【消灭易错】解答题必刷77道-备战中考数学考试易错题（全国通用） 试题 含答案

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数与式
1．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：，
当时，
原式．
2．（2024·山西·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
；
（2）
．
3．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

【答案】；
【详解】解：依题意，，且为整数，又，则，
；
当，时，原式．
方程（组）与不等式（组）
4．（2024·宁夏·中考真题）解不等式组．
【答案】
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组．
【答案】（1），
（2）
【详解】解：（1），
，
，
，
，
∴，；
（2），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，
得．
．
检验：当时，，
所以是原方程的解；
（2）解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集是．
一次函数与反比例函数的综合
7．（2024·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请直接写出满足的x取值范围．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)或
【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
8．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)
(3)或
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
9．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点．
(1)求和的值；
(2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________．
【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）解：当时，，
，
四边形是正方形，
，
当在反比例函数的图象右半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
当在反比例函数的图象左半支上，
设的坐标是，
的面积与的面积相等，
，
，
，
的坐标是，
综上的坐标为或．
10．（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点．
【详解】（1）解：将代入得，
，
将代入得，解得，
反比例函数表达式为，
（2）解：如图，设点，那么点，

由可得，
所以，
解得（舍），
;
（3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
，
点绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
设点，
点，
，
解得，
点或（舍），此时点．
二次函数综合
11．（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
根据题意得，点的坐标为，则，
把代入，得：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又轴，
∴轴，
，
，
，
，
又，
，
解得：，（不合题意，故舍去），
∴的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
又点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得：，，
点的坐标为或，
分情况讨论：
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
12．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)①证明见解析；②或
【详解】（1）证明：令，则，
∵，
∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：由二次函数的解析式得，
函数图象对称轴为直线，最大值为4．
，
，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
，解得或（舍去），
二次函数的解析式为．
（3）①证明：对称轴为直线，
∴
∴二次函数解析式为．
令，则，解得或，
则，
令，则，则
∴．
设，由题意知，且均不为0，2．
设直线的解析式为，
，解得，
∴直线的解析式为．（记为①式）
又直线过点，
，即．
同理设直线的解析式为，
把代入得
解得，
直线的解析式为．（记为②式）
同理得直线的解析式为．（记为③式）
由②③式联立得，
解得
．
若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得
，将①式代入化简得，
由对应系数相等得，
∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上．
②解：直线l的解析式为或
理由：，
∴，
，
，
，
∴，
由①知，
∴，
∴
当时，，整理得．
又，
∴
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
，
直线l的解析式为；
当时，，整理得．
又，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
，
∴直线l的解析式为．
综上所述，当时，直线l的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，二次函数与方程，二次函数与坐标轴的交点等，综合运用相关知识是解题的关键．
13．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为或或或
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接、、，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，
∴最大值为：．
（3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设点M的坐标为：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
当时，，，则：
，
解得：，（舍去），
此时点M坐标为：；
综上分析可知：点M坐标为：或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
14．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【详解】（1）解：该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为，函数图象开口向上
，
当时，取最大值4
解得，
（3）解： 当，
当时，
当交点在线段之间时，当时，
解得；
当时，
解得；
综上，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【详解】（1）解：当时，；当时，，
则，，
则，
解得：；
（2）解：由（1）可得：，设，作交于E，
则，则，
∴，
当时，最大值为8．
16．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②线段的最小值为
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵抛物线与轴相交于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，则，即，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
