第15讲 二元一次方程组【考点卷】（18大核心考点）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

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1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．1B．任何数C．2D．1或2
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程组的定义即可解答．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，，
解得，
故选：A．
2．关于x，y的二元一次方程的正整数解的组数有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】本题是求不定方程的整数解．先把其中一个未知数用另一个未知数表示，然后分析它的解的情况．
【详解】解：先将方程变形，得．
要使x，y都是正整数，根据以上条件得：
x取1，2时，相应的y取4，1．
∴有二组，分别为，．
故选：B．
37．若方程是关于，的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答．
【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，，
，，，
解得：，，
，
故答案为：．
4．方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，则，再代值计算即可．
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．求方程的所有正整数解．
【答案】和．
【分析】用含y的代数式表示出x，然后验证即可．
【详解】∵，
∴．
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
因此原方程的正整数解为：和．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的特殊解，正确变形是解答本题的关键．
【核心考点二 二元一次方程组的相关概念】
6．在下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：A、该方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，故该选项不符合题意；
B、该方程组符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意；
C、第一个方程是二次方程，故该选项不符合题意；
D、第一个方程是分式方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
7．若是关于x，y的二元一次方程的解，则常数b的值是（ ）
A．7B．3C．D．
【答案】B
【分析】本题考查方程的解，将代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：；
故选：B．
8．已知是二元一次方程的一个解，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．将代入中即可得出答案．
【详解】解：根据题意将代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
9．关于的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，不过仍能求出．则的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入得出，故方程的解为，再把代如计算即可得出答案．
【详解】把代入，得，
解得：，
故方程的解为，
把代如，得，
解得，
故答案为：．
10．（1）判断是方程组的解吗？
（2）已知，是方程组的解，求的值．
【答案】（1）是；（2）2．
【分析】（1）根据方程解的定义分别代入每个方程的左边与右边验证是否相等，再确定方程组的解；
（2）根据方程组的解将方程组的解代入方程组，求解即可．
【详解】解：（1）当时代入第一个方程左边=，右边=，左边=右边，
∴是的解，
当时代入第二个方程左边=，右边=，左边=右边，
∴是的解，
∴是方程组的解；
（2）∵是方程组的解，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，与利用方程组的解求参数，掌握方程组的解是方程组的各方程的公共解，会解方程组是关键．
【核心考点三 解二元一次方程组】
11．解二元一次方程组用代入消元法消去x，得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用代入消元法消去系数为1的未知数项，从而达到消元的目的，掌握此知识点是解答本题的关键．
将①变形代入②即可消去x，得到方程．
【详解】解：，
①变形为,
将其代入②可得：，
即．
故选：D．
12．用代入消元法解关于的方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，根据方程组的结构特征，将①代入②即可得到答案，熟练掌握代入消元法是解决问题的关键．
【详解】解：，
将①代入②得，
故选：A．
13．方程组的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，将①代入②计算即可得到答案；
【详解】解：将①代入②得，
，
解得：，
将代入①得，
，
∴，
故答案为：．
14．若是二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程概念．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的次数方面考虑求常数、的值，再代入求的值．
【详解】解：根据二元一次方程的定义，得
，
解得．
所以．
故答案为：．
15．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用代入消元法进行解方程，即可作答．
（2）运用加减消元法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：，
把②代入①，得，
解得，
把代入②，得，
∴方程组的解是．
（2）解：原方程组整理得：，
得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【核心考点四 二元一次方程组的特殊解法】
16．已知方程组，则的值是（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法.直接利用方程可得答案.
【详解】解：，
得：，
故选：B.
17．已知x，y满足方程组，则的值为（ ）
A．15B．10C．5D．1
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数系数的特点得出是解题的关键．
两个方程直接相加即可得出，从而求出的值．
【详解】解：，
，得，
，
故选：C．
18．已知方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】先把方程组的解代入方程组得到关于，的方程组，再把各个方程的左右两边同时乘以2从而得到其同解方程组，由此可得答案．本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤．
【详解】解：方程组的解为，
，
方程组变形为：，
，
方程组的解为：，
故答案为：．
19．关于x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，根据题意，得到，求解即可．
【详解】解：∵x，y的方程组（其中a，b是常数）的解为，
∴方程组的解为，
解得：．
故答案为：.
