浙江省义乌中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性考试数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的运算法则计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定得解．
【详解】由存在量词命题的否定可知，
命题，的否定是，.
故选：D
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断.
详解】，即，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
4. 已知函数是偶函数，则的单调增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数的对称性求参数，再得单调增区间.
【详解】因为函数是偶函数，
所以的图象关于轴对称，
所以对称轴为直线，即，则．
所以，
所以的单调增区间是．
故选：B.
5. 已知函数，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据根式的性质求的定义域，再由复合函数定义域的求法求的定义域.
【详解】由题设，即的定义域为，
对于，有，则，即定义域为.
故选：D
6. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】整理得，，，进而比较大小即可.
【详解】由，
，
，
而，
则，即.
故选：D.
7. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可.
【详解】于D，，
,,
且
故当时，重合部分为三角形，
三角形的高，
面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；
当时，重合部分为直角梯形，
上底长为，
下底长，高为4，
故，
函数图像为一条直线，故排除D选项；
当时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为，
高为
两个梯形下底长均为，
右边直角梯形上底长为，
高为，
故，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项；
故选：C
8. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件通过特值法逐步求出， ，，的值，从而找到的值.
【详解】令，则有，由于，则，故；
令，则有，将已知条件代入，得到，因此；
令，则有；
令，则有；
令，则有.
因此，.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为4
C. 的最小值为D. 的最小值为0
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用完全平方公式与基本不等式判断C，利用代入消元法，结合基本不等式判断D，从而得解.
【详解】对于A，因为，，且，所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，显然其最大值不可能为4，故B错误；
对于C，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，由，，且，可知，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为0，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证；由B选项分析可知，故D错误.
【详解】因为不等式的解集为，所以，A正确；
由题意，方程的两根是，，
由韦达定理：得：，，等价于，
所以，B错误；
不等式等价于，即，解得：或，C正确；
因为，，所以，D错误.
故选：AC.
11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. ，使得
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D.
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减，
所以在单调递增，又，所以，
因为定义在上函数图象是连续不断的，
所以当时，；当时，.
对于A，，故A正确；
对于B，若，则，即，
解得或，则，故B正确；
对于C，若，则或，
即或，
解得或，故C错误；
对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的，
且在上单调递减，在单调递增，
所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式直接计算．
【详解】由已知得．
故答案为：.
13. 已知函数，，若，则的最大值为__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意分析出的解析式，进而作出的大致图象，从而得解.
【详解】因为，，
令，得，解得或；
令，得，解得或；
所以，
又，，
作出的大致图象，如图，
结合图象可知的最大值为.
故答案为：.
14. 若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解.
【详解】,
设 ，
且，
故答案为：
【点睛】解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知全集，集合，集合.
（1）求集合；
（2）设集合，若集合，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到或，根据补集和交集概念求出答案；
（2）得到为的真子集，且，从而得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
，
等价于，解得或，
故或，，
而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
由是的充分不必要条件，故为的真子集，
又，
故，解得，
故实数a的取值范围是.
16. 某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成面积为的十字形区域，且计划在正方形上建一座花坛，其造价为元/，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为元/，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为元/.
（1）设的长为米，试写出总造价(单位：元)关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（2）问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值.
【答案】（1）
（2），最小值为元
【解析】
【分析】（1）设，根据题设有，从而得，再结合条件，即可求解；
（2）令，，可得，利用基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
设，则，
所以，由，可得，
所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为
.
【小问2详解】
令，则，且，
因为函数，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以总造价的最小值为元.
17 已知函数．
（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）试求在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）或
（2），
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；
（2）结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
因为在区间上是单调函数，
所以或，
所以或，
故实数的取值范围为或.
【小问2详解】
当，即时，函数在上单调递增，
则，；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
此时，，
则，
则时，，即；
时，，即；
时，，即；
当，即时，函数在上单调递减，
则，.
综上所述，，.
18. 已知函数.
（1）若为偶函数，写出的值（不需要证明）；
（2）当时，求在上的单调区间并加以说明；
（3）当时，函数与有两个不同的交点，若，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义，结合恒移动式求出.
（2）把代入，按分类，结合对勾函数求出分段求出单调区间.
（3）把代入，由构造函数并化成分段函数，再按分类求出函数的两个零点并求出的范围即可得解.
【小问1详解】
函数的定义域为，
由为偶函数，得，即，
则对恒成立，于是，
所以.
【小问2详解】
当时，函数，，
当时，，函数在上都单调递增，
因此函数的递增区间为；
当时，，函数在上递减，在上递增，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
因此当时，在上单调递增，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
【小问3详解】
当时，，由，得，
依题意，方程有两个不同的实根，
设，
①当时，由，得，（不符合要求），
所以，
函数在上单调递减，因此，
②当时，由，得是方程的两个根，
则，，
因此，则，
由，使得成立，得，
所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；
④若，使得成立，则.
19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”.
（1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数，证明：不是“等差集”.
【答案】（1）或或；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可；
（2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可；
（3）利用反证法结合新定义证明即可.
【小问1详解】
因为，且B是“等差集”，
所以B至少含有三个元素，
根据“等差集”的定义可知：，
所以或或；
【小问2详解】
若，则，
又因各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去；
若，则或，
显然时，，舍去，而时，，符合题意；
若，则，
同上，显然此时，不符题意，舍去；
综上所述：.
【小问3详解】
假设是“等差集”，显然
则存在，使得成立，
整理得，
易知，则，此时，
与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕.
【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问.