如图，作轴于，则，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点在第三象限，
∴；
②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．
∴设，，设直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得，
∴直线的解析式为；
联立得：，
∴，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
将代入，得，
∴，
∴，
解得：，
联立，
得出，
∴点在直线上运动，
在中，令，则，即，
如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，
，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，
∵，
∴线段的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题．
统计与概率
17．（2024·宁夏·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．
将调查结果绘制成如下统计图表请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
(1)参与本次调查的老年人共有___________人，有“医疗服务”需求的老年人有___________人；
(2)已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
(3)根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可）
【答案】(1)1200，660
(2)7650人
(3)根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可）
【详解】（1）解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得：
（人），
根据题意，得（人），
故答案为：1200，660．
（2）解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：（人）．
故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为7650人．
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量．
18．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】(1)7.5，7，
(2)见解析
【详解】（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．（2024·西藏·中考真题）为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
(2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
(3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．
【答案】(1)；94
(2)估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次
(3)
【详解】（1）解：将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94；
（2）解：（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次；
（3）解：令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为．
【点睛】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
全等与相似
20．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
21．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析，此时
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．
22．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【详解】证明：四边形是平行四边形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
23．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
24．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
(1)求证：；
(2)若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
实际问题
25．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是元，根据题意得：
解得：，
经检验是所列分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋副，根据题意得：
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
在中，
为正整数，
当时，有最小值，最小值为（元），
则（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
26．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
．
答：两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用，
即，
由题意得，a应满足：，解得．
，
∴w随着a的增大而增大，
当时，w的值最小，最小值为，
费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
，
解得．
27．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，矩形实验田的面积能达到；
（3），
当时，有最大值．
几何综合
28．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
【答案】(1)作图见详解
(2)见解析
【详解】（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，平分，即，
如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
29．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
30．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分．

(1)求证：是菱形；
(2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)5
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）连接，交于点O，

∵四边形是菱形．，，
∴，，，
∴，
即菱形的边长为5．
31．（2024·西藏·中考真题）如图，是的直径，C，D是上两点，连接，，平分，，交延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
32．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
B组 中考模拟
数与式
1．（2025·山东东营·一模）（1）计算：；
（2）化简求值：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）；（2），当时，原式的值为
【详解】解：（1）
；
（2）
，
由题意得：、、、，
∴、、、，
故x取2，
当时，
原式．
2．（2024·25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【详解】解：
原式.
