初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式授课课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式授课课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了xy－5x＋y－5，a2−42，有什么特点，＜a2，平方差公式的认识，算一算，＝x2－22，＝12－3a2，＝x2－5y2，x2－4等内容，欢迎下载使用。
1. 经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算和推理；2. 通过实例，了解平方差公式的几何背景，会运用平方差公式进行一些简便运算；3. 通过观察图形的拼接，验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，从中体会数形结合的数学思想.重点：理解并掌握平方差公式的推导和应用.难点：掌握平方差公式的结构特征，能灵活运用公式进行计算.
计算：(x＋1)(y－5)＝ ；(x＋1)(x－5)＝ ；(x＋1)(x－1)＝ .
x²－5x＋x－5＝x2－4x－5
x²－x＋x－1＝x2－1
思考：积为何从四项变成三项又变为两项?
(a + 4)(a − 4)
绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm，长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
还的彩纸面积：
= a2 − 4a + 4a − 42
答： 两张彩纸面积不相等.
解：原正方形彩纸面积为 a2
① (x＋ 2)( x－ 2)；② (1＋3a)(1－3a)； ③ (x＋5y)(x－5y)； ④ (2y＋z)(2y－z).
观察相乘的两个多项式有什么特点? 最终结果又有什么特点?
前一项相同项，后一项互为相反数(也可从加减法的角度理解). 最终结果有两项，是乘式中两项的平方差，即 (相同项)²－(互为相反数的数)².
追问 1：为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式?
文字语言：两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差.符号语言： (a＋b)( a－b)＝a²－b².
追问 2：能否描述你们发现的规律?(分别从文字语言和符号语言角度引导)
证一证：代数验证 (a + b)(a − b)＝ ＝ .
a2 − ab + ab − b2
(a - b)(a + b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
例1 利用平方差公式计算：(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意：
(2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式.
中的各项，除符号外是否完全相同)；
(1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式
例2 利用平方差公式计算：
(2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64.
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16.
回答下列各题：(l) (－a + b)(a + b) =_________.(2) (a－b)(b + a) = __________.(3) (－a－b)(－a + b) = ________.(4) (a－b)(－a－b) = _________.
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图① 中阴影部分的面积.
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )，这个长方形的长和宽分别是多少? 你能表示出它的面积吗?
图② 中长：a + b， 宽：a − b， 面积：(a + b)(a − b).
证一证：经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗?
(a＋b)( a－b)＝a²－b²
还有其他的几何方法解释吗？
例1 用平方差公式进行计算：(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97= (100＋3)(100－3)= 1002－32= 10000 － 9= 9991.
解：118×122= (120－2)(120＋2)= 1202－22= 14400－4= 14396.
例2 计算：(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－ a2b2 + a2b2 = a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25.
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a + 1)(a − 1) = a2 − 1
想一想：(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
7×9 = 11×13 = 79×81 = ______ 8×8 = 12×12 = 80×80 = ______
例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为 a2＞a2－16，所以 李大妈吃亏了.
一、选择题1. 计算 (x＋2y)(x－2y) 的结果是（　B　）
2. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算 的是（　B　）
3. 若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为( 　)
二、填空题 4. 计算： (1) (x－1)(x＋1)＝ ⁠； (2) (m－n)(－m－n)＝ ⁠. 5. 若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝ ⁠.
解：(1) 原式＝(－c)2－(ab)2＝c2－a2b2.
7. 先化简，再求值： (2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)，其中x＝2，y＝1.解：原式＝4x2－9y2－（16y2－9x2）＝4x2－9y2－ 16y2＋9x2＝13x2－25y2.∵x＝2，y＝1，∴原式＝13×22－25×12＝27.
解：原式＝4x2－9y2－(16y2－9x2)
＝4x2－9y2－16y2＋9x2＝13x2－25y2.
∴原式＝13×22－25×12＝27.
一、选择题1. 计算 (300－1)(300＋1) 的结果是(　B　)
2. 如图①，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成如图②所示的长方形.通过计算剪拼前后阴影部分的面积，可以验证的等式是（　A　）
二、填空题3. 若(x＋1)(x－1)－x2＝x，则x＝ ⁠.4. 有三个连续的偶数，中间一个是a，则它们的积 是 ⁠.
三、解答题5. 用平方差公式进行计算： (1) 999×1001＋1； (2)1232－124×122；1000000.
解：(1)原式＝(1000－1)(1000＋1)＋1 ＝10002－12＋1＝1000000.
(2) 原式＝1232－(123＋1)(123－1)
＝1232－1232＋12＝1.
(2) 原式＝3(4a2－1)－4a2＋8a
＝12a2－3－4a2＋8a＝8a2＋8a－3.