专题05 【五年中考+一年模拟】反比例函数综合题-备战2023年苏州中考数学真题模拟题分类汇编含答案

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（1）求与的值；
（2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
【答案】（1），；（2）或
【详解】（1）把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；
（2）当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或．
2．（2021•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点．已知实数，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】6
【详解】把代入，得，
，，
轴，
点横坐标为，
把代入，得，
，，
点为的中点，
．
，，
点在直线上，
，
．
3．（2019•苏州）如图，为反比例函数（其中图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且．
（1）求的值；
（2）过点作，交反比例函数（其中的图象于点，连接交于点，求的值．
【答案】（1）12；（2）
【详解】（1）过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示．
，，
，
，
点的坐标为．
为反比例函数图象上的一点，
．
（2）轴，，点在反比例函数上，
．
，，
，
．
，
，
．
4．（2022•姑苏区模拟）如图，已知点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点．连接，将绕点顺时针旋转到，交反比例函数图象于点．
（1）若点，求；
（2）若，，求反比例函数解析式．
【答案】（1）8；（2）
【详解】（1）由题意可知，
，
；
（2）设的坐标为，
点在反比例函数上，过点分别作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
，，
将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
反比例函数图象过、点，
，整理得，，
，即，
解得或，
当时，，
当时，（不合题意，舍去），
，
，
反比例函数的解析式为．
5．（2022•工业园区校级模拟）如图，已知双曲线与直线相交于、两点，轴，垂足为，直线与轴交于点．若的面积为1，．
（1）求的值；
（2）若点的纵坐标为，求该直线的函数表达式；
（3）在（2）条件下，直接写出当为何值时，？
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1），
；
（2）的面积为1，．
，
，
，，
，
把代入得，，
，
，
直线过、两点，
，解得，
直线的函数表达式为；
（3）观察图象，当或时，．
6．（2022•苏州模拟）如图，在平面直角坐标系中，与是等边三角形，边，在轴上，点，在第一象限．反比例函数的图象经过边的中点与边的中点，已知等边的边长为4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求等边的边长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
在中，，，则，，
故点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
故反比例函数的表达式为；
（2）设等边三角形的边长为，则，
是等边三角形，
，
在中，，，则，，
则点的坐标为，
点在反比例函数上，故，
解得（负值已舍去），
则，
故等边的边长为．
7．（2022•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点是反比例函数图象上的一动点，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当为何值时，为等腰直角三角形．
【答案】（1）一次函数表达式为；反比例函数表达式为；（2）或
【详解】（1）将点、的坐标代入一次函数表达式得：，解得，
故一次函数表达式为；
将点的坐标代入上式得：，故点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
故反比例函数表达式为；
（2）设点的坐标为，则点，
当为直角时，如下图，
过点作于点，
为等腰直角三角形，故，
即，解得（舍去）或1；
当为直角时，
同理可得，，即，
解得（舍去负值）；
当为直角时，和为直角时得到的等式相同，故值也相同；
综上，或．
8．（2022•苏州二模）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边△，则称点为的“等边对称点”；
（1）若，求点的“等边对称点”的坐标．
（2）若点是双曲线上一动点，当点的“等边对称点”点在第四象限时，
①如图（1），请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由．
②如图（2），已知点，，点是线段上的动点，点在轴上，若以、、、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围．
【答案】见解析
【详解】（1），
，
，
设，
等边△，
，
，
，
．
解得或，
或．
如图1，观察点位于第四象限，则．即点的“等边对称点”的坐标是，
再根据对称性可知，，也是点的“等边对称点”．
（2）①设，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，或，，
点在第四象限，，
，，
令，
，即；
②当为平行四边形的边时，与重合时，为一临界点通过平移可求得，
；
当为平行四边形的对角线时，与重合时，求得，
与重合时，，
此时，
综上所述：或．
9．（2022•姑苏区校级二模）如图，边长为2的正方形的顶点，在轴正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过点，交于．
（1）当点的坐标为时，求和的值；
（2）若点是的中点，求的长．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）正方形的边长为2，点的坐标为，
，，
，
反比例函数在第一象限的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为：，
反比例函数在第一象限的图象交于，
；
（2）设，
点是的中点，
，
反比例函数在第一象限的图象经过点、点，
，
解得，
，
，
．
10．（2022•高新区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若点在直线上，且满足，直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）双曲线过点，
，
正比例函数的图象过点，
．
正比例函数的表达式为．
（2）由图象可知点坐标的横坐标为或3，
当时，，
当时，，
点坐标为，．
11．（2022•工业园区校级模拟）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点，已知平行四边形的面积为．
（1）求直线的解析式；
（2）求点的坐标．
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为；
（2）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数，
反比例函数图象经过点，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标为，
的解析式为，
，，
，
，
，
解得：或（舍去），
，．
12．（2022•高新区校级三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，点的坐标为，点的坐标为．
（1）则 ， ；
（2）若时，则的取值范围是 ；
（3）过点作轴于点，连接，过点作于点，求线段的长．
【答案】（1），；（2）或；（3）
【详解】（1）点，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：，；
（2）由（1）知，，
，
，
当或时，，
故答案为：或；
（3）轴，，
，
，
点到的距离，
，，
，
，
，
．
13．（2022•常熟市模拟）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，点是该反比例函数图象上一点．
（1）求的值；
（2）不等式的解集是 ．
（3）若，求一次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）反比例函数的图象过点，点，
，
，
；
（2），
点，点，
由图象可知：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集是，
故答案为：；
（3）如图，过点作，交于，交于，
，轴，
轴，
点与点的纵坐标都为1，
，，，
，
，
点，点，
，
点的坐标为，
，
，
一次函数的表达式为．
14．（2022•昆山市校级一模）如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，若，点的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）4
【详解】（1），
，代入得，
，
点的纵坐标为3，
得，
，
把代入反比例函数得，
反比例函数的解析式为；
（2）由得或，
，，
而，
，
，
．
15．（2021•姑苏区一模）如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，点坐标为．
（1）求的值和点的坐标；
（2）若是的中点，求的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，
点坐标为，
，
反比例函数在第一象限的图象经过点，
，
；
（2），
，
，
，
是的中点，
，
．
16．（2021•苏州模拟）已知，如图1，直线与反比例函数位于第一象限的图象相交于、两点，并与轴、轴分别交于、．
（1）试判断与的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转，使其与反比例函数的另一支图象相交，设交点为．试判断与的数量关系是否依然成立？请说明理由．
【答案】见解析
【详解】（1），
理由如下：作轴于，轴于，连接、、、、，
轴，
，
同理，，
，
即、两点到的距离相等，且、位于同侧，故，
四边形与均为平行四边形，
，．
又，
在与中，
，
，
；
（2）结论依然成立，，
理由：作轴于，轴于，连接、、、、，
轴，
，
同理，，
，
即、两点到的距离相等，且、位于同侧，故，
四边形与均为平行四边形，
，．
又，
在与中，
，
，
．