3．（2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：
(1)计算；
(2)若的值是0，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为
【详解】（1）解：由题意可得原式；
（2）解：由题意可得，
解得，
即的值为．
方程（组）与不等式（组）
4．（2025·安徽·一模）用适当的方法解方程．
【答案】，．
【详解】解：∵，
即，
因式分解得，
∴或，
解得，．
5．（2025·安徽·一模）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
【答案】，数轴见解析：
【详解】解：
由①得；
由②得．
在数轴上表示这个解集如解图所示：
所以原不等式组的解集为．
6．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
(1)你认为小丁的解法_____，小迪的解法_____；（填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)，过程见解析
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误；
（2）解：
去分母，得
去括号得，
解得，
检验，将代入
∴原方程的解是．
一次函数与反比例函数的综合
7．（2025·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
(3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）解：点在一次函数上，
，
一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
．
，
把代入得，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：法1：作轴交直线于点，
，
，
，
，
．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，
连接，
与同底等高，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，
由旋转的性质可知：，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
点，
为等腰直角三角形．
设，则，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解．
8．（2025·山西朔州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点和点，连接，过点B作轴，垂足为D，的延长线与直线交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：把代入反比例函数，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入反比例函数解析式可得，
则，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
一次函数的解析式为，
（2）解：设直线的解析式为，
把代入一次函数解析式，可得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
的面积为．
9．（2025·重庆·模拟预测）如图．在中，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为(秒)，的面积为
(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：
(3)反比例函数的图象如下，直接写出时的取值范围．（误差小于)
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵在中，
∴，；
依题意，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，
∴，则，
在中，，
∴；
当时，
∴，则；
当时，
∴，则，
∴；
（2）解：如图所示，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取得最大值最大值为；
（3）解：如图所示
根据函数图象可得，时的取值范围为．
10．（2025·安徽·一模）已知一次函数与反比例函数的图象都经过点，．
(1)求一次函数表达式；
(2)在图中画出一次函数的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析，或
【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：
∴．
将点代入得：．
∴，
∴一次函数表达式为．
（2）解： 当时，，
过，画出一次函数的图象，下图为所求：
从图象可知，
一次函数值大于反比例函数值时的取值范围：或．
11．（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ．
【答案】(1)，
(2)12
(3)
【详解】（1）解：将点B坐标代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
∴，则，
∴点D的坐标为，
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由得，
∴，，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：∵，

∴，
∵与的面积比为，
∴，
∴点M为的中点，
∴点M的坐标为，
故答案为：
12．（2025·河南周口·一模）如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3．
(1)分别求出m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：点的坐标为，
，
轴，且的面积为3，
，
，
点的坐标为，
将点代入，得，
将点代入，得；
（2）解：由（1）可知，，，
令，
解得，，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：由函数图像可知，
关于的不等式的解集为或．
二次函数综合
13．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，点的坐标为
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得，
直线的解析式为，
设，则，
，
由题意知，
如图，过点作，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
；
（ii）由（i）可知，，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
设，
若以为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形为矩形，
，
点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为矩形，满足题意，
点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的判定方法和性质，平移的规律等知识，数形结合分析是解题的关键．
14．（2025·天津北辰·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，是等边三角形，点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过边的中点．
(1)如图①，点B的坐标为_______；点D的坐标为_______；
(2)将矩形沿x轴向右平移，得到矩形点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当点在的外部，且矩形与重叠部分为五边形时，，与分别相交于点F和点G，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】(1)，
(2)①，；②
【详解】（1）解：过点B作于，记射线与交于点，中点记为N，
∵是等边三角形，点，
∴，，
∴，，
∴；
∵四边形为矩形，
