（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题04 解三角形大题最值型归类（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16721" 【题型一】角与对边型求周长范围最值 PAGEREF _Tc16721 \h 1
\l "_Tc11276" 【题型二】角与对边型求面积范围最值 PAGEREF _Tc11276 \h 3
\l "_Tc18403" 【题型三】角非对边型求面积范围 PAGEREF _Tc18403 \h 5
\l "_Tc22135" 【题型四】角非对边型求周长范围 PAGEREF _Tc22135 \h 6
\l "_Tc25059" 【题型五】有角无边型求角的函数范围最值 PAGEREF _Tc25059 \h 7
\l "_Tc16860" 【题型六】有角无边求边比值型 PAGEREF _Tc16860 \h 9
\l "_Tc25640" 【题型七】边系数非对称型求范围最值 PAGEREF _Tc25640 \h 10
\l "_Tc7117" 【题型八】无角求范围最值 PAGEREF _Tc7117 \h 11
\l "_Tc10673" 【题型九】中线高角平分线系型求最值 PAGEREF _Tc10673 \h 13
\l "_Tc28730" 【题型十】双三角形面积型求范围 PAGEREF _Tc28730 \h 14
\l "_Tc24562" 培优拔尖练 PAGEREF _Tc24562 \h 16
【题型一】角与对边型求周长范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求，结合的范围可求的值.
（2）由正弦定理可求，设周长为，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围，利用正弦函数的性质可求取值范围.
【详解】（1），由余弦定理可得：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
，，可得：，，
（2），，，，，
设周长为y，则，
，，，，.
周长的取值范围是.
【变式训练】
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B；
(2)若b=4，求周长的最大值.
【答案】(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答.
（2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a+c的最大值
(1)
因为，则，
在中，由正弦定理得，，而，即，
整理得，即，又，解得，
所以.
(2)
在中，由余弦定理得：，即，
而，于是得，当且仅当a=c=4时取“=”，
因此，当a=c=4时，a+c取最大值8，从而a+b+c取最大值12，
所以周长的最大值为12.
【题型二】角与对边型求面积范围最值
【典例分析】
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足
(1)设，，过B作BD垂直AC于点D，点E为线段BD的中点，求的值；
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正弦定理求出，进而由余弦定理求出，利用三角形面积公式得，利用平面向量基本定理及数量积运算法则得到答案；
（2）由正弦定理得到，利用锐角三角形，求得，进而求出，由面积公式求得.
(1)，由正弦定理得：，
所以，因为，所以，
所以，即，因为，所以，
因为，，由余弦定理得：，因为，所以，
其中，所以，
因为点E为线段BD的中点，所以，由题意得：，
所以.
(2)由（1）知：，又，由正弦定理得：，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得：，
则，，，故，面积为故面积的取值范围是.

【变式训练】
的内角，，的对边分别是，，，设．
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合正、余弦定理对进行化简，再由余弦定理，即可得解；
（2）由余弦定理得出，再结合三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，推出关于的函数，从而得解．
(1)解： ，结合正、余弦定理，可得，
化简得，，代入，得，
由余弦定理知，，，．
(2)解：由（1）知，，
由余弦定理知，，
的面积
，
当时，取得最大值，即．

【题型三】角非对边型求面积范围
【典例分析】
在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.
广东省深圳市宝安中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角的值；
（2）由于，，利用正弦定理，可得，以及的面积，利用为锐角三角形，可得面积的取值范围．
【详解】
（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.
由余弦定理，得，因为，所以.
（2）因为，，由正弦定理，得
.
所以.
因为为锐角三角形，则，从而，所以.
【变式训练】
.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若且是锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先根据正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理求解出角；
（2）先根据三角形面积公式表示出面积，然后根据正弦定理结合正切函数的性质求解出的取值范围，由此可求三角形面积的取值范围.