20．【注重阅读理解】先阅读，再解方程组．
解方程组：
解：设，
则原方程组变为
整理，得解得
解得
请用这种方法解方程组：
【答案】
【详解】设，则原方程组变为
解得
解得
【核心考点五 二元一次方程组的错解复原问题】
21．张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意．
根据题意将代入方程组，得到即可求解；
【详解】解：张亮看错了，所以是第二个方程的解，不是第一个方程的解．
因此代入方程组中，得到，
解得，A选项符合题意．
故选：A．
22．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值是（ ）
A．1B．C．10D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∴，
故选：D．
23．已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为；小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 ．
【答案】
【详解】∵在解方程组时，小明看错了a，解得
∴，解得，
∵小亮看错了b，解得
∴，解得，
∴原方程组为由①得：③，把③代入②得，解得，
将代入③得，∴方程组的解为
24．已知关于x，y的方程组，小明看错a得到的解为，小亮看错了b得到的解为，则原方程组正确的解为 ．
【答案】
【详解】∵在解方程组时，小明看错了a，解得
∴，解得，
∵小亮看错了b，解得
∴，解得，
∴原方程组为由①得：③，把③代入②得，解得，
将代入③得，∴方程组的解为
2．甲、乙两名同学解方程组由于甲同学看错了系数，得到方程组的解是，由于乙同学看错了系数，得到方程组的解是求原方程组中的的值．
【答案】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的概念是解题的关键．
根据甲同学看错了系数，把代入可求得的值，乙同学看错了系数，把代入可求出的值．
【详解】解：∵ 甲同学看错了系数，得到的方程组的解是 ，
是方程的解，
∴，
∴；
∵ 乙同学看错了系数，得到的方程组的解是，
是方程的解，
∴，
∴．
【核心考点六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】
26．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得，再根据得到的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：
由得，，即
解得：．
故选：A．
27．若关于x、y的方程组的解满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，得出是解题的关键．
方程组中的两个方程直接相加得到，化简得，即可得到答案．
【详解】解：，
得，，
即，
∵，
，
∴，
故选：D ．
28．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．两式相加得到，再根据题意得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
得，
∵关于，的方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：1．
29．已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】本题考查解二元一次方程组．两个方程相加可得，再整体代入求值即可求k的值．
【详解】解：，
得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
30．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求m、n的值；
(3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不对，理由见解析
【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键．
（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得；
（2）解：将代入含有m、n的方程得：，
解得：；
（3）解：将代入，得：
，
化简得：，
该说法错误．
【核心考点七 方程组同解问题】
31．若方程组与方程组的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键．
把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出的值．
【详解】解：把代入方程组，
得：，
①+②，得：，
则．
故选：C．
32．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出方程组，进而得出x，y的值代入另两个方程求出a，b的值即可．
【详解】解：将第一个方程组中的和第二个方程组中的联立，组成新的方程组，
解这个方程组，得．
将代入和，得，
．
解得，．
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组和同解方程组，根据题意得出两方程组的同解方程组是解题关键．
33．如果方程组与有相同的解，则 ， ．
【答案】 2 1
【分析】本题考查了同解方程组，由题意求解方程组得；再解方程组即可．
【详解】解：解方程组得：
由方程组得：
将代入得：
故答案为：①2②1
34．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解二元一次方程和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的概念．
解方程组得出，代入到得到关于的方程，解之可得答案．
【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，
∴的解和的解相同，
解方程组得：，
将代入得，
解得，
故答案为：．
35．已知关于的方程组和有相同的解．
(1)求出它们的相同解；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．
（1）求出的解，即可解答；
（2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可．
【详解】（1）由题意，得
，
，得
，
∴，
把代入②得
，
∴，
解得；
（2）将代入，得，
解得．
∴
∴．
【核心考点八 三元一次方程组的解法与应用】
36．已知方程组，则的值是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．
【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：
∴
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．
37．为丰富学生的课余生活，王老师给小明50元钱，让他购买三种体育用品：大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条14元，小绳每条5元，毽子每个2元．在把钱都用尽的条件下，小绳的买法共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】A
【分析】设大绳买了x条，小绳条数y条，毽子z个，根据大绳至多买两条，分两种情况讨论即可．
【详解】解：设大绳买了x条，小绳条数y条，毽子z个，
则有：，
根据已知，得或2，
当时，有，此时y值可取2，4，6共3种；
当时，有，此时y值可取2，4共2种；
综上分析可知，小绳卖法共有3种，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，注意分类讨论．
38．“六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需 元．