∴，，
∵点N为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①如图：
由平移可得，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴同理，
∴，
∴，
当点与点重合时，此时矩形与重叠部分为四边形，，
故使得矩形与重叠部分为五边形时，则；
当点恰好落在上时，如图：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴t的取值范围为；
②当时，此时矩形与重叠部分为四边形，
此时，在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，由①得：，
对称轴为直线，而开口向下，
∴当时，随着的增大而增大，
∴时，，时，，
∴；
当时，此时矩形与重叠部分为六边形，如图：
由上可知，
此时在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，开口向下，
∴，
当时，，
当时，，
∴；
当时，此时矩形与重叠部分为五边形，如图：
同上可求
∴，
∵对称轴为直线，开口向下，
∴当，随着的增大而减小，
∴时，；时，，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了动点类的分析问题，涉及矩形的性质，解直角三角形，二次函数的性质，一次函数的性质，等边三角形的性质，难度很大，解题的关键在于分类讨论，对画图找临界位置要求非常高．
15．（2025·安徽·一模）如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6．
(1)求b，c；
(2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值；
(3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点，
∴，
∵的面积，
∴，即点，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得．
（2）解：由（1）得抛物线的表达式为，
令，即，
解的，或，
∴点，，
如图所示，过点作轴于点，
设点M的坐标为，
∴，，，，
∵
∴
，
∵，
∴当时，S最大值，
答：四边形的面积S的最大值为．
（3）解：设点P的坐标为，则，，，
当时，即，
解得（舍去）或3，即点P的坐标为；
当时，则，
解得或，即点P的坐标为或；
当时，则，
解得，即点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
16．（2025·河北保定·一模）已知抛物线过点．
(1)用含的代数式表示；
(2)当时，抛物线如图所示，小正方形的边长均为1个单位长度．
①求抛物线的顶点坐标，并在图中补全平面直角坐标系；
②若是抛物线上不同的两点，且，求的值；
③图中有一个矩形框（四个顶点的横、纵坐标都是整数），将抛物线中对应的曲线记为图象，并将图象沿轴竖直向下平移个单位长度得到图象，当图象在矩形框内（包括边界）时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，图见解析；②；③
【详解】（1）解：将点代入，
得到；
（2）解：①当时，，
抛物线的顶点坐标为
如图：
②当时，．
，
，整理得，
解得．
是抛物线上不同的两点，
；
③t的取值范围为．
由题意得，平移后的解析式为．
当时，；
当时，；
当时，．
当时，随的增大而增大．
由图象需在矩形框内可得，解得．
由，得．
在中，若要满足图象在矩形框内，此时需要，结合的图象，可得或．
综上，当或时，图象在矩形框内，但均不满足，舍去．
当时．
由图象需在矩形框内可得，解得．由，得．
由，得．
由，得．
在中，若要满足图象在矩形框内，此时需要，结合的图象，可得（舍）或．
综上，当时，图象在矩形框里．
17．（2025·山东济南·一模）抛物线交x轴于，B两点（B在A的右侧），交y轴于点，M是第四象限内抛物线上一动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，过动点M作，垂足为点D，连接．当时，求的长；
(3)如图2，过动点M作的平行线交y轴于点N，若射线平分线段，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：抛物线过
解得：
抛物线解析式为：
（2）抛物线与轴交于，
令，则：，
，
∵，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，把代入得：，
解析式为：，
如图，过点作轴，垂足为，交于点，
，
∴，
∵，
，
又
，
，
又，
，
设，则
解得：
；
（3）
同（2）法可得：直线解析式为：
由（2）知解析式为：
设
设的解析式为：，把代入，得：，
解析式为：
中点为
将代入
得：
解得：（舍），
．
18．（2025·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点，
(1)若，且．
（i）求抛物线的函数表达式；
（ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)（1）（i）；（ii）
(2)
【详解】（1）解：（i），抛物线与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），，
，点的坐标为，点的坐标为，
，即抛物线的函数表达式为，
，
∴二次函数的函数表达式为；
（ii）设的坐标为（t，h），则抛物线为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的函数表达式为，
∵顶点在线段上
∴
，即，
∵抛物线经过点，
，解得（不合题意，舍去），
即点的横坐标为；
（2）设，，
，即，
将代入，得．
由题意得，
，即，
，，
当时，的最小值为．
19．（2025·广东深圳·一模）已知二次函数．
(1)若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
(2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【详解】（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
20．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若，则点P的坐标为 ；
(3)如图2，延长交x轴于点G，若．
①求点G的坐标；
②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，
∴点，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，
则轴，则，
而，
则，
即和关于对称，
设直线的表达式为：，
则，
解得：，
∴，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：舍去或3，
则点，
故答案为：；
（3）解：①设点，
，
则，
则，
即点；
②由点A、D的坐标得，
直线的表达式为：，
同理可得直线的表达式为：，
联立和抛物线的表达式得：
，
则舍去或，
则点，
设点，点，
由点A、N、D、P、Q的坐标得，
，，，，
由①知，，
而，
即，
则，
即，
，
，
则，
即：,
则，
即n的最大值为：，
故答案为：
21．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段的最大值；
(3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：将、两点代入抛物线，
则，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）解：将代入中，则，
∴，
又∵，
设直线的解析为，
则，解得：，
∴直线的解析为，
设，则，
∴，
∵，且，
∴当时，线段有最大值为；
（3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：
∵，
∴
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形与相似，
∴或，
∵， .
∴，
设，则，
∴，
∴或，
解得(P与C重合，舍去)或或，
当时，，
当，时，，,