【详解】
（1）由及正弦定理，得，即，
再由余弦定理可得，因为，所以．
（2）．由正弦定理可知，又，
所以，因为是锐角三角形，故，，
所以，所以，从而，故，
【题型四】角非对边型求周长范围
【典例分析】
在锐角三角形中，、、分别是角、、的对边，，且.
（Ⅰ）若，求与；
（Ⅱ）求的周长的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先利用化简已知式求得，再利用余弦定理得到，即解得与；
（Ⅱ）先利用，结合正弦定理进行边化角求得，再利用正弦定理得到，整理周长为关于角A的函数关系式，利用角的范围求得周长取值范围即可.
解：（Ⅰ）因为，，所以，
故，即，又C是锐角，，，故，即，
由余弦定理可知，，即，故，
由解得，故；
（Ⅱ）因为，，
所以由正弦定理可知，，
因为，所以，而，故，即，故，又B是锐角，，，故，即，，
由正弦定理可知，，即，
故，周长为，由锐角三角形知得，故，故，所以，即周长的取值范围为.
【变式训练】
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理化边为角，再由三角恒等变换可求得角；
（2）由锐角三角形求得的范围，再利用正弦定理求得，并化为的函数，结合三角函数知识可得其取值范围．
解：（1）因为，
由正弦定理得，，
因为，
所以，因为，所以，由为三角形内角得，；
（2）由为锐角三角形，得，解得，
所以，，由正弦定理得，，
所以．故的范围．
【题型五】有角无边型求角的函数范围最值
【典例分析】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）【解析】
试题分析：（1），所以整理得到条件：，即，根据余弦定理，又因为是锐角三角形，所以，本问主要是将题中已知条件进行转化，得到，从而利用余弦定理可以求出B角的大小。（2）由（1）知，所以，，所以转化为，根据两角差公式展开，再根据辅助角公式合并，从而得到关于A角的表达式，再结合锐角三角形的条件，讨论求出A角的范围，从而可以求出的取值范围。
试题解析：由条件可得，，即
根据余弦定理得： 是锐角，.
（2），即
又是锐角三角形，，即,
.
【变式训练】
．的三个角所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，求函数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
试题分析：
(I)由题意结合正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质可得，故 ；
(II)将三角函数式化简为 ，结合三角函数的性质和三角形 为锐角三角形可得函数的取值范围是.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理，得
因为，所以， 所以
所以，故
（Ⅱ）因为，，所以
所以

又为锐角三角形，，所以
所以
【题型六】有角无边求边比值型
【典例分析】
三角形中，已知，其中，角所对的边分别为.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由正弦定理将角化为边，继而由余弦定理求得，得角；（Ⅱ）由正弦定理将边化为角，由，得，化简，结合，得，.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：
由余弦定理得：，.
(Ⅱ)由正弦定理得：又，，
，而，，
，.
【变式训练】
在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得，进而得到角；
（2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将整理为，根据角的范围可求得的范围，进而得到的取值范围.
（1）由正弦定理得：



（2）由正弦定理得：
为锐角三角形且
，即
【题型七】边系数非对称型求范围最值
【典例分析】
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案；
（Ⅱ）由正弦定理可得，然后由三角函数的知识可得答案.
【详解】
（Ⅰ）由已知，结合正弦定理，得．
再由余弦定理，得，又，则．
（Ⅱ）由正弦定理可得．
因为为锐角三角形，则，有，则．
所以的取值范围为．
【变式训练】
在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若且，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，再结合余弦定理计算可得；
（2）利用正弦定理可得，，则，再利用三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）∵，
由正弦定理，，即．
由余弦定理，，
又∵，∴．
（2）因为且，由正弦定理得，∴，，
∵，∴．∵，∴．∴．
∴．
∵．∴．∴．
【题型八】无角求范围最值
【典例分析】
记内角的对边分别是，已知.
