2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展五：导数中的隐零点问题(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展五：导数中的隐零点问题(精讲)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了不含参函数的隐零点问题，含参函数的隐零点问题，函数零点的存在性等内容，欢迎下载使用。

第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
1．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，其中实数.
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若函数有唯一零点，求的值.
2．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）己知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)判断函数的零点的个数
3．(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知，R．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
4．(2023·四川·模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）
5．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
6．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.
(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
7．(2023·江西师大附中三模（文））已知函数（e是自然对数的底数，）.
(1)设的导函数为，试讨论的单调性；
(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.
8．(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
9．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数，.
(1)若，求函数的最大值；
(2)若函数的一个极值点为，求证：.
10．(2023·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．
11．(2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.
12．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
13．(2023·陕西·模拟预测（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.
14．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：.
拓展五：导数中的隐零点问题 （精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典 型 例 题 剖 析
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
1．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，其中实数.
(1)当时，求函数的单调性；
(2)若函数有唯一零点，求的值.
答案：(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
（1）
，
令
在上单调递增，即在上单调递增
令，则，令，则
在上单调递减，在上单调递增
（2）
令
在上单调递增，即在上单调递增
设，则
当时，，所以在上单调递增
当时，，所以在上单调递减
所以
所以，即
所以
又 ，
所以存在唯一的，使得，即（1）
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增
所以，又因为函数有唯一的零点，
所以，即（2）
由（1）（2）得
即
令

又因为
所以函数在上单调递减，在上单调递增
而，则
代入（1）得
综上：
2．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）己知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)判断函数的零点的个数
答案：(1)；
(2)当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．
（1）
因为，
∴，
①若，因为，所有，
所以，不符合题意；
②若，由，
令，因为，
设方程两根为，
则，不妨设，
当时，在上，，单调递增，，不合题意；
所以，故，即，
这时，在上，，单调递减，
所以恒成立；
综上，a的取值范围是；
（2）
当时，因为，所有，
所以，函数无零点；
当时，
（i）若，则，即，
由（1）知，在上单调递增，上单调递减，，
由，可知,
又，
所以存在使，
所以当时，有一个零点；
（ii）若，即时，则在上单调递减，，
无零点；
综上，当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．
3．(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知，R．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．
答案：(1)分类讨论见解析
(2)2
（1）
由题意得的定义域为，
，
①时，，在内单调递减，
②时，令得或（舍）
当，单调递减
当，，单调递增．
（2）
由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，，故存在唯一的，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故当时，函数有极大值，也即为最大值，
，
故，又，故，
又a为整数，故a的最小整数值为
4．(2023·四川·模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）
答案：（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
（2）证明见解析.
【详解】（1）由题知函数的定义域为，
①当时，，此时函数在上单调递；
②当时，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由题意，在上恒成立，
可化为在上恒成立，
设，
则
设，则，
所以在上单调递增，
又，
所以方程有且只有一个实根，且，，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以函数的最小值为，
从而.
5．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
答案：(1)
(2)证明见解析
（1）
的定义域为，，由题意在上有两解，
即，即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，，递增；
当时，，递减，，，
时，；时，，
，，
a的取值范围是.
（2）
当时，，即证，即证，
令，，令，则，
当时，，在递增.
，，
存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，
.
又，，，
，
，.
6．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.
(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
答案：(1)
(2)证明见解析
(1)
解：，
因为在区间上有且仅有一个极值点，
所以在区间上有且仅有一个零点，
设，
当单调递减，
因为，故只需，
所以
(2)
解：由（1）知，在区间上有且仅有一个极值点，
所以，即，
所以
所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即，证毕.
7．(2023·江西师大附中三模（文））已知函数（e是自然对数的底数，）.
(1)设的导函数为，试讨论的单调性；
(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.
答案：(1)答案见解析
(2)，证明见解析
（1）
∵，∴
令，则.
①若，则，所以单调递增；
②若，则当时，，所以所以单调递减；当时，，所以单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
当时在单调递减，在单调递增.
（2）
由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增；
∵，且
故存在两个零点且.
的符号及的单调性如下表所示：
由于是的一个零点，故，所以
于是，
∵，∴
所以.
8．(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数
(1)当时，证明函数有两个极值点；
(2)当时，函数在上单调递减，证明
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
定义域为
当时
令
∵时，，单调递减，时，，单调递增
所以使
此时时，，单调递增，
时，，单调递减
时，，单调递增
∴是函数的两个极值点．
(2)
∵在上单调递减
∴恒成立
∴恒成立
①时，令
∵，∴
∴在单调递减，∴
又∵∴，∴
②时，，∵，∴
∴，∴
又∵，∴
令
令，∴
∴单调递减，∵
使，即
时，单调递增
时，单调递减
∴∴∴，∴
综上
9．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数，.
(1)若，求函数的最大值；
(2)若函数的一个极值点为，求证：.
答案：(1)1
(2)证明见解析
(1)
函数的其定义域为，
若，，
所以，
由，得；由，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以.
(2)
，则由题意知，解得，经检验，符合题意，
所以，所以要证，即证.
令，则.
令.
则在上单调递增，
因为，，
所以，使得，即，
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
又因为，即，所以，
所以，即，即.
10．(2023·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．
答案：(1)递增区间为，递减区间为
(2)3
(1)
函数的定义域为，
由，令可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴函数的递增区间为，递减区间为．
(2)
当时，不等式可化为，
设，由已知可得，
又，
令，则，
∴在上为增函数，
又，，
∴存在，使得，即．
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
∴，∴，
∴m的最大值为3．
11．(2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.
答案：(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)3.
（1）
的定义域为，求导得：，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）
，，
令，，则，
由（1）知，在上单调递增，且，
则在区间内存在唯一的零点，使，即，
则当时，，，有在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
于是得，因此，，
所以整数的最大值为3.
12．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.
答案：(1)
(2)答案见解析
(3)最大值为2
(1)
由已知条件得，
在点处的切线斜率为，
即，
(2)
的定义域为, ，
若，则，则在上单调递增；
若，由得，由得，
则单调递增区间为，单调递减区间为；
(3)
由得，
整理得，
当时，，即
令，则.
令，由（2）知，函数在上单调递增，
其中，，
∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，
∴在上，在上，
∴在上，在上，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴在上的最小值为，
又∵，∴，即，
∴，且为整数，
∴的最大值.
13．(2023·陕西·模拟预测（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.
答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
当时，；
当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由，
因为对任意的恒成立，
对任意的恒成立，
构造函数，
.
∵，
∴，且单调递增，
∵，，
∴一定存在唯一的，使得.
即，.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴
.
∵，
∴b的最小值为.
14．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：.
答案：（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】解：（Ⅰ）当时，.则.
∵在上单调递增（增函数+增函数=增函数），且，
∴当时，；当时，.
∴的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅱ）当时，.则.
∵在上单调递增，且，，
∴存在唯一的，使得.
∴当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
∴.
又，即.化简，得.
∴.
∵，∴.
∴当时，.
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极大
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极小
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