∴.P的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用，
统计与概率
22．（2025·安徽合肥·一模）某商场举办抽奖活动：在一个不透明的箱子中放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，其余球上都无字．顾客随机从箱中摸出一个球，若有字，则能获得一份小礼品．
(1)某顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是_____．
(2)取出分别写有“最”“美”“安”“微”，四个字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，不放回，再从中取出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次取出的球能组成“安徽”的概率．
【答案】(1)
(2)（两次取出的球能组成“安徽”）
【详解】（1）解：放入100个大小、材质均相同的小球，其中有4个球上分别写有“最”“美”“安”“徽”，若有字，则能获得一份小礼品，
∴顾客随机从箱中摸出一个球，他获得小礼品的概率是，
故答案为：；
（2）解：运用画树状图把所有等可能结果表示如下，
∴共有12种等可能结果，其中是“安徽”的有2种结果，
∴两次取出的球能组成“安徽”的概率为，
∴（两次取出的球能组成“安徽”）．
23．（2025·广东深圳·一模）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
(1)本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的_____，____．
(2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
(3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
【答案】(1)
(2)该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人
(3)
【详解】（1）解：（人），
所以本次调查共抽取了200名学生，
，
，即，
故此题答案为：；
（2）解： （人），
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．
24．（2025·河南驻马店·一模）为贯彻新时代党的教育方针政策、落实立德树人根本任务，某中学开展了人文、科技、艺术、体育和劳动五类特色社团课程、每人限选一类、学校为了解七年级学生对五类特色社团课程的选择情况，随机抽取m名七年级学生进行了问卷调查，并将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)________，扇形统计图中科技类对应的圆心角的度数为________；
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级选择科技和劳动两类特色社团课程的人数之和，
【答案】(1)60，
(2)见解析
(3)大约有540人
【详解】（1）解：本次随机抽取的学生人数（名），
扇形统计图中科技类对应的圆心角的度数为；
（2）解：艺术的频数为（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
答：估计该校七年级选择科技和劳动两类特色社团课程的人数之和大约有540人．
25．（2025·安徽六安·一模）为了减轻学生的作业负担，要求七年级学生每晚的作业总量不超过1.5小时，一个月后，（1）班学习委员亮亮对本班每位同学晚上完成作业的时间进行了一次统计，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)该班共有学生_____人；
(2)将图1的条形图补充完整；
(3)说明完成作业时间的中位数在哪个时间段内？
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)完成作业时间的中位数在1~1.5小时的时间段内
【详解】（1）解：人，
故答案为：40；
（2）解：∵样本容量=频数+频率，∴的频数（人），
条形图如图所示：
（3）解：根据题意，得完成时间为的人数为（人），
一共有40人，故中位数应是第20、第21个两个数据的平均数，
∵有12人，有18人，且，，
∴完成作业时间的中位数在1~1.5小时的时间段内．
全等与相似
26．（2025·安徽·一模）已知等边，点在上，点在延长线上，满足，为上一点，连接，．
(1)若点为中点，求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：延长至使，连接，，，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：延长至使，交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
27．（2025·河北保定·一模）如图．在中，，，，是的中点，动点从点出发．沿边以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接．设点运动的时间为秒．
(1)求的长度；
(2)当的长度最小时，求的值；
(3)嘉嘉：“在点由点运动到点的过程中．点到直线的距离逐渐减小．”判断嘉嘉的说法是否正确．并说明理由；
(4)连接．当点在的内部（包括边界）时．直接写出点的运动路径长．
【答案】(1)10
(2)
(3)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
(4)
【详解】（1）解：在中，，
根据勾股定理可得；
（2）解：是的中点，
．
线段绕点D逆时针旋转得线段，
是等腰直角三角形，
，
，
当的长度最小时，的长度最小．
当时，的长度最小，
此时，
，
解得；
（3）解：嘉嘉的说法不正确；
理由：如图，如图，分别过点，作的垂线，
垂足分别为，
，
，
由题意可得，
，
，
，
；
当时，点到的距离为0，此时．
当时，点从点向右运动过程中，逐渐减小，
逐渐减小，即点到直线的距离逐渐减小．
当时，点向点运动时，逐渐增大，
逐渐增大，即点到直线的距离逐渐增大，
即在点由点运动到点的过程中，点到直线的距离先逐渐减小，再逐渐增大，所以嘉嘉的说法不正确；
（4）解：点的运动路径长为．
如图，当点在上时，
是的中点，
又，
，
，
解得，
，
当点在上时，，由（3）可得，
，
当时，易得．
又点到的最短距离为，
，
此时点都在的内部．
28．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：．

【答案】见解析
【详解】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
即．
29．（2025·安徽阜阳·一模）在四边形中，与相交于点，．

(1)如图1，点在四边形外，为等边三角形，连接，已知．
（i）求证：四边形为平行四边形；
（ii）若，求的度数；
(2)如图2，点在边上，分别连接交于，过作交的延长线于．已知：．求证：．
【答案】(1)（i）见解析；（ii）
(2)见解析
【详解】（1）证明：（i）为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（ii）解：四边形为平行四边形，
．
在四边形中，，
，
；
（2）证明：如图，分别作于，于．
，，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，四边形的内角和，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
30．（2025·贵州遵义·一模）【探索研究】在中，D为延长线上一点，，P为上一点，连接交于点E．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，若P为中点，为等边三角形，求与间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，若，求与间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：6
（2）解：，理由见解析：
如图：过点P作于点F，
∵是等边三角形，
∴，
∴
设，则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：取的中点H，连接
