浙江省义乌中学2025-2026学年高二上学期第一次阶段性考试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：马疆莉 审核：王鑫
一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解.
【详解】因，所以．
故选：D．
2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）.
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可．
【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即，
则，所以，解得或，
又，所以．
故选：B．
3. 与向量反向的单位向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用与向量反向的单位向量为求解即可.
【详解】因为，
所以与向量反向的单位向量为．
故选：A
4. 若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则m与n相交
【答案】C
【解析】
【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，若，，则与平行或异面，A错误；
对于B，若，，则与异面、平行或相交，B错误；
对于C，若，则存直线，满足且，
若，则，而，则，C正确；
对于D，若，，则与相交或异面，D错误.
故选：C.
5. 已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. ∪
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可.
【详解】圆的方程可化为，则，可得，
又点在圆外，则，可得，
所以.
故选：B
6. 设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用的几何意义，通过数形结合即可得解.
【详解】表示点到点距离的平方，
该距离的最小值为点到直线的距离，即，
则的最小值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题.
7. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，令，
解得，可知定点，
又，
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为.
故选：B.
8. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.
【详解】，，
∴ ，，
即:，；
平面，直线，
所以当、最短时，平面，，
为的中心，为线段的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
，
平面，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确是（ ）
A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是
B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面
C. 已知，若与垂直，则
D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论．
【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，
即使，也不能说明，故A错误；
若，则，
所以，所以四点共面，故B正确；
由题意可得，若与垂直，
则，解得，故C正确；
由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过点，倾斜角为的直线方程为
B. “”是“直线与直线平行”的充要条件
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
D. 以，为直径端点的圆的方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率定义可知A错误，由两直线平行的位置关系分类讨论参数取值可知B正确，易知若在坐标轴上的截距都为零时，直线方程为，即可得C错误，设圆上点坐标为，利用向量垂直的坐标表示可知D正确.
【详解】对于A：若倾斜角，该直线斜率不存在，直线的点斜式方程不适用，所以A错误；
对于B：当时，两直线分别为和，此时两直线平行，即充分性成立；
当两直线平行时可知，解得，
但当时，两直线方程均为，此时两直线重合，因此，即必要性成立；所以B正确；
对于C：若直线在两坐标轴上的截距都为零时，直线方程为，
若直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，代入点可得；
因此满足题意的直线方程为或；即C错误；
对于D：设圆上任一点的坐标为，
则，易知，
所以，
因此圆的方程为，即D正确.
故选：BD
11. 已知曲线的方程为，则（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线围成的图形面积为
C. 若点在曲线上，则
D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为
【答案】ABC
【解析】
分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理，计算判断即可．
【详解】曲线上任意点有：，该点关于的对称点有，即由线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，故选项A正确；
因为点在曲线上，点，点也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称，当，时，曲线的方程为，
表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），
因此，曲线是四个顶点为，，，的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，
所以曲线围成的图形的面积是，故选项B正确；
点，在曲线上，则，，
，，解得，故选项C正确；
曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故选项D不正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______
【答案】
【解析】
【分析】先确定红球的数量和球的总数，再根据概率的计算公式求出摸出红球的概率.
【详解】由题意可知，球的总个数为个，红球的个数为个
根据概率计算公式，摸出红球的概率红球的个数球的总个数
即.
故答案为：
13. 中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设点坐标，由中点在直线上，得到点坐标，从而得出直线方程，设直线方程，由角平分线的性质可以得到直线上任意一点到两边所在直线距离相等，由此建立方程，得出直线方程.
【详解】设，则中点，
∴，∴，∴，
则直线：，
设直线：，即，
取上一点 ，则点到直线和直线距离相等，
则，即，
∴或（舍去），
故直线：.
故答案为：
14. 已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】以为原点建立平面直角坐标系，结合题意可得点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以为原点建立平面直角坐标系如图2所示，
设阿氏圆圆心为，半径为，
因为，所以，所以，
设圆与交于点，由阿氏圆性质，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以点在空间内的轨迹为以为球心，半径为2的球，
当点在面内部时，如图2所示，截面圆与分别交于点，
所以点在面内的轨迹为，
因为在中，，所以，
所以，所以点在面内部的轨迹长为，
同理，点在面内部的轨迹长为，
当点在面内部时，如图3所示，因为平面，
所以平面截球所得小圆是以为圆心，以长为半径的圆，
截面圆与分别交于点，且，
所以点在面内的轨迹为，且，
综上，点的轨迹长度为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆C过点，，且圆心C在直线l：上.
（1）求圆C的方程；
（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件确定圆心与半径后求解，
（2）转化为求关于直线的对称点，与圆心连线的直线方程．
【小问1详解】
的斜率为，中点坐标为，
由题意得圆心在的垂直平分线上，
，解得，故，半径为，
圆C的方程为；
【小问2详解】
如图所示，过与直线垂直的直线方程为，
由得，两直线交于点，
则关于直线的对称点为，
由题意得反射光线过圆心，直线的斜率为，
故直线的方程为，即.

16. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理求解即可；
（2）结合三角恒等变换公式化解可得， 进而结合正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，
则，
又∵，故.
【小问2详解】
∵
，
又∵，∴，∴，
∴的取值范围为.
17. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．
（1）用表示，并求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在点且.
【解析】
【分析】（1）由向量加法及减法运算得到，平方后，结合数量积的运算法则计算出，求出的长为；
（2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案；
（3）由，，是共面向量，存在，，使得即可求解.
【小问1详解】
由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
【小问3详解】
当，可设，，
若，，是共面向量，即存在，，令，
即，
由，解得，，，
故存在点且.
18. 如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：
（1）求直线方程（用表示）；
（2）若的面积为，求的表达式；
（3）求三角板的面积最大值，并求此时直线的方程．
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为，此时直线的方程为.
【解析】
【分析】（1）直接由直线的点斜式方程可得结果；
（2）联立直线方程并求出的坐标，求出以及点到直线的距离，可得出面积表达式；
（3）求出三角板的面积表达式，并根据对勾函数性质求得其单调性，可知当时三角板的面积取得最大值，代入可得此时直线的方程.
【小问1详解】
根据题意，由直线的点斜式方程可知直线的方程为；
【小问2详解】
因为，，
所以直线的方程为，直线的方程为；
联立，解得；
因为，解得或；
又由，可得，
因此，解得，所以，
易知，
且点到直线的距离为；
所以的面积.
【小问3详解】
易知，
且点到直线的距离为，
所以三角板的面积为，
令，
则；
令，可得，
即，
由对勾函数性质可知在上单调递增，所以；
此时，即时三角板的面积取得最大值，
此时直线的方程为，即.
19. 如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．

（1）求证：平面；
（2）若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过线面平行的判定定理证明平面，平面，再结合面面平行的判定定理、性质定理即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角的坐标公式即可得解；
（3）引入参数，由此可表示出的坐标和平面的法向量，结合（2）中结论以及向量夹角的坐标公式即可得解.
【小问1详解】
，平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，平面，平面，
平面平面，平面，
平面；
【小问2详解】

如图所示，
过作，过作平面，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
在平面上的射影在直线上，
设， ，
因为，且，；
，解得，，
而，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量是，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值；
【小问3详解】

设，，
因为，，
所以，
所以，
从而，
设平面的法向量为，
所以，
设，解得，即，
由（2）可知平面的一个法向量是，，
由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值
，
整理得，，解得，
即.