【答案】
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用；设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，根据购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元；购铅笔支，练习本本，圆珠笔支共需元建立三元一次方程组，然后将两个方程联立，即可求得的值．
【详解】解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，
根据题意得：，
②①得：③，
购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元，
故答案为：．
39．已知三元一次方程组，则 ．
【答案】18
【分析】本题考查了解三元一次方程组，解题关键是明确解法．
本题中只需将三个方程相加即可得到的值，即可求解．
【详解】解：方程组，
由得：，
解得：，
∴，
故答案为：18．
40．解方程组：
【答案】
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．
【详解】由得：④
由得：⑤
由得：
将代入④得：
将，代入①得：
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，得到由另外两个未知数组成的二元一次方程组．
【核心考点九 方案问题】
41．2023年12月18日，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震某公司在得知灾情发生后，紧急购买生活物资箱，连夜运往灾区一线．现有两种运输车辆可供租用，型车可装箱，每辆车运费为元，B型车可装箱，每辆车运费为元，该公司租用了若干车辆，且每辆车正好装满，共花费元．两种车辆各租用了多少辆？
【答案】租用了辆型车，租用了辆B型车
【详解】解：设租用了辆型车，租用了辆B型车，
由题意得：，
解得：
∴ 租用了辆型车，租用了辆B型车
42．2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震后，深圳市某集团为灾区献爱心捐赠物资，若用2辆型车和3辆型车载满一次可运走18吨物资：1辆型车和2辆型车载满一次可运走11吨物资．该集团现有捐赠物资31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，将物资一次性运往甘肃省积石山县灾区，且恰好每辆车都载满物资．
(1)1辆型车和1辆型车都载满物资一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮该集团设计租车方案．
【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨．
(2)该集团共有3种租车方案，①租用9辆型车，1辆型车；②租用5辆型车，4辆型车；③租用1辆型车，7辆型车．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方．
（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据用2辆型车和3辆型车载满一次可运走18吨物资；1辆型车和2辆型车载满一次可运走11吨物资．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据该集团现有捐赠物资31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，将物资一次性运往甘肃省积石山县灾区，且恰好每辆车都载满物资．列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，
依题意得：，
解得：，
答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨．
（2）依题意得：，
、均为非负整数，
或或，
该集团共有3种租车方案，
①租用9辆型车，1辆型车；
②租用5辆型车，4辆型车；
③租用1辆型车，7辆型车．
43．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
(1)求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
(2)学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．
【答案】(1)每副乒乓球拍的价格为30元
每盒乒乓球的价格为5元
(2)甲商场采购更合算，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式．
（1）设每副乒乓球拍的价格为元，每盒乒乓球的价格为元，根据题意列方程组求解即可．
（2）分别计算出甲、乙商场购买20副乒乓球拍和30和乒乓球的价钱，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格为元，每盒乒乓球的价格为元，
由题意得，
解得，
答：每副乒乓球拍的价格为30元，每盒乒乓球的价格为5元．
（2）甲：元，
乙：元，
，
∴在甲商场采购更合算．
44．某公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示：
(1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是，质量一共是10.5吨，求、两种型号商品各有几件？
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，该公司应如何选择运送，付费方式使运费最少，并直接写出出该方式下的运费是多少元．
【答案】(1)、两种型号商品各有5件、8件；
(2)先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用以及方案设计问题，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设、两种型号商品各有件和件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）分别计算出两种方式所需的费用，比较即可．
【详解】（1）解：设、两种型号商品各有件和件，
由题意得，，
解得，，
答：、两种型号商品各有5件、8件；
（2）解：①按车收费：（辆，
但车辆的容积为：，
所以3辆车不够，需要4辆车，
此时运费为：元；
②按吨收费：元，
③先用3辆车运送，剩余1件型产品，付费（元．
再运送1件型产品，付费（元．
共需付（元．
，
先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元．
答：先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件型产品，运费最少为2000元．
45．某学校为了增强学生体质开展“阳光大课间活动”，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和键子作为活动器材，已知购买2根跳绳和5个键子共需32元；购买4根跳绳和3个键子共需36元．
(1)求购买一根跳绳和一个键子分别需要多少元？
(2)为了更好地开展好这个活动，该班需要购买18根跳绳和22个键子，请求出该班这次活动，购买的跳绳和键子共花费多少钱？
【答案】(1)购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元
(2)该班这次活动，购买的跳绳和键子共花费196元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，利用总价单价数量，结合“购买2根跳绳和5个键子共需32元；购买4根跳绳和3个键子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价=单价数量，即可求出结论．