(1)求证：；(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）首先化简条件中的正切等式，再将正切写成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化为边，即可证明；
（2）首先设，利用三角不等式的恒等式，化简后可得的取值范围，再计算的取值范围.
（1）
由得：即
两边同时除以得：
即所以
因此得证；
（2）
设①，代入可得②，
由三角不等式得：，即③，
将①②代入③得，
整理得且解得，
因为，显然在上单调递增，所以
【变式训练】
设的内角的对边分别为，为钝角，且．
(1)探究与的关系并证明你的结论；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）由题意及正弦定理得到，即，结合诱导公式，即可求解；
（2）由（1）得，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解.
（1）解：因为，由正弦定理得，所以，即，
又因为，所以，于是，所以.
（2）解：由（1）知，，所以，所以，
所以，
令，则且，
所以，当时，取得最大值，最大值为，
当或时，函数值为，所以的取值范围是．
【题型九】中线高角平分线系型求最值
【典例分析】
记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求的大小；
(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根据面积得，整理分析．
（1）由正弦定理得，得，因为，所以，即.
（2）因为，所以.由余弦定理得，得（当且仅当时，等号成立），即.因为，所以.因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，即.故的最小值为.
【变式训练】
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)若M为的中点，，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；
解法二：利用余弦定理将用边表示再化简即可；
（2）解法一：根据基底向量的方法得，两边平方化简后可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；
解法二：设，再分别在，和中用余弦定理，结合可得，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可
(1)解法一：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，为，所以．
解法二：因为，由余弦定理得：，整理得，
即，又由余弦定理得所以，
因为，所以．
(2)解法一：因为M为的中点，所以，
所以，即，
即，而，
所以即，当且仅当时等号成立
所以的面积为．即的面积的最大值为．
解法二：设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式得．③
在中，由余弦定理得，
而，所以，④
联立③④得：，即，而，
所以，即，当且仅当时等号成立．
所以的面积为．即的面积的最大值为．
【题型十】双三角形面积型求范围
【典例分析】
）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的周长；
(2)延长至点D，连接，满足，且为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理得到角A,从而得到边c,由余弦定理得到边b，从而得到周长；
（2）由正弦定理得到，，然后利用辅助角公式以及正弦函数的性质可得到范围.
（1）在中，，由正弦定理
得，可得，由，得
由得，
由正弦定理，，所以，由余弦定理
（舍去）∴的周长.
（2）
由正弦定理
则，
∴
∵为锐角三角形
解得∴
即的取值范围为
【变式训练】
在锐角中，角所对的边分别为.
(1)求的值；
(2)点分别在边上，的面积是面积的2倍.求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，进而结合正弦定理得，，再结合求解即可；
（2）结合（1）得，进而根据面积关系得，最后结合基本不等式与余弦定理得，进而得答案.
(1)
解：是锐角三角形，.
在中，，由正弦定理得，
.，
(2)
解：由（1）知，.
由题意得.
由余弦定理得，，
当且仅当时“”成立.
所以的最小值为.
分阶培优练
培优拔尖练
1．在中，分别为内角的对边，且.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，利用三角形的特征化简可证得；
（2）由已知条件和诱导公式辅助角公式，可化简为，由角的取值范围得所求算式的取值范围.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
有，即，
由，得，即.
（2）由，有，
∴，得， .
，
由，有，则有，可得.
所以的取值范围为.
2．在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)(2)选①，的最大值是8；选②，的最大值是
【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出，结合求出；
（2）选①，由余弦定理，结合基本不等式求出；选②，得到，两边平方后得到，由基本不等式求出最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，则．
因为，所以．
（2）选①,由余弦定理可得，即，
则．
因为，所以．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是8．
选②,因为D是边的中点，所以，
所以，
因为，且，所以，即．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是．
3．在三角形ABC中，若.
(1)求角A的大小；
(2)如图所示，若，，求长度的最大值.
