九年级下数学试卷素养拓展之生活情景折叠问题—综合测试基础练习卷（含答案解析）

这是一份九年级下数学试卷素养拓展之生活情景折叠问题—综合测试基础练习卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知有序单项式串x，，对其进行第一次操作：将单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，得到第一个单项式串x，，；再进行第二次操作：对第一个单项式串重复原来的操作方式，得到第二个单项式串x，，，，；……依此类推，关于操作后的单项式串，下列结论正确的个数为（ ）
①第四个单项式串中，次数最高的单项式为；
②不存在某次操作，使操作后的单项式串中含有1025个单项式；
③第七个单项式串中所有单项式的乘积为．
2. 已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作；再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为……依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ）
①若，为方程的两个根，则；
②若，则；
③对于整数，，若为奇数，在操作过程中，得到的一定为偶数：
④若，要使得成立，则至少为4．
3. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，，现对进行如下操作：，即对需进行次操作后变为．类似地：对只需进行次操作后变为，则的值为( )
二、填空题
4. 已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论：
①第3次操作后得到的分式可化为．
②第4次操作后的分式可化为．
③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个．
④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且．
以上四个结论中正确的有______．（只填写序号）
三、解答题
5. 对一个值按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“判断结果是否大于”为1次操作．
(1)当输入时，要操作______次才停止．
(2)如果操作只进行1次就停止，求的取值范围．
(3)如果操作恰好进行3次才停止，求的取值范围．
6. 综合与实践
现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究．
【实践操作】
（1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值；
（2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
（3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式；
【知识运用】
（4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？
四、单选题
7. 如图，在正方形中，点为边上一动点（不与、重合），进行下列操作：
①在上取一点，以为圆心，为半径作弧交于，连接；
②分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于点，连接并延长交于点，过作于（点在线段上）；
③分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于，两点，连接，设交于点．
下列说法正确的是（ ）
8. 如图1，在中，，，．如图2，按照如下尺规作图的步骤进行操作：

①以点C为圆心，以2为半径画弧，交边于点D，连接；
②以点B为圆心，以2为半径画，交延长线于点E，交边于点F；
③以E为圆心，以长为半径画弧，交于点G；
④连接，，连接交于点H．
则下列结论中正确的是（ ）
五、填空题
9. 同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接交于点G．若，，则__________．
10. 如图，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：分别以点B，C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点O，连接；将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点Q，在矩形中，，，则线段的长为______．
11. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以为半径画弧，交于点G；分别以点G，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点M，交的延长线于点N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线交的延长线于点D，交射线于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段与的大小关系是________；
（2）过点D作交的延长线于点F，若，，则的值为________．
六、解答题
12. 综合与探究：如图，已知射线于点B，点D在射线上，，过点D作射线于点 C．
(1)【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ；
(2)【拓广探索】点P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E．
①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值；
②探究线段之间的数量关系，并说明理由．
七、单选题
13. 在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其全部自动消失
14. 甲、乙、丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个，折叠纸张使得点A与点C重合，折痕与边交于点O；乙再折出射线，点E在延长线上；丙再折叠纸张使得落在上，点B的对应点为点D，连接． 对下列两个结论判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：由操作步骤可直接得到四边形为平行四边形，判定依据是一组对边平行且相等；
结论Ⅱ：在中，若，则四边形为矩形．
八、填空题
15. 如图1，矩形纸片中，已知，先按图2操作，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图3操作：沿过点直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则_____．
16. 如图，在矩形中，，，某数学小组对其进行了如下操作：①先将矩形沿对折，使与完全重合，然后展开，②再沿折叠，使点恰好落在折痕上的点．若两条折痕交于点，则以下结论正确的是_______．（请填写序号）① ；② ；③ 连接，则四边形是菱形；④
九、解答题
17. 【问题情境】综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点A落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图1中________°．
(2)【迁移探究】
小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接，．
①如图2，当点在上时，与的数量关系是________．
②如图3，当改变点在上的位置（点不与点，重合），使点不在上时，判断①中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展应用】
在（2）的探究中，连接，已知正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？
18. 【综合与实践】综合实践课上，老师带领同学们研究“菱形背景下的旋转问题”．
问题情境：
在菱形中，，点为边上一点（与A、不重合），连接，并将射线绕点在平面内顺时针旋转，记旋转角为．
操作感知：
（1）小华取，如图1，射线与射线交于点，请你帮小华同学补全下面两个问题的答案：
①线段与的数量关系是 ；
②线段的数量关系是 ；
猜想论证：
（2）小明取，如图2，射线与射线交于点，小明在笔记本上记录了自己的思考过程：
线段与的数量关系与（1）①相同……
但线段的数量关系好像不再成立······
我发现线段、、之间好像具有与（1）②类似的数量关系
请你帮小明同学完成线段、、之间数量关系的猜想并给出证明．
拓展探究：
（3）小梦测量得到，，如图3，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在菱形的边或对角线所在的直线上时，记点到直线的距离为，请你帮小梦同学直接写出所有大于的的值．
十、填空题
19. 如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……
请按照上面的要求继续操作并探究
①_______；
②按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则_______．
20. 李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的，其中所有正确结论的序号是____________．