【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）解：
（元）．
答：该班这次活动，购买的跳绳和键子共花费196元．
【核心考点十 行程问题】
46．甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，后两人首次相遇，此时乙还需要跑才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．（列二元一次方程组解答）
【答案】乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为．
【分析】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用．设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程慢者走的路程环形周长建立方程求出其解即可．
【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，环形场地的周长为，
由题意得，
解得：，
乙的速度为：，
甲的速度为：；
答：乙的速度为，甲的速度为，环形场地的周长为．
47．一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速．
【答案】飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，逆风飞行到甲地，需要4.2小时，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据题意得：
，解得
答：飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时．
48．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？
【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；
设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据相遇问题和追击问题的等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
由题意得，
解得：，
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．
49．小明步行从家到学校，其中有一段为上坡路，另一段为平路．如果保持走上坡路的速度为，走平路的速度为，走下坡路的速度为，从家到学校需要分钟，从学校到家需要分钟，那么小明家到学校的距离是多少？
【答案】
【分析】考查由实际问题抽象出二元一次方程组，得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由时间关系列出方程组，即可求解．
【详解】解：设从家到学校的上坡路为x千米，平路为y千米，由题意得
解得，
所以．
答：小明家到学校的距离是．
50．甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇．相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，
(1)求小车和摩托车的速度．
(2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？
【答案】(1)小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时
(2)小时或小时或小时或小时
【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；
（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：1小时20分小时．
设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，
根据题意得：，
解得：．
答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为45千米时；
（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，
根据题意得：或或或，
解得：或或或．
答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解．
【核心考点十一 工程问题】
51．威宁彝族回族苗族自治县，隶属于贵州省毕节市，是中国最贫困县之一，也是脱贫攻坚精准扶贫县．威宁县土地资源丰富，加上日照强、温差大的气候特点，很适宜发展高山冷凉蔬菜种植．蔬菜成熟季，威宁县冷冻蔬菜种植作业大队紧锣密鼓的开展采摘工作．据评估，如果甲乙两个作业队合作采摘，那么天可完成，如果甲队先做天后，剩下的采摘任务由乙单独承担，还需天才能完成．问甲乙两个作业队单独完成此项采摘工作各需多少天？
【答案】甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天
【分析】根据题意，设甲的工作效率为，乙的工作效率为，由题目中的数量关系列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲的工作效率为，乙的工作效率为，
∴，解得，，
∴甲队单独完成此项采摘工作需天，乙队单独完成此项采摘工作需天．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握工程问题与二元一次方程组的综合运用是解题的关键．
52．倡导垃圾分类，共享绿色生活，为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人．已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时共分拣垃圾吨，3台A型机器人和1台B型机器人同时工作2小时共分拣垃圾吨．1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别分拣垃圾多少吨？
【答案】1台A型机器人每小时拣垃圾吨，1台B型机器人每小时拣垃圾吨
【分析】设1台A型机器人每小时拣垃圾a吨，1台B型机器人每小时拣垃圾b吨，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】设1台A型机器人每小时拣垃圾a吨，1台B型机器人每小时拣垃圾b吨，
根据题意，得，
解得，
故1台A型机器人每小时拣垃圾吨，1台B型机器人每小时拣垃圾吨．
【点睛】本题考查了方程组的应用，熟练列出方程组是解题的关键．
53．某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测30台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测40台，结果不但比原来计划提前了1天完成任务，还多检测了25台．规定时间是多少天？原计划检测多少台？
【答案】规定时间是26天，原计划检测975台
【详解】设规定时间是x天，原计划检测y台．
由题意，得
解得
故规定时间是26天，原计划检测975台．
54．某监测站计划在规定时间内检测一批仪器，如果每天检测台，那么在规定时间内只能检测计划数的．现在每天实际检测40台，结果不但比原来计划提前了一天完成任务，还多检测了台．问规定时间是多少天？原计划检测多少台？
【答案】规定时间是天，这批仪器共台．
【分析】设规定时间是x天，这批仪器共y台，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设规定时间是x天，这批仪器共y台，
由题意得：，
解得：，
答：规定时间是天，这批仪器共台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
55．某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成
(1)乙车间单独完成这批防护服需几天？
