专题08 【五年中考+一年模拟】圆综合题-备战2023年苏州中考数学真题模拟题分类汇编含答案

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（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
是直径，是的中点，
，
，
，即，
是半径，
是的切线．
（2）解：过点作于点．
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，
，，
，
．
2．（2021•苏州）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：四边形内接于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：过点作于，
，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
3．（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）因为点是弧的中点，
所以，即，
而，
所以，
所以；
（2），
，
，
；
（3），连接，则，
，在中，，
设：，则，
而，则，
，
，
而，
即和的相似比为3，
设：，则，，
，
，，
．
4．（2018•苏州）如图，是的直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为，垂直，垂足为．延长交于点，连接，与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：是等腰直角三角形．
【答案】见解析
【详解】证明：（1）连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证法一：连接，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
证法二：设，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
5．（2022•张家港市一模）如图，已知是的直径，点在的延长线上，切于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，如果，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，即，
解得：，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
6．（2022•工业园区模拟）如图1，平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的与对角线交于，两点．
（1）如图2，当与边相切于点时，求的长；
（2）不难发现，当与边相切时，与平行四边形的边有三个公共点，随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的的值的取值范围 ．
【答案】（1）；（2）或
【详解】解：（1）如图2所示，连接，
在中，由勾股定理得：，
设，则，，
与边相切于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，；
（2）当与相切时，设切点为，如图3，
，
，
①当与边、分别有两个公共点时，，即此时与平行四边形的边的公共点的个数为4，
②过点、、三点，如图4，与平行四边形的边的公共点的个数为4，
此时，
综上所述，的值的取值范围是：或．
故答案为：或．
7．（2022•相城区一模）如图，已知，以为直径的交于点，点为的中点，连接交于点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为2，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）与相切，
证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
为弧中点，
，
，
，
为直径，
是的切线．
（2）解：的半为2
，
在中，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，
由勾股定理得：，
（负数舍去），
即．
8．（2022•姑苏区模拟）如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：是的切线，
．
，
．
．
．
（2）解：连接交于点，如图，
，
．
，．
是的直径，
．
，，
．
．
．
设，则，
，，
．
解得：．
．
．
．
9．（2022•工业园区校级模拟）如图，在四边形中，，以为直径的与边相切于点，与相交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是平行四边形；
（3）若平分，且的面积为8，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【详解】（1）证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：为的直径，
，
．
，
．
，
，
，
．
四边形是平行四边形；
（3）解：过点作于点，过点作于点，连接，如图，
平分，
，
，
．
，
为等腰直角三角形，
．
设，则，
，，
，，，
四边形为矩形，
，
，，
．
的面积为8，
．
．
，
．
在中，
，
．
10．（2022•苏州模拟）如图①，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与点、不重合），平分交边于点，，垂足为点．
（1）当点与圆心重合时，如图②所示，则 ；
（2）当与相似时，求的值；
（3）若的面积是面积的2倍，①求证：，②求的长．
【答案】（1）4；（2）1或；（3）①见解析；②
【详解】解：（1）在中，，，，
，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4；
（2），
，
与相似，
或，
①当时，
则，
，
，
，
，
平分，
，
；
②当时，
则，
，
平分，
，
，
，
，
，
综上所述，的正切值为1或；
（3）①如图，过点作于点，
当点与圆心重合时，则，
平分，，
，
，
，
，
的面积是面积的2倍，
，
，
，
；
②由①知，，
设，则，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
．
11．（2022•太仓市模拟）如图，中，，以为直径作交于点，取中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：点是的中点，
的面积的面积，
