专题10 计数原理与二项式定理（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（原卷版+解析版）

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题型01 计数原理、排列组合
题型02 求二项式展开式中某项的系数
题型03 求二项式展开式中常数项
题型01
计数原理、排列组合
1．（2025·山东菏泽·二模）某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ）
A．32B．20C．16D．10
2．（2025·辽宁·二模）第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ）
A．12种B．24种C．48种D．96种
3．（2025·重庆·二模）某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（ ）
A．20B．24C．30D．36
4．（2025·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（ ）
A．24B．36C．48D．72
5．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（ ）
A．24种B．36种C．48种D．72种
6．（2025·江西萍乡·二模）将六个连续的整数随机排成一行，则从左到右先递增再递减的排列方式有（ ）
A．720种B．120种C．32种D．30种
7．（2025·湖北·二模）甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种B．42种C．54种D．72种
8．（2025·河南·二模）某同学收集了第一届全国学生（青年）运动会吉祥物“壮壮”和“美美”的卡片各一张，第19届亚运会吉祥物“宸宸”“琮琮”和“莲莲”的卡片各一张.现该同学准备将这5张卡片贴在墙上，若将“壮壮”和“美美”的卡片贴在“宸宸”和“莲莲”之间，则不同的贴法种数为 .（用数字作答）
9．（2025·安徽黄山·二模）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法．
10．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种.
11．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有 种（用数字作答）.
12．（2025·湖南·二模）定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有 个.
13．（2025·湖北黄冈·二模）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为 ．
题型02
求二项式展开式中项的系数
1．（2025·广东广州·二模）的展开式中的系数为（ ）
A．24B．C．D．
2．（2025·山东聊城·二模）若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A．16B．32C．48D．64
3．（2025·河北张家口·二模）的展开式中项的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（ ）
A．B．C．20D．40
5．（2025·山西晋城·二模）已知，若，则展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．90D．270
6．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．3B．6C．60D．30
7．（多选）（2025·江苏·二模）的展开式中，则（ ）
A．的系数为B．第3项与第4项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数和为32D．所有项的系数和为32
8．（多选）（2025·江西上饶·二模）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025·重庆·二模）若二项式展开式的所有项系数之和为，则 ．
10．（2025·黑龙江大庆·三模）的展开式中的系数为 .
11．（2025·天津南开·二模）在的展开式中，的系数为 ．
12．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．（2025·山东泰安·二模）已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
14．（2025·江西鹰潭·二模）已知二项式的展开式中，二项式系数之和为64，则含的项的系数为 ．
题型02
求二项式展开式中的常数项
1．（2025·河北·二模）已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．1D．24
2．（2025·广东清远·二模）展开式中的常数项为 ．
3．（2025·重庆·二模）的展开式中的常数项是 .
4．（2025·河南·二模）若的展开式中的常数项为，则 .