2025-2026学年浙江省义乌中学高二上学期第一次阶段性考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年浙江省义乌中学高二上学期第一次阶段性考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i-2+i，则z=( )
A. 1B. 2C. 2D. 5
2.过Am2,m+3,B1,2m2两点的直线l的倾斜角为135°，则m的值为( )．
A. -1或2B. 2C. -1D. -2
3.与向量n=(1,-1,2)反向的单位向量的坐标为( )
A. - 66, 66,- 63B. 66,- 66, 63
C. (-1,1,-2)D. 12,-12,1
4.若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α,n⊂α，则m//nB. 若m//α,n//α，则m//n
C. 若m//α,n⊥α，则m⊥nD. 若m//α,n⊥α，则m与n相交
5.已知点A(-1,0)在圆x2+y2+2x+3y+m=0外，则实数m的取值范围是( )
A. 1,+∞B. 1,134
C. -∞,134D. 1,134∪134,+∞
6.设直线l:3x+2y-6=0，Pm,n为直线l上动点，则m-12+n2的最小值为( )
A. 913B. 313C. 3 1313D. 1313
7.过定点A的直线a+1x-y+2=0与过定点B的直线x+a+1y-5a-2=0交于点P(P与A､B不重合)，则▵PAB面积的最大值为( )
A. 4B. 92C. 2D. 32
8.在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足AM=xAB+yAC+1-x-yAD，点N满足DN=λDA-λ-1DB，当AM、DN最短时，AM⋅MN=( )
A. -13B. 13C. -23D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若p是平面α的一个法向量，A,B是直线b上不同的两点，则b//α的充要条件是p⋅AB=0
B. 已知A,B,C三点不共线，对于空间中任意一点O，若OP=25OA+15OB+25OC，则P,A,B,C四点共面
C. 已知a=-1,1,2,b=0,2,3，若ka+b与2a-b垂直，则k=-34
D. 已知▵ABC的顶点分别为A-1,1,2,B4,1,4,C3,-2,2，则AC边上的高BD的长为 13
10.下列说法正确的是( )
A. 经过点P1,1，倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)
B. “a=-4”是“直线ax+2y-1=0与直线8x+ay+2-a=0平行”的充要条件
C. 经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
D. 以A4,1，B1,-2为直径端点的圆的方程为x-4x-1+y-1y+2=0
11.已知曲线E的方程为x2+y2=x+y，则( )
A. 曲线E关于直线y=x对称
B. 曲线E围成的图形面积为π+2
C. 若点x0,y0在曲线E上，则-1+ 22≤x0≤1+ 22
D. 若圆x2+y2=r2r>0能覆盖曲线E，则r的最小值为1+ 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
13.▵ABC中，A3,-1，AB边上的中线CM所在直线方程为：2x+4y-13=0，∠B的平分线方程BT为：x-y+3=0，则直线BC的方程为 ．
14.已知平面上两定点A、B，则所有满足PAPB=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为λ1-λ2⋅AB的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C过点A4,0，B0,4，且圆心C在直线l：x+y-6=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)若从点M4,1发出的光线经过直线y=x+1反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1所在直线的方程．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2-bc=0．
(1)求角A；
(2)求sinB- 3csC的取值范围．
17.(本小题15分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60 ∘.记AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a,b,c表示BD1，并求BD1；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值；
(3)线段B1C上是否存在点P，使得BD1，AC，A1P是共面向量？若存在，求B1PB1C，若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=1，AB⊥BO，点P12,14是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成▵AMN，设直线MN的斜率为k，问：
(1)求直线MN的方程(用k表示)；
(2)若▵OMP的面积为S▵OMP，求f(k)=S▵OMP的表达式；
(3)求三角板▵AMN的面积最大值，并求此时直线MN的方程．
19.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，点E,F分别在AD,BC上，且AE=1,BF=4，沿EF将四边形AEFB折成四边形A'EFB'．

(1)求证：A'D//平面B'FC；
(2)若点B'在平面CDEF上的射影H在直线DE上，求直线CB'与平面B'HD所成角α的正弦值；
(3)在(2)的条件下，设点M在线段FH上，平面MB'C与平面HB'D所成锐二面角的平面角为β.若α=β，求FMFH．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.C
5.B
6.A
7.B
8.A
9.BCD
10.BD
11.ABC
12.49
13.x+6y-32=0
14.43π+ 32π
15.【详解】(1)AB的斜率为4-00-4=-1，中点坐标为(2,2)，
由题意得圆心C在AB的垂直平分线y=x上，
y=xx+y-6=0，解得x=3y=3，故C(3,3)，半径为R= 12+32= 10，
圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10；
(2)如图所示，过M4,1与直线y=x+1垂直的直线方程为y=-x+5，
由y=x+1y=-x+5得x=2y=3，两直线交于点(2,3)，
则M(4,1)关于直线y=x+1的对称点为M'(0,5)，
由题意得反射光线过圆心C，直线M'C的斜率为k=5-30-3=-23，
故直线M'C的方程为y=-23x+5，即2x+3y-15=0．


16.【详解】(1)∵b2+c2-a2-bc=0，∴b2+c2-a2=bc，
则csA=b2+c2-a22bc=12，
又∵A∈0,π，故A=π3．
(2)∵sinB- 3csC=sinB+ 3csA+B=sinB+ 3csπ3+B
=sinB+ 312csB- 32sinB=-12sinB+ 32csB=sinπ3-B，
又∵B∈0,2π3，∴π3-B∈-π3,π3，∴sinπ3-B∈- 32, 32，
∴sinB- 3csC的取值范围为- 32, 32．

