2.3 二次函数与一元二次方程，不等式（八种常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

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知识点1 一元二次不等式
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数.
知识点2 二次函数的零点
一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点．
注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标．
(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间．
（2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解．
题型一一元二次不等式的解法
1．（多选）下列不等式的解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
2． 的解集为___________________.
3．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
5．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
6．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或 D．
7．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
题型二二次函数的含参问题
8．函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．函数在上单调递减，在上单调递增，则实数m＝________.
10．已知函数，
(1)若，求在区间上的最大值与最小值；
(2)若在区间上是增函数，求的取值范围
11．已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为___________.
12．已知函数，的图象关于直线对称，
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为，求的值.
13．若函数的定义域，值域为，则m的最大值是________．
14．若函数y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分别为－4，，则实数m的取值范围是________.
15．已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.
16．设函数，已知的解集为.
(1)求，的值；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
17．已知函数，其中．
(1)当时，求该函数在区间上的最大值；
(2)当该函数在区间上是严格增函数时，求实数的取值范围．
题型三三个“二次”关系的应用
18．已知不等式的解集为，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．（多选）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的可能取值有（ ）
A．B．0C．1D．2
20．已知不等式的解集是，求a，c的值.
21．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．1
22．（多选）已知方程有且只有一个实数根，则（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，则
23．已知函数（），若集合有且只有一个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．
25．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
26．（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
题型四含参数的一元二次不等式的解法
27．解下列关于的不等式．
28．若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
29．解下列关于的不等式．
30．解下列关于的不等式．
31．解关于的不等式.
32．已知函数
(1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若，解关于x的不等式．
33．解下列关于的不等式．
34．解关于x的不等式，．
35．解关于x的不等式.
题型五解简单的分式不等式
36．设集合，则集合_________．
37．不等式的解集是__________.
38．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
39．不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
40．设p：，q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
41．已知集合或，则（ ）
A．B．C．D．
42．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
题型六有关一元二次不等式恒成立的问题
43．已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
44．已知二次函数的最小值为，且其图象过点，.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在区间上，二次函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围.
45．若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
47．命题：，是假命题，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
48．不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
49．若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
50．已知“，”为假命题，则实数的取值范围是________．
51．“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．或
题型七有关一元二次不等式能成立的问题
52．若命题“”为假命题，则实数的取值范围___________．
53．若，，则a的一个可取的正整数值为___________.
54．已知不等式有解，求m的取值范围．
55．设函数，若不等式的解集是，则________；若对于任意，不等式有解，则实数的取值范围为________．
56．已知命题：“”为真命题，则实数的取值范围为________________.
57．已知：对任意的，，：存在，使得，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
58．命题“，”为真命题的充要条件是________.
题型八一元二次不等式的实际应用
59．某地每年销售木材约万m3，每立方米的价格为元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于万元，则的取值范围是________．
60．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为，同时预计日销售量增加的百分率为，为使日利润有所增加，求的取值范围．
61．（多选）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（ ）
A．7B．9C．11D．13
62．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

63．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
64．某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）.
65．2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？
(2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由.
的图象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集