【01-暑假复习】初高衔接点04 一元二次方程（教师版）-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)(2)

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1、初中知识再现
一元二次方程根的判别式
一元二次方程（均为常数）的判别式.
（1）时，（）有两个不相等的实数根；
（2）时，（）有两个相等的实数根；
（3）时，（）没有实数根.
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
式+正数”的形式.
2、高中相关知识
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程有两个根分别是，则：
，，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果的两个根分别为，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
对点集训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数
典型例题
例题1．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根是B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程的解和根的判别式计算判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故方程有两个不相等的实数根，
当时，，
∴不是方程的实数根，
故选：C．
例题2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟知不同情况下根的情况（当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根）．求出判别式的符号，进行判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选D．
例题3．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列关于一元二次方程的根说法正确的是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个负的实数根
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据方程得出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
有两个不相等的实数根，
故选：C．
例题4．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根．
【答案】见解析
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法、一元二次方程的定义即判别式等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分和两种情况，结合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判别式，即可获得答案．
【详解】解：①当时，即，
代入方程得，解，
②当时，，
∵，此时方程总有实数根．
综上所述，无论为何值，方程总有实数根．
精练
1．（24-25九年级上·山东滨州·期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．由此逐项判断即可．
【详解】A、变形为，此时，此方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意；
B、中，此时方程无实数根，故选项B不合题意；
C、整理为，此时，此方程有两个相等的实数根，故选项C符合题意；
D、中，，此方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意；
故选C．
2．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知二次函数(是实数，且)的图象开口向下，过，．若，则当时，下列关于x的一元二次方程根的个数判断正确的是（ ）
A．必有两个相等的实数根B．没有实数根
C．必有两个不相等的实数根D．条件不够，无法确定
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题时要能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，根据根的判别式，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，抛物线过，，
设抛物线的解析式为，
令，
，
，，
，
关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
故选：C
3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可．
本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键．
【详解】解：∵的一元二次方程，
即，
∴，
∴，
故此方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）一元二次方程的根情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
对点集训二：根据根的个数求参数
典型例题
例题1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不等于，解两个不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且，
故选：A．
例题2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的判别式的值为4，则a的值为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意可得，解方程即可求出a的值．
【详解】解：由题意可得：
，
解得：，
故选：．
例题3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围．
【答案】且
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求不等式组的解集
【分析】本题主要考查了一元二次方程（为常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据题意得出，计算即可得到答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且，
的取值范围为且.
例题4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知是关于x的一元二次方程的两实根．
(1)求k的取值范围；
(2)若是方程的根，求k的值．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键，
（1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案；
（2）由是方程的根，代入即可求k的值．
【详解】（1）解：∵有两实根，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：∵是方程的根，
∴，
解得：或．
精练
1．（2025·陕西·模拟预测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程有两个不相等的实数根，列出不等式，再解不等式即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据一元二次方程定义及根的判别式求出k的取值范围，此题考查一元二次方程的根的个数及根的判别式．
【详解】解：根据题意得且，
所以且．
故选：D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·河南郑州·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根据题意可得，解方程即可，注意不等于0的情况是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
解得，
根据一元二次方程的定义，
且，
则整数k 的最小值为，
故答案为：．
对点集训三：解一元二次方程
角度1：直接开平方法
典型例题
例题1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）一元二次方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方解一元二次方程成为解题的关键．
直接运用直接开平方解一元二次方程即可．
【详解】解：，
所以，
所以、．
故选：A．
例题2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）方程的解是 ．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的解一元二次方程的方法是解题的关键．
直接运用直接开平方法求解即可．
【详解】解∶ ，
，
，
所以该方程组的解为：，．
故答案为：，．
例题3．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解一元二次方程：．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
例题4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）解方程：；
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．利用直接开方法解一元二次方程．
【详解】解：
解得：，．
精练
1．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ．
【答案】3
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．
运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为，
∴，
∴，
故答案为：3．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键．
（1）先移项，再直接开方，即可求解；
（2）先移项，再直接开方，即可求解；
（3）先移项，再直接开方，即可求解．
【详解】（1）解：，
移项得，，
∴，
直接开方得，．
（2）解：，
移项得，，
直接开方得，或，
∴．
（3）解：，
直接开方得，或，
∴．
3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）解方程：．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了一元二次方程的求解知识点，解题的关键是利用直接开平方法将方程转化为两个一元一次方程．
先对原方程进行移项，得到完全平方式等于一个常数的形式，再利用直接开平方法求解．
【详解】解：，
移项，得，
，
，．
4．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）解方程．
【答案】
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后，运用运用直接开平方法求解即可
【详解】解：
方程变形得：，
开方得：，
解得．
角度2：配方法
典型例题
例题1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）
A．B．C．5D．17
【答案】C
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
∵将一元二次方程化成的形式，
∴，
∴，
故选：C．
例题2．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键.