(2)若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？
【答案】(1)24
(2)125
【分析】（1）根据题意设甲乙每天生产的数量为x、y，可得y=，根据工作效率=工作量÷工作时间，可得乙车间单独完成这批防护服需24天；
（2）根据甲乙车间工作效率关系可求．
【详解】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套，
则（15-5）x+（15-2-5）y=15x，
整理得10x+8y=15x，
∴y=，
∴15x=，
答：乙车间单独完成这批防护服需24天．
（2）解：（套）
答：乙车间平均每天生产防护服125套．
【点睛】本题考查了工程问题，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解题的关键．
【核心考点十二 数字问题】
56．有一个两位数比它个位数上的数字与十位上的数字的和的5倍大2；若将它个位数字与十位上的数字互换位置，则原来的数比新数小9，求这个两位数．
【答案】这个两位数是67
【分析】设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求解即可．
【详解】解：设这个两位数十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，
解得：，
∴这个两位数是67．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确表示出两位数是解题的关键．
57．山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊
【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解．
【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，
由题意得，，
解得：，
答：山上本来有只羊，山下本来有只羊．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
58．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个两位数是？
【答案】
【分析】设个位数字为x，十位数字为y，根据等量关系：个位上的数字与十位上的数字之和为9；对调后所得新两位数比原两位数大27，列出方程组并解之即可求得两位数．
【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，
由题意得：，
解得：，
即这个两位数为，
答：这个两位数为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设未知数、找到等量关系并列出方程组是解题的关键．
59．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有、的代数式表示）
(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．
(3)求原来的两位数．
【答案】(1)10x+y，10y+x
(2)
(3)35
【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字；
（2）根据题意的等量关系即可得出方程组；
（3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数．
【详解】（1）解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；
故答案为： 10x+y，10y+x；
（2）由题意可列出二元一次方程组为：
．
故答案为：
（3）由（2）可得：
整理为：
解得：
故原两位数是35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字．
60．对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．
（1）最小的三位“美好数”是 ，最大的三位“美好数”是 ．
（2）求证：任意一个三位“美好数”都能被9整除．
（3）若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，求满足条件的三位“美好数”．
【答案】（1）189，990；（2）见解析；（3）
【分析】（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；要使“美好数”最大，则百位须为9，然后根据各个数位上的数字之和为18，即可得；
（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，将这个数表示出来，进行等量代换，然后提取公因式即可证明；
（3）由（2）及题意，列出方程组化简可得，根据a、b、c的取值范围，代入计算即可得．
【详解】解：（1）要使“美好数”最小，则百位须为1，
∴，
∴个位数与十位数和为17，
∴个位数为9，十位数为8，
∴最小“美好数”为189；
要使“美好数”最大，则百位须为9，
∴，
∴个位数与十位数和为9，
∴十位数为9，个位数为0，
∴最大“美好数”为990；
（2）设百位数为a，十位数为b，个位数为c，
则该数为：，
∵，
∴，
∴，
∴任意一个“美好数”都能被9整除；
（3）由（2）可得：，
且，
根据题意可得：，
∴，
整理可得：，
，，，
∴当时，，
∴；
当时，，
；
当时，，（舍去）
当时，均不满足条件，
∴符合条件的三位“美好数”为954或837．
【点睛】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．
【核心考点十三 年龄问题】
61．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【答案】大头儿子现在的年龄为10岁
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可．
【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：，
解得：，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
62．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【答案】5岁．
【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即由此可得：，
∴，即甲比乙大5岁．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键．
63．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得
解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
64．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
65．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反.同时，他还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，求聪聪和他妈妈现在的年龄.
【答案】聪聪现在的年龄为14岁，妈妈现在的年龄为41岁.
【分析】设聪聪的年龄为(10x+y)岁，妈妈的年龄为(10y+x)岁，根据“过10年，妈妈岁数减1(岁)刚好是自己岁数加1(岁)的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)设聪聪的年龄为(10x+y)岁，则妈妈的年龄为(10y+x)岁，
根据题意得： ，
解得： ．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于设聪聪的年龄为(10x+y)岁.