17.【详解】(1)由题意知：a=b=c=1，===60 ∘，
∴a⋅b=b⋅c=c⋅a=1×1×cs60 ∘=12，
又∵BD1=BA+AA1+A1D1=-a+c+b，
∴BD12=b+c-a2=b2+c2+a2+2b⋅c-2b⋅a-2c⋅a=1+1+1+1-1-1=2，
∴BD1= 2，即BD1的长为 2，
(2)∵AC=AB+AD=a+b，
∴AC2=a+b2=a2+2a⋅b+b2=1+2×12+1=3，
∴AC= 3，
BD1⋅AC=b+c-a⋅a+b=a⋅b+a⋅c-a2+b2+b⋅c-a⋅b=1，
∴csBD1,AC=BD1⋅ACBD1AC=1 2× 3= 66，
即BD1与AC夹角的余弦值为 66．
(3)当P∈B1C，可设B1P=tB1C=tBC-BB1=tb-c，A1P=A1B1+B1P=a+tb-c，
若BD1，AC，A1P是共面向量，即存在x，y，令A1P=xBD1+yAC，
即a+tb-c=x-a+b+c+ya+b，
由1=-x+yt=x+y-t=x，解得x=-13，y=23，t=13，
故存在点P且B1PB1C=13．

18.【详解】(1)根据题意，由直线的点斜式方程可知直线MN的方程为y-14=kx-12；
(2)因为AB=BO=1，AB⊥BO，
所以直线OA的方程为y=x，直线AB的方程为x=1；
联立y-14=kx-12y=x，解得M2k-14k-4,2k-14k-4；
因为2k-14k-4≥0，解得k≤12或k≥1；
又由y-14=kx-12x=1，可得N1,2k+14，
因此2k+14≥0，解得k≥-12，所以-12≤k≤12，
易知OM= 22k-14k-4，
且点P到直线OM的距离为d=14 2= 28；
所以▵OMP的面积f(k)=S▵OMP=12OMd=12× 22k-14k-4× 28=2k-132k-1-12≤k≤12．
(3)易知AN=1-2k+14=3-2k4，
且点M到直线AN的距离为1-2k-14k-4=2k-34k-4，
所以三角板▵AMN的面积为S▵AMN=12AN×2k-34k-4=12×3-2k4×2k-34k-4=3-2k2321-k-12≤k≤12，
令gk=3-2k2321-k-12≤k≤12，
则gk=1+2-2k2321-k=41-k2+41-k+1321-k=1-k8+1321-k+18；
令1-k=t，可得t∈12,32，
即gt=t8+132t+18,t∈12,32，
由对勾函数性质可知gt在12,32上单调递增，所以gtmax=g32=316+148+18=13；
此时t=32，即k=-12时三角板▵AMN的面积取得最大值13，
此时直线MN的方程为y-14=-12x-12，即y=-12x-1．

19.【详解】(1)∵A'E//B'F，A'E⊄平面B'FC，B'F⊂平面B'FC．
∴A'E//平面B'FC，
由DE//FC，同理可得DE//平面B'FC，
又∵A'E∩DE=E，A'E⊂平面A'ED，DE⊂平面A'ED，
∴平面A'ED//平面B'FC，∵A'D⊂平面A'ED，
∴A'D//平面B'FC；
(2)

如图所示，
过E作ER//DC，过E作ES⊥平面EFCD，
分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵B'在平面CDEF上的射影H在直线DE上，
设B'0,y,z，y>0,z>0，
因为F3,3,0，且B'E= 10，B'F=4；
∴y2+z2=109+(y-3)2+z2=16，解得y=2z= 6,∴B'0,2, 6,
而C3,5,0，
所以B'C=3,3,- 6，
因为B'H⊥平面EDCF，CD⊂平面EDCF，
所以B'H⊥CD，
因为ED⊥CD，B'H∩ED=H，B'H⊂平面B'HD，ED⊂平面B'HD，
所以CD⊥平面B'HD，
所以平面B'HD的一个法向量是n=DCDC=1,0,0，
所以sinα=n⋅B'Cn⋅B'C=3 9+9+6= 64，
即直线CB'与平面B'HD所成角α的正弦值 64；
(3)

设FMFH=λ,λ∈0,1，Mx1,y1,0，
因为E0,0,0,B'0,2, 6,H0,2,0,F3,3,0，C3,5,0，
所以FM=x1-3,y1-3,0=λ-3,-1,0=-3λ,-λ,0=λFH，
所以M3-3λ,3-λ,0，
从而MC=3λ,2+λ,0,B'C=3,3,- 6，
设平面MCB'的法向量为m=a,b,c，
所以MC⋅m=3λa+2+λb=0B'C⋅m=3a+3b- 6c=0,
设a=λ+2，解得b=-3λ,c= 61-λ，即m=λ+2,-3λ, 61-λ，
由(2)可知平面B'HD的一个法向量是n=DCDC=1,0,0，sinα= 64，
由题意可知平面MB'C与平面HB'D所成锐二面角的余弦值
csβ=m⋅nm⋅n=λ+2 λ+22+9λ2+61-λ2=csα= 1-sin2α= 1- 642= 104，
整理得，4λ2-4λ+1=0，解得λ=12，
即FMFH=12．