第3章 勾股定理 学情评估卷（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

这是一份第3章 勾股定理 学情评估卷（含答案）2025-2026学年苏科版八年级数学上册，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. 9，12，15D. 1，2，5
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若斜边AB的长为10，则S1+S2的值为（ ）
（第2题）
A. 8B. 32C. 64D. 100
3．[［2025南京玄武区期末］]如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，D是边BC上的点，若BD=3，DC=2，则AB2−AD2的值为（ ）
（第3题）
A. 13B. 21C. 25D. 29
4．[［2025无锡梁溪区模拟］]如图，在△ABC中，已知AB=AC=5 cm，BC=8 cm，则AB边上的高为（ ）
（第4题）
A. 2.4 cmB. 3 cmC. 4.8 cmD. 无法确定
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
（第5题）
A. 8B. 10C. 12D. 13
6．将面积为8π 的半圆形与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
（第6题）
A. 16B. 32C. 8π D. 64
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长6 cm，宽5 cm，高3 cm.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. 16 cmB. 106 cmC. 130 cmD. 不能确定
8．[2024淮安]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
（第8题）
A. 14B. 13C. 12D. 11
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．[2025泰州海陵区月考]已知Rt△ABC的三边长分别是a，b，c，斜边长c=3，则a2+b2+c2的值为.
10．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，AC=4，BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是.
（第10题）
11．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，AD平分∠BAC交BC于点D，AB=5，AC=3，则BD的长是_ _ .
（第11题）
12．如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.5米，则梯子顶端A下滑了_ _ 米.
（第12题）
13．[2025宿迁宿城区期中]如图，有一个圆柱体，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，一只蚂蚁在点A处，若它要吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱体侧面爬行的最短路程约是cm.(π 的值取3)
（第13题）
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘ ，连接AC，E为AC的中点，连接BE，DE.若DE=132，BC=12，则△ABE的周长为.
（第14题）
15．[2025南京秦淮区期末]如图，在△ABC中，∠BAC=90∘ ，AD平分∠BAC交BC于点D，AB=4，AC=3，则BD的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
16．如图，∠ACB=90∘ ，AB=4 cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
17．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
18．如图，在长方形ABCD中，AD=5，AB=8，E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
三、解答题（共66分）
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边.
（1） 已知a=16，b=12，求c的长；
（2） 已知c=13，b=12，求a的长.
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8 km，B村庄到公路的距离BD=14 km，测得C，D两点之间的距离为20 km，现要在C，D之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等，求CE的长.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高8 m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4 m.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点C处的下方1.25 m的点D处，有一明显裂痕.若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
23．（10分） 如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
（1） 判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2） 若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长.
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，将△BCE沿CE翻折得到△GCE,延长CG交AD于点H，连接EH.
（1） 求证：△EAH≌△EGH.
（2） 若AB=10，求CH的长.
城合与实践
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
（1） 从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形ABEFG的面积，并写出得到等式a2+b2=c2的过程.
（2） 如果满足等式a2+b2=c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数.已知m，n是正整数且m>n，证明：2mn，m2−n2，m2+n2是勾股数.
【灵活运用】
（3） 在如图所示的五边形ABEFG中，若a=4，b=8，则空白部分的面积为.
（4） 请写出任意一组含有85的“勾股数”：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 小明在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+4n+4(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ .
第3章 学情评估卷
时间：90分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 4，5，6C. 9，12，15D. 1，2，5
【答案】C
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若斜边AB的长为10，则S1+S2的值为（ ）
（第2题）
A. 8B. 32C. 64D. 100
【答案】D
3．[［2025南京玄武区期末］]如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，D是边BC上的点，若BD=3，DC=2，则AB2−AD2的值为（ ）
（第3题）
A. 13B. 21C. 25D. 29
【答案】B
4．[［2025无锡梁溪区模拟］]如图，在△ABC中，已知AB=AC=5 cm，BC=8 cm，则AB边上的高为（ ）
（第4题）
A. 2.4 cmB. 3 cmC. 4.8 cmD. 无法确定
【答案】C
5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即如图，AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（ ）
（第5题）
A. 8B. 10C. 12D. 13
【答案】C
6．将面积为8π 的半圆形与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
（第6题）
A. 16B. 32C. 8π D. 64
【答案】D
7．如图，一只蜘蛛在一个长方体的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长6 cm，宽5 cm，高3 cm.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
（第7题）
A. 16 cmB. 106 cmC. 130 cmD. 不能确定
【答案】A
8．[2024淮安]如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
（第8题）
A. 14B. 13C. 12D. 11
【答案】B
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．[2025泰州海陵区月考]已知Rt△ABC的三边长分别是a，b，c，斜边长c=3，则a2+b2+c2的值为.
