专题06 数列（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（原卷版+解析版）

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题型01 数列的递推公式
题型02 等差数列及其性质的应用
题型03 等比数列及其性质的应用
题型04 等差数列与等比数列交汇问题
题型05 数列求和问题
题型06 数列中的新定义问题
题型07 数列与三角、解析几何等知识交汇
题型01
数列的递推公式
1．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C．当为奇数时，D．当为偶数时，
4．（多选）（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
5．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江西上饶·二模）已知数列满足，则数列的前4项的和为 ．
7．（2025·河北张家口·二模）已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为 .
8．（2025·广东清远·二模）已知数列的首项为，且满足．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和．
9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足．求数列的前项和为；
(3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围．
题型02
等差数列及其性质的应用
1．（2025·江西上饶·二模）已知为等差数列，，则（ ）
A．12B．C．D．
2．（2025·山西临汾·二模）记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（ ）
A．2021B．4039C．2020D．4040
3．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·四川雅安·二模）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知等差数列满足：，则的公差为（ ）
A．1B．2C．D．
6．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（2025·河北邯郸·二模）已知等差数列的前项和为，且，则公差 ．
8．（2025·安徽池州·二模）在等差数列中，若，则 .
9．（2025·河南新乡·二模）已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则 .
10．（2025·浙江金华·二模）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 .
11．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ．
12．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.
(1)求.
(2)求数列的通项公式.
(3)设，求数列的前项和.
题型03
等比数列及其性质的应用
1．（2025·山东聊城·二模）各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
2．（2025·云南昆明·二模）已知正项等比数列，满足，，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2019·广东茂名·一模）已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
A．34B．32C．30D．28
4．（2025·安徽滁州·二模）已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东滨州·二模）设为等比数列，且，则（ ）
A．12B．24C．48D．96
6．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（ ）
A．5B．3C．D．
7．（2025·江苏·二模）已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·辽宁·二模）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 .
9．（2025·四川雅安·二模）在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 .
题型04
等差数列与等比数列交汇问题
1．（2025·安徽黄山·二模）已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·广东清远·二模）已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ）
A．11B．13C．19D．17
3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
4．（多选）（2025·安徽淮北·二模）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．一定不是等差数列
C．若为等比数列，则公比为2
D．若，则为等比数列
5．（多选）（2025·江西新余·二模）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列，使得
B．存在公比为2的等比数列，使得
C．若，则
D．若，则
6．（多选）（2025·辽宁锦州·二模）已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若为等差数列，则数列也是等差数列
B．若，则数列为等比数列
C．若，则时取到最小值
D．若为等比数列，且，则
7．（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为 （用数字作答）.
8．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ．
9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，.
(1)当数列为等差数列时，求的通项公式及；
(2)当在单调递增时，设，求的值；
(3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值.
题型05
数列求和
1．（2025·陕西咸阳·二模）已知数列满足（，），则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且，则的前2025项的和为（ ）．
A．1350B．1352C．2025D．2026
3．（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
4．（2025·山东聊城·二模）数列是递增数列，其前项和为，且．
(1)求；
(2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明：
①；
②．
5．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：.
6．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
7．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列．
(1)求；
(2)若，
（ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有．
题型06
数列中的新定义问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（ ）
A．38B．51C．66D．83
2．（多选）（2025·江西萍乡·二模）若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ）
A．若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列
B．若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列
C．数列的极差数列可能为等比数列
D．数列的极差数列的极差数列仍是
3．（2025·山东青岛·二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定已知且Ø，则中所有元素之和为奇数的概率为 .
4．（2025·安徽黄山·二模）若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
(1)若（是正整数），求，，的值；
(2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；
(3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）
5．（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式；
(2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值；
(3)证明：不存在“等比关联数列”．
6．（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．
(1)已知，，求，，，；
(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；
(3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．
7．（2025·河北张家口·二模）现定义：对于实数，若，则称b是a和c的加比中项；若，则称b是a和c的减比中项.已知数列满足，，且存在正数m，使是和的加比中项与减比中项.
(1)若是与的等比中项，求m；
(2)数列满足，，且是和的减比中项.记数列的前n项和为.
（ⅰ）证明：是和的减比中项；
（ⅱ）当时，证明：.
8．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列.
(1)求，的值；
(2)求；
(3)证明：.
9．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
10．（2025·河北·二模）已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质.
(1)已知，，判断数列，是否具有性质；
(2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
(3)若，求具有性质的数列的个数.
11．（2025·江苏·二模）若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”.
(1)已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；
(2)若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由；
(3)若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”.
题型07
数列与三角、解析几何等知识交汇
1．（2018·山东聊城·一模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
4．（多选）（2025·云南曲靖·二模）已知数列是等比数列，且，数列满足，不等式的整数解个数记为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·山东·二模）已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为 ；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为
6．（2025·云南昆明·二模）已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ．
7．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为．
(1)求的通项公式；
(2)记，其中为二项式系数．
（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）求．
8．（2025·山东菏泽·二模）某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为．
(1)当时，写出的值；
(2)当时，求，并证明当最大时，满足
(3)已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值．
9．（2025·河北邯郸·二模）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)求直线的斜率；
(3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：.
10．（2025·重庆·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上.
(1)求的方程;
(2)过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中.
① 求 ；
② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: .