先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可.
【详解】解：，
，
，
，
故选：C.
例题3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）解方程：．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
首先将方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
解得，．
例题4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程．配方法解一元二次方程，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：移项，得，
配方，得，即，.
开平方，得，
移项，得，．
精练
1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形为，即可得到．
【详解】解：
∴
则
得到，
故选：C．
2．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）用配方法解方程，经过配方，得到（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．据此求解即可．
【详解】解：原方程移项得：,
故选：D.
3．（24-25九年级上·四川成都·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．把方程变形为，即可得到答案．
【详解】解：
∴，
∴
故选：B
4．（24-25九年级上·河北保定·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
配方，得：，
即，
故选：C．
角度3：因式分解法
典型例题
例题1．（24-25九年级上·广东惠州·期末）用适当的方法解方程：
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
或，
解得；
例题2．（24-25九年级上·全国·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零．
（1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
令或，
解得：，；
（2）解：，
，
令或，
解得：，．
例题3．（2025·湖北恩施·一模）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，．
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法进行解方程，即可作答．
（2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：
移项得，
配方得
∴
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴，．
例题4．（23-24九年级上·广西河池·期末）解方程：．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
移项后用因式分解法求解即可．
【详解】解：原方程可变形为，
，
∴或，
．
精练
1．（2025·福建泉州·模拟预测）解方程：
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
分解因式，得：，
或，
解得：，．
2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（3）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴；
（3）解：方程化为一般式为，
∴，
∴或，
∴．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法；
（1）根据配方法，得，从而完成求解；
（2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）
∴
∴
∴

（2）
∴
∴
∴
．
4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后把看成整体利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
或；
解得，．
角度4：利用求根公式求解
典型例题
例题1．（2024·吉林长春·模拟预测）解方程：．
【答案】，
【知识点】公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用公式法解一元二次方程．
【详解】解：，
∵，
∴，方程有两个不相等的实数根，
，
，．
例题2．（24-25九年级下·甘肃张掖·开学考试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程公式法，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）整理后，利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：因式分解可得，，
即或，
解得：，；
（2）解：整理得，
，，，
，
∴，
∴，．
例题3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）将原方程整理为，利用直接开方法求解即可；
（2）将原方程整理为，然后利用因式分解法求解即可；
（3）将原方程配方为，利用配方法求解即可；
（4）利用公式法求解该方程即可．
【详解】（1）解：9，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∴或，
∴；
（3）解：，
，
，
，
∴；
（4）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
例题4．（24-25九年级下·内蒙古通辽·开学考试）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解:
或
解得，；
（2）
，，
∴
解得，．
精练
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，并适当选用是解题的关键．
（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；
（2）先化简为一般式，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
直接开平方，得：，
∴或，
∴方程的解为：，；
（2）解：，
化简得：，
∵，，，，
∴，
∴或，
∴方程的解为：，．
2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）用适当的方法解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）移项，然后利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
所以，；
（2）解：，
，
，，，
，
，
，．
3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）解方程：．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；先把方程整理为一般形式：，利用公式法求解即可．
【详解】解：原方程整理为：，
∵，
∴，
即．
4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：．
，；
（2）解：，，，
，
，
，
角度5：换元法求解
典型例题
例题1．（24-25九年级上·全国·期中）若则代数式的值为（ ）
A．或3B．1或C．D．3
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可．
【详解】设，
原方程变形为：，
或
解得或，
∵，
∴．
故选：D．