【答案】18
10．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，AC=4，BC=2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则该正方形的面积是.
（第10题）
【答案】20
11．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，AD平分∠BAC交BC于点D，AB=5，AC=3，则BD的长是_ _ .
（第11题）
【答案】2.5
12．如图，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.5米，则梯子顶端A下滑了_ _ 米.
（第12题）
【答案】0.5
13．[2025宿迁宿城区期中]如图，有一个圆柱体，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm，一只蚂蚁在点A处，若它要吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱体侧面爬行的最短路程约是cm.(π 的值取3)
（第13题）
【答案】15
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘ ，连接AC，E为AC的中点，连接BE，DE.若DE=132，BC=12，则△ABE的周长为.
（第14题）
【答案】18
15．[2025南京秦淮区期末]如图，在△ABC中，∠BAC=90∘ ，AD平分∠BAC交BC于点D，AB=4，AC=3，则BD的长是_ _ _ _ _ _ .
（第15题）
【答案】207
16．如图，∠ACB=90∘ ，AB=4 cm，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】16 cm2
17．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（第17题）
【答案】245
18．如图，在长方形ABCD中，AD=5，AB=8，E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第18题）
【答案】52或1
【解析】点拨：分两种情况：
①如图①，当点F在长方形ABCD内部时，
∵ 点F在AB的垂直平分线MN上，∴AN=DM=4.
易知AF=AD=5，∴ 由勾股定理，得FN=3，
∴ 易知FM=2.设DE=y，则EM=4−y，FE=y.
在Rt△EMF中，由勾股定理，得y2=4−y2+22，
解得y=52，即DE的长为52.
②如图②，当点F在长方形ABCD外部时，
同①的方法可得FN=3，∴FM=8.
设DE=z，则EM=z−4，FE=z.
在Rt△EMF中，由勾股定理，得z2=z−42+82，
解得z=10，即DE的长为10.
综上所述，当点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为52或10.
三、解答题（共66分）
19．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对应的边.
（1） 已知a=16，b=12，求c的长；
（2） 已知c=13，b=12，求a的长.
【答案】（1） 解：∵∠C=90∘ ，a=16，b=12，∴c=162+122=20.
（2） ∵∠C=90∘ ，c=13，b=12，∴a=132−122=5.
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长.
解：如图，∵ 在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，
∴12AB⋅DE=60，即12AB×12=60，解得AB=10.
又∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，AC=8，
∴BC=AB2−AC2=102−82=6.
21．（10分） 如图，在笔直的高速公路旁边有A，B两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8 km，B村庄到公路的距离BD=14 km，测得C，D两点之间的距离为20 km，现要在C，D之间建一个服务区E，使得A，B两村庄到服务区E的距离相等，求CE的长.
解：设CE=x km，则DE=20−xkm.
在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE2=AC2+CE2；
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2=BD2+DE2.
由题意可得AE=BE，∴AE2=BE2.∵AC=8 km，BD=14 km，∴82+x2=142+20−x2，解得x=13.3,
∴CE=13.3 km.
22．（10分）如图，一根直立的旗杆高8 m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4 m.
（1） 求旗杆从距地面多高处折断;
（2） 工人在修复的过程中，发现在折断点C处的下方1.25 m的点D处，有一明显裂痕.若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1） 解：由题意，得∠A=90∘ ，AC+BC=8 m.在Rt△ABC中，AB=4 m，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2,即42+AC2=8−AC2，解得AC=3 m.则旗杆从距地面3 m处折断.
（2） 由（1）得AC=3 m.如图，由题意，得AD=3−1.25=1.75m，所以B'D=8−1.75=6.25m.
