第01讲 相交线（知识串讲+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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一、相交线
直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.
1.垂线
定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
示例：如图所示，直线AB，CD互相重直，记作:“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂是是0，记作“AB⊥CD,乘足为0”.
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【注意】
1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.
2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.
垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO⊥m，垂足为0，称PO为点P到直线m的垂线段.
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
【注意】
1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；
2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.
二、相交线中的角
1.对顶角与邻补角
【补充说明】
1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线.
2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角.
2.同位角、内错角、同旁内角
【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.
考点一： 相交线的相关概念
1．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两条直线相交，只有一个交点
C．两直线平行，同旁内角相等
D．过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；
B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；
D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为ON⊥a，OM⊥a，
所以直线ON与OM重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
3．（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，∠1与∠2是对顶角的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可．
本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义．
【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是．
故选C．
4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（ ）
①对顶角相等；
②互补的两个角是邻补角；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键．
根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可．
【详解】解∶①对顶角相等，说法正确；
②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；
③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；
④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；
故选∶B．
5．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案．
【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角；
根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角．
故选：D．
考点二： 指出现实问题后的数学依据
6．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA=5cm, MB=4cm, MC=2cm, MD=3cm，则点M到直线l的距离是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出CP垂直AB，垂足为P，然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：解：已知在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
8．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段BN的长度，这样测量的依据是 ．
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键．
【详解】解：测量的依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
9．（22-23七年级下·北京西城·期末）如图，在三角形ABC中，∠C=90°，点B到直线AC的距离是线段 的长，BC