例题2．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程、换元法解一元二次方程
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴应舍去，
∴，
∴．
故答案为：．
例题3．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可．
【详解】解：设，则方程为，
即，
解得，（舍去），
则，
故答案为：．
例题4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，．
请利用这种方法解方程：．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解．
【详解】解：设，
则原方程可化为，即，
解得，，
当时，，即，
∵，
∴此方程无实数根，舍去；
当时， ，即，
解得，，
∴原方程的解为，．
精练
1．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程
【分析】本题考查了换元法、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程．首先设，利用换元法可得：，解一元二次方程可得或，利用一元二次方程根的判别式可知不成立，把整体代入代数式计算即可．
【详解】解：，
，
设，
则有
整理得：，
分解因式得：，
或，
或，
一元二次方程中，，
一元二次方程无解，
不成立，舍去，
当时，
．
故答案为： ．
2．（2024·四川广元·一模）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解．
【详解】解：设，则，
整理可得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
3．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）已知：，则 ．
【答案】5
【知识点】换元法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，令，原方程变形为，求出解后根据进行取舍即可．
【详解】解：令，原方程变形为，
即，
解得，，
，
，
故答案为：5．
4．（24-25九年级上·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程的根为；
(2)故原方程的根为．
【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程和分式方程等知识点，
(1)设，把原方程化为一元二次方程，解方程得到答案；
(2)设，把原方程化为简单的分式方程，解方程即可；
熟练掌握通过阅读掌握换元法的一般步骤是解决此题的关键．
【详解】（1）解：设，原方程可化为，
解得,
当时，,即,
∵，
∴方程无解，
当时，,即,
解得，,
故原方程的根为；
（2）解：设,原方程可化为，即,
解得,
当时，,
解得,经检验是原方程的解，
当,时，,
解得,经检验是原方程的解，
故原方程的根为．
对点集训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数
典型例题
例题1．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．B．2023C．D．2021
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出，，然后变形为，再整体代入可以求出其值．
【详解】解：∵和是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
例题2．（24-25九年级上·广西柳州·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和，
∴．
故选：D．
例题3．（24-25九年级上·广东清远·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
例题4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．熟记相关结论即可．由题意得：；即可求解；
【详解】解：由题意得：；
∴，
故答案为：
例题5．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的取值范围；
(2)在（1）中，设、该方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将变形得到，再整体代入得关于的方程，由此解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴
解得，；
（2）解：∵、是方程的两个根，
∴，
又，
整理得，，
∴
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴的值为．
精练
1．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解．
【详解】解：化为，
，且，
实数，是方程的两个根，
，，
，
故选：A．
2．（24-25九年级上·江西九江·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，代入，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）设，是关于的方程的两个根，且，则 ．
【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关知识．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，即可求解．
【详解】解：，是关于的方程的两个根，
，，
，
，
故答案为：．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根．
【答案】(1)
(2)2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：设方程的两根为，，
根据根与系数的关系，得，
∴，
即方程的另一个实数根为2．
5．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若是方程的两根，且，求的值
【答案】(1)详见解析
(2)，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，一元二次方程根与系数关系是解决此题的关键．
（1）求该方程根的判别式即可解答；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据得出，即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意可得：，，，
，
无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：，是方程的两根，
，，
，
，
解得，，．
对点集训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值
典型例题
例题1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根，
由韦达定理得：，，
，
又，
当时，取得最小值，最小值为：，
故选：A．
例题2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，，再进一步代入数据计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系得：，，
∴
；
故答案为：．
例题3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据a、b是一元二次方程的两个根可求出，，再根据即可求解．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
例题4．（24-25九年级下·内蒙古包头·开学考试）若α，β是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得出，，是解题的关键．根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
