2025~2026学年[苏科版]八年级数学上学期第3章《勾股定理》期中综合训练 [答案]

这是一份2025~2026学年[苏科版]八年级数学上学期第3章《勾股定理》期中综合训练 [答案]，共21页。试卷主要包含了如图，将一副学生用三角板，在下列条件等内容，欢迎下载使用。

A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°
2．在Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，且BC＝2，AB＝5，则线段CM的长是（ ）
A．1B．2C．2.5D．3
3．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
4．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ ）
A．3B．12C．9D．4
5．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（ ）
A．3B．3.3C．4D．5
7．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（ ）
A．3B．C．2D．或2
8．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，若AD是△ABC的高，则AD的长为（ ）
A．2B．C．D．2
9．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（ ）
A．1B．2C．12D．13
10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝5，将△ABC沿射线AC的方向平移1个单位长度得到△DEF，DE与BC交于点G，DC＝DG，则阴影部分面积是（ ）
A．4B．8C．9D．
11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c．下列条件中；不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠CB．a2＝b2+c2
C．∠A+∠B＝∠CD．a：b：c＝3：4：5
12．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）D．a＝32，b＝42，c＝52
13．下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25B．，，C．1.5，2，2.5D．32，42，52
14．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10B．12C．13D．14
15．如图，在水塔O的东北方向15m处有一抽水站A，在水塔的东南方向8m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A．7mB．12mC．17mD．22m
16．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝54°，则∠B＝ ．
17．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是 ．
18．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝ ．
19．在直角三角形中，其中两边分别为3，4，则第三边是 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为 °．
21．如图Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若∠A＝32°，则∠BCD＝ °．
22．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
23．如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB＝AC，当梯子的一边与地面所夹的锐角α为60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m．周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使α为60°，后又调整α为45°，则梯子顶端A离地面的高度下降了 m．
24．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ．
25．如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1＝22°，那么∠2的度数为 ．
26．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA＝ °．
27．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为 ．
28．请写出一组勾股数 （三个数都要大于10）．
29．如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏草坪，只为少走 米的路．
30．在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（BC）有5米．则旗杆的高度 ．
31．推理填空：
已知：如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBF，若∠CAD＝22°，求∠BAD的度数．
解：∵∠C＝90°，∠CAD＝22°（已知），
∴∠ADC＝68°（直角三角形两锐角互余）．
∵直线EF∥直线GH（已知）．
∴ ＝∠ADC＝68°（ ）．
∵BA平分∠DBF（已知），
∴∠ABF＝∠ ＝34°（ ）．
又∵直线EF∥直线GH（已知），
∴∠BAD＝ ＝34°（ ）．
32．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．
33．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．
34．如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．
35．如图1，正方形纸片ABCD的边长为4，点E、F、M、N分别是正方形纸片四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．若EN＝，求中间小正方形的面积．
参考答案
1．解：∵∠DEB＝m°，
∴∠AEC＝∠DEB＝m°，
∵∠A+∠AEC＝∠C+∠AOC，∠C＝45°，∠A＝30°，
∴30°+m°＝45°+∠AOC，
∴∠AOC＝（m﹣15）°，
故选：B．
2．解：在Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，则CM是Rt△ABC斜边上的中线．
∵AB＝5，
∴CM＝AB＝2.5．
故选：C．
3．解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
4．解：如图，
由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
5．解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
6．解：∵旗杆的高度为AB＝3.2米，
∴AP＞AB，
∴绳子AP的长度不可能是：3米．
故选：A．
7．解：①当x为斜边时，x2＝22+42＝20，所以x＝2；
②当4为斜边时，x2＝16﹣4＝12，x＝2．
故选：D．
8．解：∵AB2＝22+42＝4+16＝20；
AC2＝22+12＝4+1＝5，
BC2＝32+42＝9+16＝25，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△BAC＝AB×AC＝××＝5，
∵同一三角形面积相等，
S△BAC＝BC•AD＝×5×AD＝5，
∴AD＝2．
故选：D．
9．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
10．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝5，
∴S△ABC＝×5×5＝，
∵CF＝1，
∴DC＝DG＝AC﹣CF＝4，
∴S△DGC＝×4×4＝8，
由平移的性质得：S△ABC＝S△DEF，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△DGC＝﹣8＝，
故选：A．
11．解：A、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不为直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵a2＝b2+c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
12．解：A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；
D、因为（32）2≠（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
13．解：A、72+242＝252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
14．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
15．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝15m，OB＝8m，
∴AB＝＝＝17（m）．
故选：C．
16．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝54°，
∴∠B＝90°﹣54°＝36°，
故答案为：36°．
17．解：根据勾股定理的几何意义，可知
SC＝SA+SB
＝9+4
＝13，
故答案为：13．
18．解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
19．解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，
则第三边为＝5，
当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，
则第三边为＝．
故答案为：5或．
20．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．
故答案为：20．
21．解：∵∠C＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝32°，
故答案为：32．
22．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
23．解：如图1所示：
过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，
故BC＝AB＝AC＝2m，
则AD＝m，
如图2所示：
过点A作AE⊥BC于点E，
由题意可得：∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等腰直角三角形，AC＝AB，
则AE＝BC＝m，
故梯子顶端离地面的高度AD下降了（﹣）m．
故答案为：（﹣）．
24．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股BE＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
25．解：∵AB∥CD，∠1＝22°，
∴∠1＝∠3＝22°，
∴∠2＝45°﹣22°＝23°，
故答案为：23°．
26．解：由图可知：AD＝CD＝，AC＝，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，
故答案为：45．
27．解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
28．解：∵162+122＝202，
∴16，12，20是一组勾股数．
故答案为：16，12，20（答案不唯一）．
29．解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，
∴AC＝＝50，30+40﹣50＝20，
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
故答案为：20．
30．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+1）2＝x2+52，
解得：x＝12，
答：旗杆的高度为12米．
故答案为：12米．
31．解：∵∠C＝90°，∠CAD＝22°（已知），
∴∠ADC＝68°（直角三角形两锐角互余）．
∵直线EF∥直线GH（已知）．
∴∠DBF＝∠ADC＝68°（两直线平行，同位角相等）．
∵BA平分∠DBF（已知），
∴∠ABF＝∠DBF＝34°（角平分线的定义）．
又∵直线EF∥直线GH（已知），
∴∠BAD＝∠ABF＝34°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：∠DBF；两直线平行，同位角相等；DBF；角平分线的定义；∠ABF；两直线平行，内错角相等．
32．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
33．解：∵∠B＝3∠A，
∴∠A＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
解得∠B＝67.5°．
34．解：根据勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，
故四边形ABCD的周长为5+5++2＝5+5+3；
面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4＝17.5．
35．（1）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS），
∴EN＝NM＝MF＝EF，∠ENA＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF，
∴EF＝FM＝MN＝NE，EH＝FG＝MR＝NQ，EQ＝FH＝MG＝NR，
如图2，设正方形EFMN的边长EF＝FM＝MN＝NE＝c，EH＝FG＝MR＝NQ＝b，EQ＝FH＝MG＝NR＝a，
则小正方形QHGR的边长QH＝b﹣a，
∴小正方形QHGR的面积为（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴a+b＝4，
∴a2+b2+2ab＝16，
∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6，
∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6＝4．