设的面积为，的面积的面积，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或（舍去），
在中，，
的值为．
12．（2022•吴中区模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“奇点”．
（1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 （填写正确的序号）．
①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个．
（2）如图②是的内接三角形，是上一点，连接，，若．求证：点是中边上的“奇点”；
（3）如图③，中，，，，点是边上的“奇点”，求线段的长．
【答案】（1）③；（2）见解析；（3）2或
【详解】（1）解：若直角三角形为等腰直角三角形有一个“奇点”，
若直角三角形非等腰直角三角形，则有两个：奇点，
故直角三角形有1或者2个“奇点”，
故答案为：③；
（2）证明：如图，延长叫于点，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
点是中边边上的“奇点”．
（3）解：作于，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，，，
设，
如图①，当点在点左侧时，
由点是边上的“奇点”，有：，
，
解得：或（舍去），
，
如图②，当点在点右侧时，
．
，
解得：或（舍，
，
综上：的长为2或．
13．（2022•苏州一模）如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线：
（2）连接，若的半径长为5，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
则，又，
，
，，
，
又是直径，
是的半径；
与相切；
（2）解：设，
，，，
在中，，
，
，
，
，，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
故的长为．
14．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
（1）如图1，在半对角四边形中，，，则 ；
（2）如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，在上取点，使得，连接并延长交于点，．求证：四边形是半对角四边形；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交于点，，．
①连接，若将扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 ；
②求的面积．
【答案】（1）120；（2）见解析；（3）①；②
【详解】（1）解：四边形是半对角四边形，
，．
，．
，
，
，
故答案为：120；
（2）证明：连接，如图，
在和中，
，
．
．
，
．
设，则．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
四边形是半对角四边形；
（3）解：①连接，如图，
四边形是半对角四边形，且，，
由（1）的方法可求得：，
，
．
设的半径为，则，，
在中，
，
．
解得：．
，．
扇形的弧长，
设该圆锥的底面半径为，
，
．
故答案为：；
②过点作于点，
，，
．
，
．
，
．
在中，
．
．
，，
，
，
．
，
．
，
．
15．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）与相切．理由如下：
连接，如图，
于点，
，
为直径，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2），，
，
而，，
，
，
，
而，
，
而，
，
，即，
，，
．
16．（2022•苏州二模）如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径长及的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，即，
，
，
平分，即，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作，垂足为，
，
由（1）可得，
，
，
，
即的半径为5；
，，
，
，
，
，
，
，，
．
17．（2022•苏州模拟）如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，与交于点，与的另一个交点为，过作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的直径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，如图1，
，
，
在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
过，
是的切线；
（2）解：连接，，
是的直径，
，，
即，，
由（1）知：，
为的中点，
，
，
在中，，
，
在中，，
．
18．（2022•工业园区模拟）如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作于点，交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．（2022•姑苏区校级二模）如图，是的弦，为上一点，过点作的垂线与的延长线交于点，连接并延长，与交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
20．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
的长．
21．如图，在中，，为边上一点，以为半径的圆切于点，延长交圆于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若、，求的长．
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：连接，如图，
是圆的切线，
，
，
，
．
在和中，
，
．
；
（2）解：设圆的半径为，则，，
在中，
，
，
解得：．
，，．
，，
，
，
，
．
由（1）知：．
在中，
；
（3）过点作于点，如图，
，，
，
，
．
，，
，
，
，
．
在中，
．
22．（2022•工业园区校级二模）如图，在等腰锐角三角形中，，过点作于，延长交的外接圆于点，过点作于，，的延长线交于点．
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）求证：①；
②．
【答案】见解析
【详解】解：（1）平分，理由如下：
，
，
又，
，，
，
，
平分，