．
故答案为：
精练
1．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知是关于x的一元二次方程两个实数根，则 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由，是关于的一元二次方程两个实数根，得，，而，再代入求值即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：2．
2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）关于x的方程 的两个实根分别为α，β，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值
【分析】由“关于x的方程 有两个实根α，β”可得，解得或，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而将变形为，令（或），则该式可看成关于的二次函数，然后求其最值即可得出答案．注意，解题过程勿要忽略了方程有实根的前提条件．
【详解】解：关于x的方程 有两个实根α，β，
，
解得：或，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，，
令（或），
上式可看成关于的二次函数，其对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
又，
当时，取得最小值，其最小值为，
即：的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式等知识点，根据方程有实根的前提条件得出的取值范围，并利用一元二次方程根与系数的关系将转化为关于的二次函数是解题的关键．
3．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵、是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将其代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，
，
故答案为：．
对点集训六：根的判别式和韦达定理综合应用
典型例题
例题1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5B．1或C．D．5
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
，
∴，解得：，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
故选：C．
例题2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知关于x的一元二次方程（其中k为常数）．
(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
(2)若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，另一个根为0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型．
（1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论；
（2）根据方程解的定义求出k的值，再利用根与系数的关系即可求出另一个根．
【详解】（1）证明：∵
，
∵，
∴，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，
∴，
∴另一个根为0．
例题3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(2)若关于的方程（是常数，且）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
【答案】(1)或
(2)16
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】（1）先利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是1，即可得到结果；
（2）根据“邻根方程”的定义和韦达定理即可列出与的关系式，再由可列出与的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值．
本题考查一元二次方程的解，读懂题意、理解“邻根方程”，掌握利用完全平方式确定最大值、最小值等知识点是解决本题的关键．
【详解】（1）解：关于的方程是邻根方程，
解方程可得：，，
，
，，
或；
（2）关于的方程（是常数）是邻根方程，
设两个根分别为，
，
由韦达定理：，，
，
，
此时，方程必定有解．
，
当时，有最大值，最大值为16．
答：的最大值为16．
例题4．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）阅读华师版九年级上册数学教材第34页的部分内容，解答下列问题．
(1)方程的两个实数根分别为、，则的值为______，的值为______．
(2)方程的两个实数根分别为、，求的值．
(3)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，分式的求值，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）根据根与系数的关系：，求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，然后得到，整体代入求解即可；
（3）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系得到，，然后将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）∵方程的两个实数根分别为、，
∴，；
（2）∵方程的两个实数根分别为、，
∴，
∴；
（3）∵、是关于的方程的两个实数根
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴
整理得，
解得（舍去）或．
精练
1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程的两根时， ， ．
先根据a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求出，由一元二次方程根与系数关系得到，利用，求出k的值，再代入验证即可．
【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
，
，
∴，
解得，，
当时，
，
∴符合题意；
当时，
，
∴不符合题意，应舍去；
综上，k的值是．
故答案为：．
2．（2025·湖北恩施·一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若、是该方程的两个根，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根据根的判别式判断一元二次方程根的个数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）计算出的值，根据的取值范围即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，然后代入中，求出的值即可．
【详解】（1）解：，
方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
解得：．
3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】（1）由“关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，”可得，解不等式即可求出实数的取值范围；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得，，若，则，，分和两种情况分别讨论，解一元一次方程即可求出的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：，