在Rt△AB'D中，由勾股定理，得AB'2=B'D2−AD2,所以AB'=6 m.则距离旗杆底部6 m范围内有被砸伤的危险.
23．（10分） 如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
（1） 判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2） 若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长.
【答案】
（1） 解：DE⊥DP.
理由如下：∵PD=PA，∴∠A=∠PDA.
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∴∠B=∠EDB.
∵∠C=90∘ ，∴∠A+∠B=90∘ ，
∴∠PDA+∠EDB=90∘ ，∴∠PDE=180∘−90∘=90∘ ，
∴DE⊥DP.
（2） 如图，连接PE.
设DE=x，则BE=DE=x，∴CE=8−x.
∵AC=6，PA=2，
∴PC=4，PD=PA=2.
∵∠C=∠PDE=90∘ ，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
即42+8−x2=22+x2，
解得x=4.75，即DE=4.75.
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，将△BCE沿CE翻折得到△GCE,延长CG交AD于点H，连接EH.
（1） 求证：△EAH≌△EGH.
（2） 若AB=10，求CH的长.
【答案】（1） 证明：四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90∘ .∵E为边AB的中点，∴AE=BE.由翻折变换的性质可知，GE=BE,∠EGC=∠B=90∘ ,∴AE=GE,∠EGH=90∘ .在Rt△EAH与Rt△EGH中，AE=GE,EH=EH,∴Rt△EAH≌Rt△EGHHL.
（2） 解：在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB=10.∴DH=AD−AH=10−AH.∵Rt△EAH≌Rt△EGH,∴AH=GH,由翻折可知GC=BC=10,∴CH=CG+GH=10+AH.在Rt△CDH中，由勾股定理得DH2+CD2=CH2,即10−AH2+102=10+AH2，解得AH=2.5,∴CH=10+AH=12.5.
25．[［2025盐城月考］]（12分）综合与实践
【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
（1） 从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形ABEFG的面积，并写出得到等式a2+b2=c2的过程.
（2） 如果满足等式a2+b2=c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数.已知m，n是正整数且m>n，证明：2mn，m2−n2，m2+n2是勾股数.
【灵活运用】
（3） 在如图所示的五边形ABEFG中，若a=4，b=8，则空白部分的面积为.
（4） 请写出任意一组含有85的“勾股数”：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（5） 小明在他找到的勾股数的表达式中，用2n2+4n+4(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数，则另两个数的表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解：如图所示,
方法一：S五边形ABEFG=S正方形ABDN+S正方形MDEF+S△MFG+S△ANG=b2+a2+12ab+12ab=a2+b2+ab.
方法二：S五边形ABEFG=S正方形ACFG+S△ABC+S△CEF=c2+12ab+12ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，∴a2+b2=c2.
（2） 证明：∵2mn2=4m2n2，m2−n22=m4+n4−2m2n2，
∴2mn2+m2−n22=4m2n2+m4+n4−2m2n2=m2+n22.
∵m，n是正整数且m>n，
∴2mn，m2−n2，m2+n2都是正整数，
∴2mn，m2−n2，m2+n2是勾股数.
（3） 48
（4） 85，132，157（答案不唯一）
（5） 2n2+4n；4n+4
【解析】
（3） 点拨：当a=4，b=8时，由（1）可知S五边形ABEFG=a2+b2+ab=42+82+4×8=112，又∵S△ABC=12ab=12×4×8=16，∴ 题图中空白部分的面积为112−4×16=48.
（4） 点拨：不妨假设m2−n2=85，m，n是正整数且m>n，∴m+nm−n=85=1×85=5×17.①当m+n=85,m−n=1时，解得m=43,n=42,∴2mn=3 612，m2+n2=3 613，∴85，3 612，3 613是一组勾股数；②当m+n=17,m−n=5时，解得m=11,n=6,∴2mn=132，m2+n2=157，∴85，132，157是一组勾股数.（还有其他情况，答案不唯一，写出一组即可）
（5） 点拨：2n2+4n+42=4n4+16n3+32n2+32n+16=4n4+16n3+16n2+16n2+32n+16=2n2+4n2+4n+42，∴ 另两个数的表达式为2n2+4n，4n+4.