∵
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
31．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，连接与交于点O，．下面是两位同学的对话：
(1)请选择一位同学的说法，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
【答案】(1)选小明，证明见解析
(2)8
【详解】（1）解：选小明
，
，
在和中，
，
，
平行四边形为菱形．
选小聪：
，
，
在和中，
，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
在和中，
，
，
∴
；
，四边形为菱形，
，
在中，，
∴，
∴，
又，
∴．
32．（2025·安徽·一模）如图①，在菱形中，点分别在上，．
(1)求证：；
(2)如图②，若为中点，连接．
①求证：平分；
②若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
，
，
，
，
，
即；
（2）①证明：由（）证得，
，
为中点，
，
，
即，
，
，
，
平分；
②解：如图②，连接，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∵，为中点，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
，
由（）①知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
为中点，
∴，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，三角函数，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
实际问题
33．（2025·河南驻马店·一模）如图，热爱生活的兰兰想对自家阳台上的栏杆进行装饰，把每根柱子下段涂色．测量发现长为，栏杆被12根柱子等分成13份，使每根柱子上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（柱子宽度忽略不计），且左起第4根柱子涂色部分的高度．请完成下列任务：
(1)求左起第一根柱子涂色部分的高度；
(2)爸爸想了想说，有两根相邻的柱子涂色部分的高度相差，请你帮兰兰求出这两根柱子分别是左起第几根．
【答案】(1)左起第一根柱子涂色部分的高度为．
(2)相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图所示．
设抛物线的表达式为．
∵，
∴．
∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份，
∴
，
将，代入，
得，解得．
∴抛物线的表达式为．
∵，
当时，，
∴左起第一根柱子涂色部分的高度为．
（2）解：当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，
则，
解得．
故第7根与第8根的高度差为米．
由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为米．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
34．（2025·浙江·一模）在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)求小明、小红两人的速度．
(2)求小明从地前往地过程中关于的函数表达式．
(3)请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米．
【答案】(1)小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分）
(2)
(3)或或
【详解】（1）解：根据图象，得到，小红走完用时间为，
故小红的速度为：；
根据图象，得到，小明走完用时间为，
故小明的速度为：．
（2）解：根据题意，小明从地前往地用时间为，
故直线经过点和，
设解析式，
故 ，
解得，
故解析式为．
（3）① ，
解得 ；
②，解得 ；
③ ，
解得 .
综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意.
【点睛】本题考查了函数图象信息的读取与应用，待定系数法求解析式，分类思想解答，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
35．（2025·安徽六安·一模）综合实践：投篮研究
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．

(1)计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐；
(2)该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）．
【答案】(1)小玫初次投篮时不能命中篮筐
(2)
【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为，
∴设，
∵这个抛物线经过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
所以小玫初次投篮时不能命中篮筐．
（2）解：向前走了米后抛物线的表达式为，
∵此次正好投进一个“空心球”，即此时抛物线经过点，
∴，
解得或，
当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去，
答：的值为．
36．（2025·河南周口·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元．
(1)求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
(2)该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元
(2)当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元
【详解】（1）解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．
由题意得，
解得，
答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元．
（2）解：设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型．
由题意得．
解得，
依题意，设利润为元．
由题意得．
，
随的增大而减小．
为正整数，
当取最小值67时，利润取得最大值，为（元）．
答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元．
37．（2025·浙江宁波·模拟预测）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且时，时，．求：
(1)y与x之间的表达式；
(2)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围．
【答案】(1)
(2)当时，最大利润为元
(3)
【详解】（1）解：设表达式为，将 和 代入 得：
，解得，
；
（2）解：∵这批白茶每千克获利不得高于元，
根据题意得：
，
解得，
在对称轴左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大利润为元；
（3）解：当时，，
解得或，
由得，
∴销售单价的范围为．
几何综合
38．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径的圆与交于点，与交于点，连接，．
(1)求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为5
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
又，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
整理得，
解得或（舍去），
