【01-暑假复习】初高衔接点03 因式分解（学生版-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)(1)

这是一份【01-暑假复习】初高衔接点03 因式分解（学生版-2025年新高一数学暑假衔接讲练 (通用版)(1)，共26页。试卷主要包含了初中知识再现，提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，求根公式法等内容，欢迎下载使用。

1、初中知识再现
1、因式分解定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解.
2、提公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如:
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
3、公式法：
3.1公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
3.2公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即，.
形如，的式子叫做完全平方式.
特别说明：
（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.
4、十字相乘法
4.1十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
特别说明：
（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号
（2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
4.2首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
5、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
6、求根公式法
对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：.
2、高中相关知识
1、乘法公式中的立方和、立方差公式：
①
②
2、因式分解中的立方和、立方差公式
①
②
对点集训一：提公因式法因式分解
典型例题
例题1．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ．
例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
例题3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）（1）化简：；
（2）因式分解：．
精练
1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若，则的值为 ．
2．（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）完成下列各题：
(1)化简：；
(2)分解因式：．
对点集训二：运用公式法分解因式
典型例题
例题1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
例题2．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式…………（第一步）
……………………（第二步）
…………………………（第三步）
…………………（第四步）
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________
(3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解．
①；
②．
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）因式分解
(1)；
(2)．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分解因式：
(1)，
(2)．
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
对点集训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解
典型例题
例题1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例题3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料：
将分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：．
③横向写出两因式：．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
精练
1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：

(1)因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
(2)因式分解：；
3．（24-25九年级上·全国·单元测试）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答．
分解因式：．
①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：．
③横向写出两因式：．
根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，．
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
对点集训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解
典型例题
例题1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ．
例题3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数．
（2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．

．
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．
即，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
仿照以上方法，分解因式：
(1)
(2)
(3)
例题4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25八年级上·上海松江·期末）在实数范围内分解因式： ．
2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）因式分解：
(1)
(2)
3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式：
(1)；
(2)．
对点集训五：含参数的十字相乘法
典型例题
例题1．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）分解因式 ．
例题2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ．
例题3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ．
精练
1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式：
2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解：
3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：．
对点集训六：十字相乘法的综合应用
典型例题
例题1．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：．
例题2．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解：
例题3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：．
精练
1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：．
2．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）因式分解
(1)
(2)
对点集训七：求十字相乘法中系数
典型例题
例题1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）若因式分解得：，则、的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例题2．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
例题3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为 ．
（2）若， ， ．
精练
1．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（ ）
A．6B．C．D．8
2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（ ）
A．0B．1C．D．2
3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ．
对点集训八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等）
典型例题
例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ．
例题3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ．
例题4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）分解因式： ．
精练
1．（24-25七年级下·全国·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解：
(1)；
(2)．
2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：．
3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式：
4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式：．
对点集训九：因式分解的应用
典型例题
例题1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱学B．爱数学C．趣味数学D．我爱数学
例题2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式．因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ．
例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5，求的值．
例题4．（24-25八年级上·河南周口·期中）有3个整式：：，：，：．
(1)若，请化简整式；
(2)若“”可以因式分解为，求□内实数的值．
例题5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题：
(1)请你用“试根法”分解因式：
①；
②；
(2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解．
精练
1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）利用因式分解计算等于（ ）
A．1B．C．2024D．2025
2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为 ．
3．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知，则__________；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值；
【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值．
4．（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：________________________．
(2)求代数式的最大值．
(3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法．
例如：．
(1)分解因式：；
(2)若，求m和n的值．
第03讲 因式分解(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（ ）
A．6B．C．10D．
6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各式变形中，从左到右是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（ ）
A．被8整除B．被x整除
C．被9整除D．被整除
8．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被4整除B．被5整除C．被6整除D．被7整除
二、多选题
9．（23-24八年级上·山东泰安·期中）下列代数式变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2021七年级下·全国·专题练习）下列因式分解不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
12．（24-25八年级上·河南开封·期末），，则 ．
四、解答题
13．（2025七年级下·全国·专题练习）用指定的方法把下列各式分解因式：
(1)（拆常数项）；
(2)（拆一次项）；
(3)（逆用乘法法则）．
14．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
16．（24-25八年级上·山西朔州·期末）（1）分解因式：；
（2）分解因式：；
（3）利用因式分解计算：．
B能力提升
一、单选题
1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．6
2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价，第二次降价；
乙超市第一、二次降价均为；
丙超市一次性降价．
其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（ ）
A．甲超市B．乙超市C．丙超市D．一样多
3．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．12B．6C．3D．0
二、填空题
4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且．
（1）的长是 ；
（2）若代数式，则的值是 ．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）写出公因式：
（1）中分子、分母的公因式是 ；
（2）中分子、分母的公因式是 ；
（3）中分子、分母的公因式是 ．
6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ．
三、解答题
7．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法．
(1)结合图1、图2试着分解因式： ；
(2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法：
①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形；
②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片；
③结合你的拼图过程，分解因式 ．
8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）发现与探索：
(1)根据小明的解答将下列各式因式分解．
小明的解答：
①；
②．
(2)根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为；
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
9．（24-25八年级上·山东日照·期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______．
(2)多项式有最大值还是最小值？并求出这个最大值或最小值．
(3)已知等腰的两边长分别为，，且满足，求的周长．
10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】
教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：
①分解因式：
．
②求多项式的最小值：
，
，
当时，有最小值，最小值是．
【解决问题】
(1)按照上述方法分解因式：；
(2)多项式的最小值为4，请求出的值；
(3)若实数，满足，请求多项式的最值．
初中阶段
高中阶段
1、熟练掌握提公因式法和公式法
2、能灵活应用十字相乘法
3、了解分组分解法
能熟练运用十字相乘法，包括不含参数的二次三项式，含参数的二次三项式，首项系数含参数或者非常数“1”
衔接指引
初中阶段考查形式：选择题，解答题信息题。
高中阶段考查形式：作为基本工具融入在代数运算中。
例1 分解因式：
解：
例2 求代数式的最小值．
解：
∵，
∴，
即代数式的最小值是．