吉林省白城市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份吉林省白城市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 如果，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性即可得出结论.
【详解】由对数函数在单调递减可得.
故选：D
2. 下列命题：
①若，则；
②的充要条件是且
③若，则；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案
【详解】解：对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.
故真命题的个数是1个.
故选：B
3. 动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知当地时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定周期得到，再通过坐标，得到，即可求解.
【详解】由已知可得该函数的周期，，
又当时，，
设，令，得
由，得，在一个周期内可得，，
又需满足，故，
.
故选：D
4. 化简所得的结果是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.
【详解】易知.
故选：A.
5. 《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.
【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
6. 设平面向量，若，则等于（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：D
7. 在中，内角的对边分别为，若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理，可得，代入数据可求解．
【详解】由正弦定理，变形可得，故选B
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题．
8. 下列四个说法中正确的是（ ）
A. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则αβ
B. α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γβ
C. 平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则αβ
D. 平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ
【答案】C
【解析】
【分析】求得平面α内有无数个点到平面β的距离相等时α与β的位置关系判断选项A；求得α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab时γ与β的位置关系判断选项B；平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边时α与β的位置关系判断选项C；举特例否定选项D.
【详解】选项A：当时，平面α内的直线l上有无数个点到平面β的距离相等.判断错误；

选项B：在如下图所示的三棱柱中：
γ与β相交，α∩γ＝a，α∩β＝b，且ab，则.判断错误；

选项C：平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，
则αβ.判断正确；
选项D：如下图，，平面α内的一个平行四边形相对的两边
与平面β内的一个平行四边形相对的两边满足.判断错误.

故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题.每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 已知非零实数a、b满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特值法和作差法对选项进行一一判断，即可得到答案；
【详解】对A，令，则，故A错误；
对B，当，；
当；
当，；
故B正确；
对C，
，故C正确；
对D， ，
且，，
，故D正确；
故选：BCD
10. 给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合
C. 正偶数的全体可以构成一个集合
D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
【答案】AC
【解析】
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.
【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.
故选：AC
11. 边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A. 取得最大值时每月产量为台
B. 边际利润函数的表达式为
C. 利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D. 边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，
因为函数为减函数，则，C对；
对于D选项，因为函数为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
故选：BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递增，
由可得：
，解得.
所以满足的的取值范围是
故答案为：
13. 已知向量，，若，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知向量，，，
故，解得，
故答案为：1
14. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据正弦和角公式得到，进而求出，利用二倍角公式求出答案.
【详解】因为，而，
因此，
则，
所以.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点，为的中点.
（1）证明:平面.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直判定定理证明平面，再由平行四边形的性质得到即可证明；
（2）分别找到平面的法向量和平面的法向量，代入二面角的余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可.
建系，
【小问1详解】
证明:如图，设为在底面的射影，连接，则平面.
因为平面ABC，所以
又为BC的中点，，所以
因为平面平面，
∴平面.
又为的中点，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
∴平面.
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系.
在三棱柱中，，
所以，
则.
由（1）知平面，则是平面的一个法向量，
因为，且，所以.
设平面的法向量为，
则即
设，得， 所以，
则，
所以二面角的正弦值为.
16. 如图为正四棱锥为底面的中心．
（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；
（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.
【小问1详解】
正四棱锥满足且平面，由平面，则，
又正四棱锥底面是正方形，由可得，，
故，
根据圆锥定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为，底面半径为，
根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
【小问2详解】
连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由是中点，则，又平面，
故平面，即平面，又平面，
于是直线与平面所成角的大小即为，
不妨设，则，，
又线面角的范围是，
故.即为所求.
17. 判断下列各题中，是什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）若，，；
（2），；
（3）：两个角都是直角，：两个角不相等.
【答案】（1）充要条件
（2）必要不充分条件 （3）既不充分也不必要条件
【解析】
【分析】（1）由充要条件的概念即可直接判断；
（2）由必要不充分条件的概念即可直接判断；
（3）由既不充分也不必要条件的概念即可直接判断.
【小问1详解】
因为，
并且，
所以是的充要条件.
【小问2详解】
，即或，，
故，
故是的必要不充分条件.
【小问3详解】
两个角都是直角，则这两个角相等，
两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
即，
故是既不充分也不必要条件.
18. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，，侧棱，，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？
【答案】存在
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，先计算平面的法向量，，，再利用点到平面的向量公式，列出方程即得解
【详解】由题意，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，
假设在线段上存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为．
可设，则，，，
，0，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则由，得，即有①
，得，即有②
不妨令，由①②可取，，，
则，由于点到平面的距离可看作在上投影的绝对值，
则为，
解得，，成立．
则在线段上存在一点（不与端点重合），且，
使得点到平面的距离为．
19. 已知关于的方程有实根，求以及实数的值.
【答案】或
【解析】
【分析】将代入方程，由复数相等可构造方程组求得结果.
【详解】是方程的实根，，即，
，解得：或.