第2部分-预习-第05讲一元二次方程根与系数的关系（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版）

这是一份第2部分-预习-第05讲一元二次方程根与系数的关系（学生版）-新九年级数学暑假衔接讲义（人教版），共7页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。

知识点：一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根，那么
2.有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
（2）如果方程的两个实数根是，那么
考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值
【例1】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值为( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．1
【变式1-1】若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【变式1-2】已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为_______．
【变式1-3】阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
考点2：根据方程的根确定一元二次方程
【例2】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
【变式2-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）以2和为根的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中，有两个符号相反的解的是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点3：根据根与系数的关系确定方程的解
【例3】已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．
【变式3-1】若方程：的一个根为，则k=________；另一个根为________．
【变式3-2】已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____．
【变式3-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是 ．
考点4：利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数
【例4】关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
【变式4-1】、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．
【变式4-2】关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【变式4-3】已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
考点5：一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用
【例5】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．
(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．
【变式5-1】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：两个根，求这个直角三角形的周长．
【变式5-2】实数使关于的方程有两个实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)给出的两个值，使方程的根是整数．
【变式5-3】关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．
(1)求证此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个根是、，且，求．
易错点：没有判断一元二次方程根的情况，直接用一元二次方程的根与系数的关系。
【例6】已知关于x的方程有两个正整数根，求整数k和p的值．
一、单选题
1．（23-24九年级上·云南德宏·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．2023C．D．2024
2．（22-23九年级上·广东广州·期末）设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ）
A．1B．C．0D．3
3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A．B．C．0D．2
6．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2B．C．5D．
8．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
9．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4B．C．0D．1
10．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
二、填空题
11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 （一般形式）．
12．（2024·河南洛阳·一模）方程的两根之和为 ．
13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ．
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是方程的两个实数根，则的值为 ．
15．（23-24九年级上·四川成都·期末）若是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，若，且，则整数m的值为 ．
三、解答题
17．（23-24九年级上·福建·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值．
18．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值．
19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）若为菱形的两条对角线长，且是一元二次方程的两个根，求该菱形的周长．
20．（23-24九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根恰好是斜边为的直角三角形的两直角边长，求m的值．
21．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求的取值范围．
22．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式．
材料2：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____．
(2)应用探究：一元二次方程两个根为，则_______．
(3)思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.了解一元二次方程的根与系数的关系,能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值
2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由一元二次方程的根确定一元二次方程