2025-2026学年上海市长宁区天山中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）-自定义类型

这是一份2025-2026学年上海市长宁区天山中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）-自定义类型，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组图形中，一定是相似图形的是（ ）
A. 两个等腰梯形B. 两个矩形C. 两个直角三角形D. 两个等边三角形
2.甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（ ）
A. 0.8cmB. 8cmC. 80cmD. 800cm．
3.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的延长线上，DE∥BC，那么下列线段比中，与DE：BC相等的是（ ）
A. AD：DBB. BD：ABC. AB：ADD. AD：AB
4.若，且与方向相反，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，则∠ABD+∠ADB的度数是（ ）
A. 90°
B. 75°
C. 60°
D. 45°
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.若，则= .
8.计算：3（2-）-（3+2）= .
9.已知两个相似三角形的相似比为4：9，则它们对应角平分线的比为 .
10.已知△ABC∽△EDF，∠A=74°，∠D=35°，则△DEF中最大角的度数为 .
11.已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＜BP，若BP=4，则AB= .
12.已知等边三角形的边长为6，该三角形的重心到其中一个顶点的距离为 .
13.如图，已知l1∥l2∥l3，CH=2，CD=6，BG=5，那么AG= .
14.如图，在△ABC中，正方形DEFG的一边在边BC上，点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点O，已知AH=8，BC=10，则GF= .
15.如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．
16.新定义：如果△ABC内有一点P，满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，那么称点P为△ABC的“三等角点”.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为△ABC的“三等角点”，若AP=2，那么PC= .
17.如图，四边形ABDC中，AC与BC交于点O，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD于点D.若，则= .
18.如图，在矩形ABCD中，CD=4，点E在AD边上，且，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点G、H与点C在同一条直线上，GH与边AD交于点O，当DO=3时，BF的长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.已知：≠0，求的值．
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB，∠ACB=90°.
（1）求证：△CBD∽△ACD；
（2）如果AC=3，BD=6，求AD的长.
21.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，，设，.
（1）求作：；
（2）用、表示.
22.(本小题10分)
已知图1、图2、图3都是12×9的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点.
（1）填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，联结BA、DC并延长交于点O，那么OC的长为______；
（2）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺.我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来联结格点作线段.
以下两题请你只能使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）：
①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出△ABC的重心G；
②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边AB上作出点M，使得△ACM与△MBD相似.
23.(本小题12分)
已知：如图，四边形ABCD，∠DCB=90°，对角线BD⊥AD，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，BD2=AB•BC
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）求证：BE•CF=BC•EF．
24.(本小题12分)
如图，函数的图象过点A（2，2）和点B，过点A作AC∥y轴，AC=1（C在A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD于点E，联结OC、OD.
（1）求△ACD的面积；
（2）延长EB交AD于点F，当AC=2BE时，求BF的长；
（3）阅读材料：在直角坐标系中，点的位置由其在x轴和y轴上的坐标确定.当需要确定两点之间线段的中点时，可以使用“中点公式”快速计算.“中点公式”：对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的中点M的坐标为.联结OA、取OA中点Q，以线段OQ为较长直角边且Q为直角顶点作Rt△OPQ，使得△OPQ与△ACD相似，求点P的坐标.
25.(本小题14分)
已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF=90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F.点G为线段MF的中点，联结DG.
（1）如图1，如果AD=AM=4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；
（2）如图2，如果AM=2，BM=4.当点G在矩形ABCD内部时，设AD=x，DG2=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AM=6，CD=8，∠F=∠EDG，求线段AD的长.（直接写出计算结果）
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】3-5
9.【答案】4：9
10.【答案】74°
11.【答案】2+2
12.【答案】2
13.【答案】2.5
14.【答案】
15.【答案】1
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：设x=2k，则y=4k，z=5k
原式=
=
=
20.【答案】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC，∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ADC∽△ACB；
AD的长为-3+3
21.【答案】=-；
=-
22.【答案】；
①图见解析；
②图见解析．
23.【答案】证明：（1）∵∠DCB=90°，BD⊥AD，
∴∠ADB=∠DCB=90°，
∵BD2=AB•BC，即，
∴△ADB∽△DCB，
∴∠DBA=∠CBD，
即BD平分∠ABC；
（2）∵点F到边BE与BC的距离相等，
​​​​​​​∴，
∴BE•CF=BC•EF．
24.【答案】1；
；
（）或（）
25.【答案】解：（1）∵点G为线段MF的中点，
∴GF=MG，
又∵∠A=∠FDG=90°，∠AGM=∠FGD，
∴△AGM≌△DGF（AAS），
∴AM=DF=4，AG=GD=AD=2，
∴GF===2，
∴FM=2GF=4，
∵tanF=，
∴，
∴MC=2，
∴S△MFC=×FM×MC=×4×2=20；
（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，
∴GP∥MH，MH=AD=x，
∴=，
∴GP=MH=x，FP=FH=FH，
∵∠CMF=90°=∠FHM=∠CHM，
∴∠F+∠FCM=90°=∠F+∠FMH=∠FCM+∠CMH，
∴∠F=∠CMH，∠FCM=∠CMH，
∴△FHM∽△MHC，
∴，
∴MH2=FH•HC，
∴FH=，
∴PH=，
∴DP=2-，GP=x，
∵DG2=DP2+GP2，
∴y=+4（2＜x＜4）；
（3）如图3，当点G在矩形的外部时，延长DG交AB于J，连接AG，AF，
∵∠FMC=90°，
∴∠AME+∠CMB=90°=∠CMB+∠BCM，
∴∠AME=∠MCB，
∵∠EDG=∠EFD=∠AME=∠MCB，AD=BC，∠DAJ=∠B=90°，
∴△ADJ≌△BCM（ASA），
∴AJ=BM=2，
∴JM=4，
∵AB∥CD，
∴，
∴MJ=FD=4，GJ=DG，
∴AG=DG=GJ，
∴∠GAD=∠GDA=∠GFD，
又∵∠AEG=∠FED，
∴∠AGE=∠FDE=90°，
又∵FG=GM，
∴AF=AM=6，
∴AD===2，
当点G在矩形的外部时，延长DG交BA的延长线于L，连接DM，
同理可求AD=2，
综上所述：AD=2或2．