初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）3.1 勾股定理的探究练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册（2024）3.1 勾股定理的探究练习题，共13页。试卷主要包含了如图，一棵树等内容，欢迎下载使用。
A．5B．6C．D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4B．C．D．5
3．如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为（ ）
A．10B．12C．13D．14
4．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米B．8米C．9米D．7米
5．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米B．2.6米C．0.6米D．1米
6．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
7．已知△ABC中，AC＝3，AB＝5，∠C＝90°，则△ABC的周长等于（ ）
A．11B．11.5C．12D．13
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（ ）
A．13B．12C．8D．5
10．已知a、b、c是△ABC的三条边，则下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4B．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4c2
C．a：b：c＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3和S4，若S1＝4，S2＝16，S3＝12，则S4的值是（ ）
A．6B．8C．9D．10
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（ ）
A．150B．200C．225D．450
13．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
14．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cmB．17cmC．18cmD．20cm
15．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
16．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，设BC＝a，CA＝b，以BC、CA为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则Rt△ABC的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．16
17．如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，则可算出旗杆的高度是（ ）米．
A．9B．11C．12D．15
18．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ）
A．25B．17C．18D．20
19．如图，点A、B、C在正方形网格格点上，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．45°C．40°D．60°
20．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）
A．128B．64C．32D．144
答案
1．解：如图，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
作CD⊥AB于D，
∵S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，
∴×3×4＝×5•CD，
∴CD＝．
故选：C．
2．解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝4，
∴S△ABC＝•AC•BD＝•BC•AE＝×6×4＝12，
∴5×BD＝12，
解得BD＝．
故选：C．
3．解：设杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，
∵杯子的直径为10cm，
∴杯子半径为5cm，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
12+1＝13（cm）．
答：筷子长13cm．
故选：C．
4．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝4（米），
∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4＝7（米）．
故选：D．
5．解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
6．解：
根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是EP2+PF2＝25，
故选：B．
7．解：∵∠C＝90°，
∴BC＝4，
∴△ABC的周长等于AB+AC+BC＝5+3+4＝12，
故选：C．
8．解：如图所示：
根据勾股定理，得AB＝5．
故选：B．
9．解：如图，连接AB，构造直角△ABH．
由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12，
∴AB＝13．
故选：A．
10．A、∵22+32＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴△ABC不是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4c2，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4c2，
∴4ab＝4c2，
∴ab＝c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
11．解：连接AC，
在直角△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即AC2＝S1+S2＝4+16＝20．
在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，即AC2＝S4+S3＝S4+12．
所以S4+12＝20．
所以S4＝8．
故选：B．
12．解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2．
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，
则AC2+BC2＝225．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225．
故选：C．
13．解：在Rt△ABE中，
AE＝12，
∵4个直角三角形是全等的，
∴AH＝BE＝5，
∴小正方形的边长＝AE﹣AH＝12﹣5＝7，
∴阴影部分的面积＝72＝49（cm2），
故选：C．
14．解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，
由题意得：AC＝9cm，BC＝12cm．
由勾股定理得：AB＝15（cm），
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm．
故选：A．
15．解：设OA＝OB＝x米，
∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，
∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，
在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，
解得：x＝5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
16．解：设BC＝a，CA＝b，则S1＝a2，S2＝b2，BG＝a+b＝8，
∵S1+S2＝40，
∴a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积＝ab＝×12＝6．
故选：A．
17．解：设旗杆的高度为x米，依题意得：
x2+92＝（x+3）2，
解得：x＝12；
故选：C．
18．解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴ED＝CD，
∴BD+ED＝BD+CD＝BC＝12．
在Rt△ADE和△Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝8+12＝20．
故选：D．
19．解：连接AB，
设每个小正方形的边长为a，
AB2＝5a2，BC2＝5a2，AC2＝10a2，
∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠CAB，
∴∠ABC＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，
故选：B．
20．解：∵AE＝5，BE＝13，
∴AB2＝194，
∴小正方形的面积为：194﹣×4＝194﹣130＝64，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是64×2＝128，
故选：A．