浙江省义乌中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性考试 数学试题

这是一份浙江省义乌中学2025-2026学年高一下学期第一次阶段性考试 数学试题，共9页。试卷主要包含了 下列说法正确的是， 下列等式不成立的有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z1=1+2i,z2=3−i ，则 z1+z2 等于( )
A. 4+2i B. 4+i C. 4−2i D. 4−i
2. 已知向量 a=2,2,b=1,−1 ，则())
A. a=−2b B. a=2b C. a//b D. a⊥b
3. 如图， △O′A′B′ 是水平放置的 △OAB 的直观图，则 △OAB 的面积为( )

A. 12 B. 24 C. 62 D. 122
4. 已知 α,β 表示两个不同的平面， m 为平面 α 内的一条直线，则 “ α//β ”是 “ m//β ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，若 a=5,b=7,c=8 ，则 B= ( )
A. π12 B. π3 C. π2 D. 2π3
6. 已知圆锥的高为 2,底面半径为 22 ,过圆锥任意两条母线所作的截面中,截面面积的最大值为( )
A. 4 B. 6
C. 823 D. 42
7. 已知函数 gx 是定义在区间 −3−m,m2−m 上的偶函数 m>0 ,且 fx=x2+1,xz2 D. 若复数 z1,z2 满足 z12+z22=0 ,则z1=z2=0
10. 下列等式不成立的有( )
A. cs40∘cs20∘−sin40∘sin20∘=32 B. sin15∘cs15∘=12
C. 1+tan15∘1−tan15∘=3 D. sin2π8−cs2π8=22
11. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, P 在棱 A1D1 上,且 PA=10,PD=2 ,则 ( )
A. AA1=1
B. 过点 A、P、C 的平面截该长方体,所得截面周长为 52+210
C. 以点 P 为球心， 2 为半径作一个球，则球面与底面 ABCD 的交线长为 2π
D. 三棱锥 P−ABD 外接球的体积是 36π
三.填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知一个圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,则这个圆锥的侧面积为_____.
13. 若复数 z 满足 z−2i=1 ，则 z 的最小值是_____.
14. 在 △ABC 中, D,E 在 BC 上, BD=DE=EC,AD=233,AD 与 AE 的夹角为 π6 , 则 AB⋅AC 的最大值为_____.
四.解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.)
15. 已知函数 fx=sinωx+3csωxω>0 的最小正周期为 π
(1)求 ω 及 fπ6 ；
(2)求 fx 在区间 −π12,π2 上的值域.
16. 如图,已知圆台 OO1 的轴截面为等腰梯形 ABB1A1 ,满足 AB=4,A1B1=2 ,点 C 为 AB⏜ (不包括端点) 上一点, M 为线段 BC 的中点,

(1)证明: B1M// 平面 A1AC ；
(2)若圆台 OO1 的体积为 733π ，求圆台 OO1 的表面积.
17. 已知函数 fx=4x−m+1⋅2x−1 .
(1)若 m=0 ，求 fx 在区间 −1,2 上的值域；
(2)若方程 fx+2=0 有实根，求实数 m 的取值范围；
(3)设函数 gx=12−2x2+4x−1 ，若对任意的 x1∈−1,2 ，总存在 x2∈0,3 ，使得 fx1≥gx2 ， 求实数 m 的取值范围.
18. 在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ， △ABC 的面积为S，且 b2−a2−c2=433S.

(1)求角 B 的大小；
(2)在 △ABC 中， b=23 ，求 2a+c 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，如图所示， D 为 △ABC 外一点， ∠DCB=∠B,CD=3 ， AC=AD ， 求 △ACD 外接圆半径 R 的长.
19. 欧拉 (1707-1783), 他是数学史上最多产的数学家之一, 他发现并证明了欧拉公式 eiθ=csθ+isinθ ,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的 θ 取作 π 就得到了欧拉恒等式 eiπ+1=0 ,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数 e ,圆周率 π ,两个单位——虚数单位 i 和自然数单位 1,以及被称为人类伟大发现之一的0 ，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式: eiθ=csθ+isinθ ,解决以下问题:
(1)将复数 eπi3+eπi 表示成 a+bi ( a,b∈R ， i 为虚数单位)的形式；
(2)求 eπi2+eθiθ∈R 的最大值；
(3)若 zn=1 ,则 z=zkk=0,1,2,⋯,n−1 ,这里 zk=cs2kπn+isin2kπnk=0,1,2,⋯,n−1 ,称 zk 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根. 类比立方差公式,我们可以获得 x5−1=x−1x4+x3+x2+x1+1 ,复数 z=e2πi5,Hx=x2+x+2 ,求 HzHz2Hz3Hz4 的值.
1. B
因为 z1=1+2i,z2=3−i ,所以 z1+z2=1+2i+3−i=4+i .
故选: B
2. D
向量 a=2,2,b=1,−1 ,
对于 A,−2b=−2,2,a≠−2b, A 错误;
对于 B,2b=2,−2,a≠2b, B 错误;
对于 C ,由于 2×−1≠2×1 ,即 a 与 b 不共线, C 错误;
对于 D,a⋅b=2×1+2×−1=0 ,因此 a⊥b,D 正确.
故选: D
3. A
由斜二测画法的规则,可知原图 △OAB 是直角三角形,
且 OA=6,OB=4,∠AOB=90∘ ,
故原图 △OAB 的面积为: 12×6×4=12 ,
故选: A.
4. A
因为 m⊂α ,若 α//β ,则由线面平行的性质可知 m//β ,故 “ α//β ” 是 “ m//β ” 的充分条件,
设 α∩β=n,m⊂α,m//n ,显然 n⊂β ,从而有 m//β 成立,但此时 α,β 不平行.
故选: A.
5. B
csB=a2+c2−b22ac=52+82−722×5×8=12
因为 0