21. 如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，使，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到按此规律，要使得到的三角形的面积超过2024，最少经过_______次操作．
十一、解答题
22. 阅读项目报告，探索解决问题：
请你根据报告，解决以上问题．
23. 已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】
是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
24. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一
（1）如图1，调整菱形，使，在射线上取一点N，使，则______，_______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，且当时，请直接写出的长．
十二、单选题
25. 把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（ ）
26. 问题：如图1，矩形纸片中，，，要求将矩形纸片剪两刀后不重叠、无缝隙地拼接成一个正方形．甲、乙两位同学根据剪拼前后面积不变，确定了正方形的边长x的值，并分别设计了如下的方案．
甲：如图2，在上找点E，连接，使，作，交于F点，完成分割；
乙：如图3，在上找点F，连接，使，以为直径作圆，交于点E，连接即可完成分割．

下列结论正确的是（ ）
十三、填空题
27. 在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“型”；第二次操作，将这2个“型”顶点、重合，并且使得，，三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形纸片中，此时发现，小正方形的顶点、、、都落在长方形的各边上，若，则______．
28. 如图1是由正方形纸片去掉一个以中心为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）．王明通过一系列的操作将图1所示的纸片载剪，拼成了钻石型五边形．具体操作如下：首先如图3，王明沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4进行拼接．根据王明的剪拼过程，则图3中，的长为_____．
十四、解答题
29. 综合与实践：制作一个长方体礼盒．
素材：一张矩形卡纸（长为， 宽为，如图①）．
【实验操作】操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形；
操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）．
【问题解决】设剪去的小正方形边长为 ．
(1)长方体礼盒底面长为 cm，宽为 cm（用含有x的式子表示）；
(2)若礼盒的底面积为， 求x的值；
(3)是否存在x，使礼盒的侧面积最大?若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
30. 【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形．
【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形．
（1）若，拼接时应将沿平移______．
【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形．
（2）依据图中呈现的操作方法，可知与的数量关系为______，与的位置关系为______．
【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形．
（3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）
【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形沿剪开，将筝形（有两组邻边分别相等的四边形）沿剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形．
（4）若，，求的长．
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试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
第22题：
第23题：
第24题：
第25题：
第26题：
第27题：
第28题：
第29题：
第30题：
A．0
B．1
C．2
D．3
A．1
B．2
C．3
D．4
A．4
B．3
C．2
D．1
A．随着点的运动，点不能一直存在于上
B．点为的外心
C．四点不一定同时在一个圆上
D．当点为中点时，点为上靠近的三等分点
A．平分
B．
C．四边形为菱形
D．四边形为菱形
A．顺时针旋转，向下平移
B．逆时针旋转，向下平移
C．顺时针旋转，向右平移
D．逆时针旋转，向右平移
A．Ⅰ和Ⅱ都对
B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对，Ⅱ对
D．Ⅰ对，Ⅱ不对
项目名称
玩转三角尺：探索几何之美
项目主题
通过实践操作等腰直角三角尺探究几何图形的性质．
项目背景
在初中数学教学中，为了让学生深入理解几何图形的图象和性质，开展此项目式学习．通过活动操作引导学生在实际情境中发现问题，将其转化成合理的数学问题，并解决问题，激发学生对等腰直角三角形相关知识的兴趣，培养学生空间想象力和逻辑思维能力．
项目材料
等腰直角三角尺、带横格线的作业簿
操作方式
将等腰直角三角尺放置在作业簿横格上，使三角尺三个顶点恰好落在横格线上，形成相关几何图形．
问题提出
已知，，，且与交于点，若相邻的每两条横格线之间的距离都是1．
（1）求证：；
（2）请求出的长．
问题解决
……
A．
B．
C．
D．
A．甲、乙的分割都不正确
B．甲、乙的分割都正确，图2、图3中的
C．乙的分割正确，图3中
D．甲的分割正确，图2中