【核心考点十四 分配问题】
66．为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？
【答案】生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套
【分析】设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．两个等量关系为：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数．再列方程求解即可．
【详解】解：设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．
根据题意得
得．
．
把代入得．
．
答：该厂能生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系．
67．某经销商计划购进两种农产品，已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元．两种农产品每件的价格分别是多少元？
【答案】A，B两种农产品每件的价格分别是120元和150元．
【分析】设A，B两种农产品每件的价格分别是x元、y元，然后根据等量关系“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元”和“购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设A，B两种农产品每件的价格分别是x元，y元，
由题意，得，解得．
答：A，B两种农产品每件的价格分别是120元和150元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
68．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？
【答案】每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗
【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
【详解】解：设每辆A型车的每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，，解得，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
69．“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．
(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？
(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．
【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个
(2)有四种购买方案，见解析
【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题即可；
（2）设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得 ，再利用方程的正整数解可得答案．
【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得

解这个方程组得：，
答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．
（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，
根据题意，得 ，
化简得 ，
所以 ，
因为m，n均为非负整数，
所以 ，
所以 ，且n为非负整数，
所以当；
当，
当，
当，
所以共有四种购买方案．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关系建立方程或方程组是解本题的关键．
70．电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？
（续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．）
【答案】(1)每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车
(2)该汽车的续航里程为400千米
【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可；
（2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可．
【详解】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车
根据题意，可得，
解得： ，
答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车．
（2）设该汽车的续航里程为千米．
根据题意，可得，
解得： ，
答：该汽车的续航里程为400千米．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键．
【核心考点十五 销售利润问题】
71．某商场计划购进，两种服装共件，这两种服装的进价、售价如表所示：
(1)若商场预计进货用元，则这两种服装各购进多少件？
(2)若商场卖完这批服装，则获利多少元？
【答案】(1)购进种服装件，种服装件
(2)获利元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组；
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设购进种服装件，种服装件，
，
解得：；
答：购进种服装件，种服装件．
（2）解：根据题意可得：（元），
答：商场卖完这批服装，则获利元；
72．暑假将至，为满足消费者需求，某超市提供了冰淇淋和雪糕，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．
(1)求一支冰淇淋和一支雪糕的进价．
(2)超市购进冰淇淋和雪糕各10箱、20箱，每箱均有10个冰淇淋或雪糕，因为保温不当，实际在运输中均产生了1箱冰淇淋和雪糕不得售出，商店决定按进价的出售，但出售完3箱冰淇淋和6箱雪糕后发现冰淇淋销量不佳，决定将冰淇淋下降a元出售，最后售出获利，求a的值．
【答案】(1)一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元
(2)1
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，
（1）设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，冰淇淋的进价比雪糕的进价多2元，购进10支冰淇淋和15根雪糕的价钱相等．据此列方程组并解方程组即可；
（2）根据最后售出获利出一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设一支冰淇淋的进价为x元，一支雪糕的进价为y元，则
，
解得，
答：一支冰淇淋的进价为6元，一支雪糕的进价为4元；
（2）根据题意可得，
解得，
答：a的值为1．
73．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），并分别以200元和100元的单价出售，求专卖店共有几种采购方案, 并选出利润最大的采购方案，求出最大利润．
【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元
(2)三种购买方案；利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元．
【分析】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可；分别求出三个采购方案的利润，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；
（2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，
或或，
专卖店共有3种采购方案；
当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
，
利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具18只，购进“雪容融”毛绒玩具10只，最大利润为1100元．
74．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润．
【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元
(2)见解析
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：
（1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解，即可．
【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为，
解得，
所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元
（2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，
根据题意得：，且m，n均为正整数，
∴或或．
共有三种购买方案：
方案一：购进2辆A型号的新能源汽车，购进13辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元）
方案二：购进4辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元）
方案三：购进6辆A型号的新能源汽车，购进3辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元）
75．辅成中学欲购置规格分别为和的甲、乙两种洗手液，已知购买3瓶甲和2瓶乙洗手液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙洗手液需要110元．
(1)求甲、乙两种洗手液的单价；
(2)学校师生共1000人，平均每人每天需要使用的免洗手洗手液，若采购两种洗手液共花费2500元，则这批洗手液可供全校师生使用多少天？
(3)为节约成本，购买散装洗手液进行分装，现需要将的洗手液装进最大容量为和的两种空瓶中（每瓶需装满），若分装时平均每瓶需会损耗，请问如何分装可使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶数量．
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元
(2)这批消毒液可使用10天
(3)分装时需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使总损耗最小
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合可使用时间免洗手消毒液总体积每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各分装方案，选择最小的方案即可得出结论．
【详解】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶，
依题意，得：，
，
．
答：这批消毒液可使用10天．
（3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
和．
要使分装时总损耗最小，
，
即分装时需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．
【核心考点十六 和差倍分问题】
76．在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知1辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土20立方米，5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．
【答案】甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找到等量关系列方程．设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
【详解】解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙种车辆一次运土y立方米，
由题意得，，
解得：．
答：甲种车辆一次运土8立方米，乙种车辆一次运土12立方米．.