实数的取值范围为；
（2）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得：
，，
若，则：
，，
当时，，
当时，，
的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），一元二次方程的根与系数的关系，解一元一次方程，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知：关于的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是，求值．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的情况求参数，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．
（1）根据根的判别式计算，即可求解，
（2）先将代入，求出值，由根与系数关系，得到，，代入，即可求解，
【详解】（1）解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，，解得：，
则原方程为：，
，，
．
第04讲 一元二次方程(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记：．
【详解】解：A、是一元二次方程，此选项符合题意；
B、不是整式方程，此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，此选项不符合题意；
D、中，有2个未知数，此选项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键，根据题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
∴第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，
∴，
故选：C．
3．（23-24九年级上·山东临沂）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【详解】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
4．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）自2016年我国正式实施全面两孩政策以来，六安市学龄儿童人数逐年增长，某校2022年新生入学数是600人，2024年新生入学人数达到726人，若设入学人数的年平均增长率为x，则以下方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据2022年到2024年新生入学人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
5．（24-25九年级上·广东广州·期末）若是方程的一个根，则常数的值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解决此题的关键，把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
故选：．
6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（ ）
A．3，，2B．3，，C．3，，D．2，，8
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可．
【详解】解：将方程改写成为的形式为，
则，，的值分别为3，，
故选：C．
7．（2025·广东·模拟预测）若a，b是方程的两个根，则的值是（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，代入所求式子计算即可得解．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
8．（2025·江西赣州·一模）已知，则（ ）
A．是方程的根
B．是方程的根
C．方程有两个不等根
D．方程的两根，满足
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
根据求出的值，再根据一元二次方程的解的定义、根的判别式以及根与系数的关系求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
A、∵时，，∴是方程的根；
B、∵时，，∴不是方程的根；
C、∵，∴方程有两个相等的实数根；
D、方程的两根，满足．
故选：A．
二、多选题
9．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）若关于的方程有两个相等的实数解，则的值可能为( )
A．B．C．2D．4
【答案】AD
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式，即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
故选：AD．
10．（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）以为根的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【知识点】一元二次方程的解
【分析】把代入方程计算即可求解．
【详解】解：A、把代入方程得左边右边，故符合题意；
B、把代入方程得左边，故不符合题意；
C、把代入方程得左边，故不符合题意；
D、把代入方程得左边右边，故符合题意．
故选：AD．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）设，为方程的两个实数根，则的可能取值为（ ）
A．6B．7C．18D．19
【答案】ABC
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的最值
【分析】先根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式求出，求出k的值范围，将变形为，求出取值范围，继而得到可能得值．
【详解】解：∵，为方程的两个实数根，
∴，，
，
∴，
解得：，
∴
，
当时，取最大值，
当时，取最小值，
∴的可能取值为6，7，18，
故选ABC．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，二次函数的最值，难度较大，关键先根据，解得k的取值范围，再根据根与系数的关系解题．
三、填空题
12．（2025·山西朔州·一模）如图，平遥推光漆器是山西省著名的传统手工艺品，距今已有千年历史．某商家销售一款平遥推光漆器，原价为100元，为清理库存，商家推出“折上折”活动，即连续两次打折，折扣相同，打折后的售价为81元，则商家每次打 折．
【答案】/九
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设商家每次打折，根据“折上折”可得，再解方程即可．
【详解】解：设商家每次打折，则
，
解得：（舍去），
故答案为：
13．（24-25九年级下·广东东莞·开学考试）如果关于的一元二次方程的一个根是，那么 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，把代入方程，得到的值，在代入即得答案．正确理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
即，
，
故答案为：．
14．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知方程的一个根是．则它的另一个根为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．
设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
【详解】解：设另一个根为，
∴，
∴，
∴另一个根为1．
故答案为：1．
四、解答题