（2）①由（1）知：平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
②由（1）知，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
23．（2022•姑苏区校级模拟）如图，在中，是边上的点，以为直径的与，，分别交于点，，，且是的中点．
（1）求证；
（2）连接，当时，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
是的中点，
，
，
，，
，
；
（2）解：连接，．
，，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
在中，，，，
，
．
24．（2022•工业园区校级模拟）已知，如图，内接于，边为直径，且，．点是直径下方圆弧上一点，与交于点．
（1）求的半径．
（2）当，求的长度．
（3）若，求弦的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【详解】解：（1）是直径，
，
在中，，
：半径为，
（2）连接，并延长交圆于点，连接，作于点，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，四边形是矩形，
在中，，
，
，
，
解法二：延长到，使得，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论．
解法三：连接，，，过点作于，分别求出，，可得结论．
（3）分别过，作，垂直于于点，，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
．
是直角三角形，
，
．，
，舍去，
，
设，则，
，
，
解得或．
解法二：求出后，设，则，
根据，构建方程求出，可得结论．
25．（2022•工业园区校级二模）如图，是的直径，点，在上，连接，，，连接并延长至点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，与交于点；
①求证：；
②当，时，请直接写出的长为 3 ．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②3
【详解】（1）证明：是的直径，
．
．
，，
，
是的切线；
（2）①证明：点是的中点，
，
．
，，
．
，，
．
；
②解：，
，
．
．即．
解得．
，
，
，
故答案为：3．
26．（2022•高新区校级三模）如图，是的直径，是弦，点在圆外，于，交于点，连接，，，．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1），
是的直径，
，
，
于，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）是的直径，
，
于，
，
，
在直角三角形中，，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
．
27．（2022•常熟市模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．
（1）如图1，中，，，点在边上，以为半径的恰好经过点，求证：是的切圆．
（2）如图2，中，，，是的切圆，且另外两条边都是的切边，求的半径．
（3）如图3，中，以为直径的恰好是的切圆，是的切边，与交于点，取弧的中点，连接交于点，过点作于点，若，，求和的长．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）4
【详解】（1）证明：连接，如图，
，，
．
．
，
．
．
即．
是圆的半径，
与相切．
圆心在边上，
是的切圆；
（2）解：①当圆心在边上，与，边相切于点，时，
连接，，，如图，
，是的切线，
，，平分．
，
，．
，，
．
．
．
．
；
②当圆心在边上，与，边相切于点，时，
连接，，，过点作于点，如图，
设，
，是的切线，
，．
，，
，
．
．
，
．
．
．
综上，的半径为或；
（3）解：连接，如图，
为的直径，
．
是的切圆，是的切边，
．
．
．
．
．
，
．
是弧的中点，
．
．
设，则，
，
．
．
，．
，，
．
．
．
．
28．（2016•苏州）如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．
（1）证明：；
（2）若，求的度数；
（3）设交于点，若，，是的中点，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）18
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，即，
，
垂直平分，
，
，
又，
；
（2）解：四边形是的内接四边形，
，
又，
，
又，
；
（3）解：连接，
，
，
在中，，，
，
是的中点，是的直径，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
即．
29．（2022•姑苏区校级一模）【阅读】：在中，弦弦于点，则，则、的度数和为，所以得到，我们把这个现象叫做：垂直弦平分圆（把圆分成4份弧，其中两份拼成半圆）．
【理解】：
如图1，在中，弦弦于点，、弧长分别为、，则半径为 ．
【拓展】：
如图2，在中，弦弦于点，为中点，若，则半径为 ．
【升华】：
如图3，在中，弦与弦交于点，且，，求半径．
【答案】见解析
【详解】解：（1）如图1，设的半径为，连接、、、，
于点，
，
，
，，
，
设，则，
、弧长分别为、，
，
，
故答案为：8．
（2）如图2，作的直径，连接、、，则，
于点，
，
，
，
，
，
，
为中点，，
，
，
，
故答案为：．
（3）如图3，作的直径、作弦，连接、、、，
，
，，
，
，，
延长到点，使，连接，作于点，则，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
半径长为．
30．（2022•昆山市校级一模）如图，在中，，以为直径的分别交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，连接，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，
①当时，求的长（结果保留；
②当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【详解】证明：（1）连接，如图1，
，
是等腰三角形，
①，
在中，，
②，
由①②得：，
，
，
，
是圆的切线；
（2）①，
，
设，
，
，
，
，
，
，
的长；
②连接，
为的直径，
，
的半径为4，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．