77．北京时间2024年4月26日5时04分，神州十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小明是一个航天爱好者，计划购进甲、乙两种飞船模型收藏，已知，1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元．
(1)求甲，乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小明计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案．
【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元
(2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
（1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可；
（2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【详解】（1）解：设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元；
（2）解：设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，
根据题意，
得，
，
，b均为正整数，
当时，；
当时，；
有2种购买方案如下：
①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；
②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型．
78．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某商家购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．
(1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？
(2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个，先按进价的120%标价销售，宵宵很快就售完，剩下的200个按照标价的八折销售完，请问商家共盈利多少元？
【答案】(1)“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元
(2)商家共盈利17120元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，有理数运算的应用：
（1）设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍，列出方程组进行求解即可；
（2）分别求出“元元”和“宵宵”的利润，再求和即可．
【详解】（1）解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元．
（2）宵宵的利润：（元）
元元的利润：（元）
（元）
答：商家共盈利17120元．
79．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有__________人；
(2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？
【答案】(1)420
(2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元
(3)共有3种租车方案
【分析】本题主要考查了列一元一次方程、二元一次方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，找到等量关系式正确列方程是解题的关键．
（1）根据“如果我们七年级租正确用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论；
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
∴参加此次活动的七年级师生共有人；
（2）解：设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元，
根据题意得：，
解得：，
答：客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元；
（3）解：设租用座客车辆，座客车辆，
根据题意得：，
∴．
又∵，均为自然数，
∴或或，
∴共有种租车方案．
80．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获西蓝花，乙菜地去年收获西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收，乙菜地增收．
(1)今年两块菜地共收获__________西蓝花；（用含，的代数式表示）
(2)若去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花．
【答案】(1)
(2)甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列代数式：
（1）分别求出甲、乙两块菜地的收获，然后求和即可得到答案；
（2）根据去年两块菜地共收获西蓝花，今年共收获西蓝花，结合（1）所求列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：，
∴今年两块菜地共收获西蓝花，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
解得，
∴，．
答：甲菜地今年收获西蓝花，乙菜地今年收获西蓝花．
【核心考点十七 几何问题】
81．将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？
【答案】小长方形的长是10，宽是
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：
整理得：
解得：，
答：小长方形的长是10，宽是．
82．如图1，长方形中放置8个形状和大小都相同的小长方形（尺寸如图1），求图中阴影部分的面积．小许设小长方形的长为，宽为，观察图形得出关于，的二元一次方程组，解出，的值，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积得到阴影部分的面积．请按照小许的思路完成上述问题．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的关系得到，求出，即可求出阴影面积．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
，
解得，
∴阴影部分的面积为 ．
83．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为，求每块小长方形墙砖的长和宽．

【答案】长为，宽为
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，由图可知，小长方形墙砖的长是宽的4倍，小长方形墙砖的长加宽为，设每块小长方形墙砖的长为，宽为，列出方程组求解即可．
【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为，宽为．
由题意得，
解得 ，
答：小长方形墙砖的长为，宽为．
84．小明手中有块周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片．
(1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？
(2)现小明想用这块长方形硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，请判断小明能否裁出，并说明理由．
【答案】(1)这块长方形的硬纸片的长为，宽为
(2)小明能够裁出符合条件的长方形纸片，见解析
【分析】本题考查了平方根的应用以及二元一次方程组的应用．
（1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据周长为的长方形硬纸片，若将该硬纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形硬纸片．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据裁出一块面积为的新长方形纸片，列出方程，根据平方根解方程，即可解决问题．
【详解】（1）设这块长方形的硬纸片的长为，宽为，根据题意得，
，解得，
答：这块长方形的硬纸片的长为，宽为；
（2）设新长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，
，
，
，
，
，，
小明能够裁出符合条件的长方形纸片．
85．综合与实践：设计制作纸盒方案
素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料．
②制作纸盒后没有剩余材料．
（1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个．
问题一：初探材料用量，请完善下表：
问题二：再探关系，请完善下表：
问题三：写出m，n之间满足的关系式： ；
（2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程．
【答案】（1）问题一：见表格；问题二：见表格；问题三： 300；（2）不能，理由见解析；
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用；
（1）问题1：根据横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形，列出代数式即可．
问题2：根据横式无盖纸盒与竖式无盖纸盒所需，和1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，列出代数式即可．
问题3：根据纸板总用量为300张，得到m，n之间满足的关系式；