的长为5．
39．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点与点对应，点与点对应．
(1)当时，的长为_____．
(2)如图2，是的中点，连接，过点作且交直线于点．
①求证：．
②在旋转的过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的长度．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②2或18
【详解】（1）解：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵旋转，
∴，
∴，
①证明：如图所示，延长交于点，则，连接，
∵点是中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②在中，，
∴，
第一种情况，如图所示，四边形是菱形，
∵旋转，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴；
第二种情况，如图所示，四边形是菱形，则，
∵，
∴共线，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴点共线，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，数形结合分析思想是解题的关键．
40．（2025·湖北武汉·模拟预测）问题背景 如图（1），在矩形中，E为上一点，F为上一点，且，求证：．
问题探究 如图（2），以为边作等边，G点在的延长线上，当的时候，求与的面积之比．
问题拓展 如图（3），G在的延长线上，连接，当，，时直接写出的长度．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【详解】解：（1）∵在矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图：过F作，过G作，
设，则，
∵等边，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∴，
∴．
41．（2025·河南驻马店·一模）如图，已知及外一点P．
(1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母．
①作出线段的垂直平分线交于点A；
②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线．
(2)在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C．
①求证：是的切线；
②若，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)①证明见解析，②
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）证明：①连接，
∵是的直径，
∴，
即于点B，
∴是的切线．
②连接，
∵，，
∴，
∵为的垂直平分线
∴，
设，则，
在中，
∴
解得：．
∴．
42．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知是的直径，切于点，交于点为的中点，连接．

(1)求证：是的切线（提示：利用是直角三角形斜边的中线进行证明）
(2)若，求的正切值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）连接，如图，
是的直径，
，
，
∵E为的中点，
，
，
，
，
∵切于点，，
，
是的切线
（2）在中，
，
，
，
，
，
即，
连接，则，
，

43．（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，，为直线上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，若在边上，，，求的长；
(2)如图2，若在边上，连接，延长交于，求证：；
(3)如图3，若在的延长线上，连接，延长交于，为射线上一点，连接，使得，连接、，当△为直角三角形时，请直接写出此时的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)的值为或
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
；
（2）证明：如图2，作射线交的延长线于点，使，过点作交于点，过点作的垂线段交于点，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
由（1）知，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：以为边向上侧作等边，连接，连接，
则，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
,
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
①当时，
设，
，
，
，
，
；
②当时，
设，则，
，
，
，
；
综上，的值为或．
44．（2025·河北保定·一模）折纸中蕴含着很多数学知识．小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形．

(1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是___________（填“菱形”或“矩形”）；
(2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为___________；
(3)小珍和小轩要通过各自的剪切方法，得到相同大小的正方形．当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为___________．
【答案】(1)菱形
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图所示：
小珍剪的角展开后，其图形是图中虚线组成的，四条边相等，根据四条边相等的四边形是菱形，
故答案为：菱形；
（2）解：如图所示：
根据题意，，正八边形的内角，
，为剪下去的一个角，
，
同理可求，
原正方形的边长，
故答案为：；
（3）解：当小轩在边长为的正方形纸片中剪下一个最大的正方形，
如图所示：
他应沿剪，此时为正方形的边的中点，， ，
，
，
展开后的图如图所示：
由折叠可知，
，
若要满足前面的条件，此时图2中的虚线长应为，
故答案为：．
45．（2025·安徽六安·一模）如图1，在中，，分别为，的中点，连接，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接交于点，交于点，且，连接，．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）①证明：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
（舍去负值），
．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能数形结合分析是解题的关键．
调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况选择（例：65~70岁表示大于等于65岁同时小于70岁）．
1．您的年龄范围（ ）
A．65~70岁 B．70~75岁 C．75~80岁 D．80岁及以上
2．您的养老需求（ ）
A．医疗服务 B．社交娱乐 C．健身活动
D．餐饮服务 E．其他
3．您的健康状况（ ）
A．良好 B．一般 C．较差
65～70岁
70～75岁
75～80岁
80岁及以上
良好
65%
58%
50%
40%
一般
25%
30%
359%
40%
较差
10%
12%
15%
20%
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
乙组
7.625
7
b
0.73
c
小丁：
解：去分母，得
去括号，得
解得
∴原方程的解是
小迪：
解：去分母，得
去括号得
合并同类项得
解得
经检验，是方程的增根，原方程无解
调查问卷（单项选择）
你最喜欢阅读的图书类型是（ ）
A．文学名著 B．名人传记 C．科学技术 D．其他