第2部分-预习-第01讲 一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第01讲 一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共10页。学案主要包含了例1-1，例1-2，例1-3，例1-4，例2-1，例2-2，例2-3，例2-4等内容，欢迎下载使用。

知识点1一元二次方程的概念
1.概念
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程满足的条件(三要素)
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是 2.
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程.
【例1-1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋eq \f(1,x2)＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0
C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0
【例1-2】．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知是一元二次方程，则 ．
【例1-4】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若 是关于的一元二次方程，则 ．
知识点2一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.
【例2-1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)3x2－2＝5x； (2)9x2＝16；
(3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.
【例2-2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
【例2-3】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，1，B．，1，C．1，，8D．8，1，
【例2-4】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．3B．C．D．
【例2-5】．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（ ）
A．，1，B．，1，
C．，，D．，1，
【例2-6】．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
(1)，且；
(2)．
知识点3 一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根).
2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等
3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.一元一次方程和一元二次方程根的区别
【例3-1】方程x2－2x＝0的解为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝eq \f(1,2)，x2＝2
【例3-2】．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为 ，则m的值为 ．
【例3-3】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若是方程的一个根，求代数式的值．
易错点1 忽略二次项系数不为0而致错
特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为 0.
易错点2 没有化为一元二次方程的一般形式而致错
特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式;
2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动.
考点一：运用一元二次方程的概念求字母的值
1.关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．
2.（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2B．C．D．1
3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是
考点二：利用一元二次方程根的定义求字母或代数式的值
4.已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．无法确定
5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
6．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2025B．2024C．2023D．2022
7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值 ．
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）若是关的方程的解，则的值为 ．
考点三：根据实际问题列一元二次方程
在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．
11.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是 ．
12．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是 .
13．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场．赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为 ．（用一般式表示）
一、单选题
1．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．2，4，7B．2，4， C．2，，7D．2，，
2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．个B．个C．个D．个
3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，，1B．，2，C．3，，D．3，2，
5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（ ）
A．5B．C．1D．
6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（ ）
A．1B．2C．0或2D．0
二、填空题
7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为 ，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
8．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程的一次项系数是，则其常数项是
9．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的一次项系数是 ．
10．（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程．
11．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知是方程的一个根，则
12．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为 ．
三、解答题
13．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
14.（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)； (2)；
(3)； (4)
15．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
16．（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
18．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
19．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值．
20．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．
21．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值．
22．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解：
定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是 ．
（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．
23.（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．
24.（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】
【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．
【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．
请用以上方法解决下面问题：
(1)写出方程的“对称方程”是______；
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程.
2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式
3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方程的根.
4.会由具体问题构建一元二次方程.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．
方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．
方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．
方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．