（2）假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍，再根据（1）中问题3得到的二元一次方程，列出二元一次方程组，根据解的情况即可作出判断．
【详解】（1）问题一：初探材料用量，请完善下表：
问题二：再探关系，请完善下表：
问题三：；
（2）解：不能
假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍，
则可得方程组：，
解得，
为纸盒的数量，
为正整数，
∴不符合题意，
∴假设错误．
答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍．
【核心考点十八 其他问题】
86．生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强键体魄，更能愉悦身心．某校为了增强学生的身体素质，决定为体育组添置一批篮球和排球，共买了个篮球和40个排球，共花费元，并且每个排球比篮球便宜元．篮球和排球的单价分别是多少元？（用方程组的知识解答）
【答案】篮球的单价是元，排球的单价是元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列方程组解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是个篮球的费用个排球的费用元，排球的单价篮球的单价元；设篮球的单价是元，排球的单价是元，根据相等关系列方程组求解即可．
【详解】解：设篮球的单价是元，排球的单价是元，
由题意得：，
解得：，
答：篮球的单价是元，排球的单价是元．
87．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用+污水处理费）已知小王家2018年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元．
(1)求a、b的值；
(2)如果小王家9月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？
(3)小王家10月份忘记了去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月份用水超过30吨，一共交水费元，其中包含30元滞纳金，求小王家11月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】(1)
(2)小王家这个月用水39吨
(3)小王家11月份用水11吨
【分析】本题主要考查一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）根据题意，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求解；
（2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元，列出方程，即可求解；
（3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解．
【详解】（1）由题意得：
解①，得：，
将代入②，解得：，
．
（2），
设小王家这个月用水吨（），由题意得：
，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：小王家这个月用水吨．
（3）设小王家11月份用水吨，
当时，，
解得：；
当时，
解得(舍去) ．
答：小王家11月份用水11吨．
88．要将新鲜蔬菜240吨由A地运往B地．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
(1)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费16400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节省运费，该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，请你设计方案使得运费最少并求出最少运费．
【答案】(1)分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆
(2)需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车时，运费最少，为元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：
（1）设分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆，根据题意，列出方程组进行求解即可．
（2）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据它们的总辆数为16辆，以及将新鲜蔬菜240吨由A地运往B地，列出二元一次方程，求出整数解，再进行判断即可．
【详解】（1）解：设分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆，由题意，得：
，解得：，
答：分别需甲、乙两种车型分别为辆和辆；
（2）设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车，由题意，得：
，
解得：，
∵均为正整数，
∴或，
当时，，
总运费为：（元）；
当时，，
总运费为：（元）；
∵，
∴需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车时，运费最少，为元．
89．某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生．
(1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．
【答案】(1)平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生
(2)建造的这4道门符合安全规定
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，根据“同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用学生总人数每间教室最多的学生数每层教室的间数楼层数可求出这栋大楼最多拥有学生数，再利用10分钟可通过的学生数时间道门每分钟可通过的学生数即可求出10分钟可通过学生数，将二者进行比较后即可得出结论．
【详解】（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，
依题意，得：，
解得：．
答：平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生．
（2）符合安全规定，理由如下：
这栋大楼最多拥有学生数为（名，
10分钟可通过学生数为（名．
，
建造的这4道门符合安全规定．
90．根据以下信息，探索完成任务：
【答案】（1）8件，4件；（2）共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人；（3）3名
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解的应用，任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，根据题意列出方程组即可得出答案；
任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，根据题意列出方程式，再根据a、b的范围，即可得出答案；
任务三：分别求出三种方案需要的费用，比较即可得出答案．
【详解】解：任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，
，
解得：，
答：每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品，4件工艺品．
任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，
由题意得，，
即，
∵，且a、b为正整数，
∴，5，7，
∴共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人．
任务三：①（元），
②（元），
③（元），
答：为了节省成本，应该招聘新工人3名．
体积（件）
质量（吨/件）
型商品
0.8
0.5
型商品
2
1
价格类型
进价（元/件）
售价（元/件）
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒

n个竖式无盖纸盒
n

需裁成正方形的纸板数（张）
需裁成长方形的纸板数（张）
合计
300
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒

n个竖式无盖纸盒
n

需裁成正方形的纸板数（张）
需裁成长方形的纸板数（张）
合计
300
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
a
0.90
超过17吨但不超过30吨的部分
b
0.90
超过30吨的部分
6.00
0.90
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
10
16
20
汽车运费（元/辆）
800
1000
1200
选择招聘方案？
素材1
为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产．
素材2
调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品．
素材3
工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资．
问题解决
任务一
分析数量关系
（1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？
任务二
确定可行方案
（2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务．
任务三
选取最优方案
（3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？