15．（24-25九年级上·广东茂名·期中）项目式学习．
项目主题：“十五运会”主题草坪设计．
项目情境：为迎接十五运会的到来，同学们积极参与该主题草坪设计的项目活动，以下是某小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一：（1）需要设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪的两组对边，小组内同学们设计的方案主要有以下三种．直接写出三种方案中，小路面积，，的大小关系；
活动任务二：（2）已知矩形草坪长40米，宽30米，为施工方便，学校选择甲设计方案，并要求除去小路后的面积为1064平方米，请计算小路的宽度．
【答案】（1）；（2）小路的宽为
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出图形面积的表示方法是解题的关键．
（1）通过计算面积比较求解；
（2）根据草坪的面积列方程求解；
【详解】解：（1）设小路的宽度为a米，
，
，
，
∴；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为；
16．（2025·河北·模拟预测）小王和小张在计算为常数)时，都抄错了题目，情况如下：
小王按照计算，得；
小张按照计算，得
(1)求的值；
(2)当原整式的值为时，求的值．
【答案】(1)；
(2)，
【知识点】因式分解法解一元二次方程、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了整式的相关运算及方程的解法，考查数学情境下的运算能力，推理能力．
（1）将小王和小张的计算所得结合求出m与n的值；
（2）将原整式的值代入计算即可求得．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴原整式为，
∴，
整理得，
解得，
17．（24-25九年级上·福建漳州·期中）阅读下面的解题过程，再解答问题．
解方程．
解：当时，原方程化为
解得，（舍去）；
当时，原方程化为，
解得，（舍去）．
∴原方程的解是，．
根据上述解题过程，解方程．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后分别利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
【详解】解：
当时
∴，（舍去）；
当时
，（舍去）．
∴原方程的解为，．
B能力提升
1．（24-25九年级下·天津南开·阶段练习）如图，某小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论：
①当的长是10m时，劳动基地的面积是；
②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为；
③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是8m，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：①当的长是时，，
劳动基地的面积是，说法正确；
②设的长是时，则，
若的面积为，
则
或，说法正确；
③设的长是，的面积为
由题意可得，
解得：，
∵，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，面积有最大值，
∵时，面积为，时，面积为，
∴面积的最小值为，说法正确，
综上，3个说法都正确，
故选：D．
2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先分别求出第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，再根据“第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元”建立方程即可得．
【详解】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，
∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元，
∴可列方程为，
故选：D．
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得：
，
故选：C．
4．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：
【答案】
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：∵道路的宽应为，
∴由题意得，，
故答案为：．
5．（2025·江苏·模拟预测）已知方程的两根为a，c，方程的两根为b，d，其中a，b，c，d互不相同，则 ．
【答案】1或
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，若，求得，若，则，，求得，于是得到结论．
【详解】解：∵方程的两根为a，c，
∴，，
∵方程的两根为b，d，
∴，，
若，则，，
∴，
∴，
∵a，b，c，d互不相同，
∴，
∴，，，，
∴；
若，则，，
把，代入，，
解得：，
∴当时，，，
；
当时，，，
；
综上所述：或，
故答案为：1或．
6．（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ．
【答案】或19/19或
【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法
【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可．
【详解】解：当时，
，
∴，
当时，
，
解得（舍去）或．
综上所述，x的值为或19．
故答案为：或19．
7．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有一个根为，求的值及另一个根．
【答案】(1)且
(2)，
【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可获得答案；
（2）首先将代入方程并求解，即可确定的值，然后利用因式分解法解该方程即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
则有，且，
解得且；
（2）若方程有一个根为，
则有，解得，
即该方程为，
整理可得，
∴，
解得，
该方程的另一个根为．
8．（23-24九年级上·广西贵港·期中）据统计某公仔在某电商平台6月份的销量是5万件，8月份的销量是7.2万件．
(1)若该平台6月份到8月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降低元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率是
(2)售价应降低元．
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（1）设月平均增长率是，利用8月份的销售量月份的销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
【详解】（1）解：设月平均增长率是，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：月平均增长率是．
（2）解：∵售价每降低元，每天可多售出2件，
∴售价每降低元，每天可多售出4件，
设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得： ，
整理得：，
解得：，．
又要尽量减少库存，
．
答：售价应降低元．
初中阶段
高中阶段
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、能熟练运用十字相乘法对一元二次方程因式分解
2、能数列使用根与系数的关系
3、能灵活讲一元二次方程转化为对应的一元二次函数
衔接指引
初中阶段考查形式：选择填空题。
高中阶段考查形式：选择填空题。
概括
二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程的两根为、，那么，．