形．∴．
在中，，∴，∴，∵，∴，
在与中，，∴
∴，∴，∴的周长为．故选：B．
12-3．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．

【答案】(1)见详解(2)
(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小
【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，∵，∴，
在和中，，∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边中，，，
∴，∴，
设的长为x，则，，
∴，∴，
同理（1）可知，∴，
∵的面积为y，∴；
（3）解：由（2）可知：，∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．
如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．
证明：如图2，延长至点，使．∵是边的中点 ∴．
∵，，∴（依据）．∴．
∵平分，∴，∴，∴，∴．
截长补短法：有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．
如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程：
解：．理由如下：∵是的直径，∴，
∵，∴．
如图2，过点A作交于点M，…．
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．
甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下：由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．