【答案】(1)(2)6
【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理、基本不等式和辅助角公式即可求解；
(2)结合（1）可知：三角形ABC是正三角形， 设，，利用余弦定理、正弦定理和两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，
再由余弦定理可得：，
即：，整理可得：，
可知左边，当且仅当时等号成立，右边，
当且仅当时等号成立，所以左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以.
（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.
设，，那么由余弦定理可得：
，即：，所以.
在三角形BDC中，由正弦定理可得：，整理得：，
因为，所以为锐角，那么，
则，
在中，由余弦定理可得：，
即，
当且仅当时取得等号，
所以最大值为6.
4．a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知．
(1)若，证明：△ABC为等腰三角形；
(2)若，求b的最小值．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【分析】（1）已知条件由余弦定理角化边，化简可得，从而可证△ABC为等腰三角形；
（2）已知条件由正、余弦定理角化边，可得，从而得到，进而可求得b的最小值．
【详解】（1）因为，，所以由余弦定理可得，即，
整理得，即，所以△ABC为等腰三角形．
（2）因为，
所以由正弦定理可得，
所以由余弦定理可得，
又，所以，
所以，
当时，取最小值，且最小值为．
5．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1) 法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；
法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；
(2) 方法一：设，则，利用正弦定理得出，，
然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，
∴，
∴，∵，
∴，又∵，∴，
法二:∵，
由余弦定理得，
∴，∴，
∵，∴.
（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，
法一:设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为.
法二:在△ADC中，，，
由余弦定理得，
∴，∴，
当且仅当时，的最大值为.
6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求证：.
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；
(2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解.
【详解】（1）在中，
由及正弦定理得：
又∵，
∴
即
，
∵，∴.
∵，∴，
（2）得：得，
∴，∴，
由题意，及正弦定理得：
∵，∴，即
故的取值范围为
方法二：由正弦定理得：
∵，∴，
由（1）得：，故
由（1）得：得，
∴，∴，
∴，即，
故的取值范围为
7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，的面积为，求b，c的值；
(2)若，且为钝角三角形，求k的取值范围．
【答案】(1)，或，(2)或
【分析】（1）由已知和正弦定理得，再利用平方关系可得，利用余弦定理可得，由的面积为得，解方程得到答案；
（2）当，，由余弦定理得，分B为钝角、C为钝角讨论可得答案．
【详解】（1）中，，由正弦定理得
，
∴，由得；
，∴①；
又的面积为，∴②；
由①②组成方程组，解得，或，；
（2）当，，
∴；
当B为钝角时，，即，解得；
当C为钝角时，，即，解得；
所以为钝角三角形，k的取值范围是或．
8．已知的面积为，角所对的边为．点为的内心，且．
(1)求的大小；
(2)求的周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解．
【详解】（1）因为，
所以，即，可得，
因为，所以．
（2）设周长为，，如图所示，
由（1）知，所以，可得，
因为点为的内心，，分别是，的平分线，且，
所以，
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，可得，
可得周长．
9．已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由三角恒等变换化简即可求解；
（2）根据，转化为关于B的正弦型函数，利用正弦函数值域求解即可.
【详解】（1）由题意可得．由正弦定理得，
又，，则．
因为，所以．又，所以．
（2）．
因为锐角三角形，所以，且，
所以．
所以，即的取值范围是．
10．在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，为外一点（、在直线两侧），，，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由余弦定理得到，再由为等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，故，
∴，即，
又∵，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
又，由（1）可知，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵．
∴，
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为．
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，csin =sin C，且a=1．
(1)求A；
(2)若AB=AC，D，E两点分别在边BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．
【答案】(1)(2)2-3
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；
（2）根据AB=AC，A=，得到△ABC为等边三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为csin =sin C，且a=1，所以csin =asin C，
所以sin Csin =sin Asin C.
因为C∈(0,π)，sin C≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin A，即cs =sin A，
所以cs =2sin cs .
因为∈(0,)，所以cs≠0，所以sin=，所以=，即A=.
（2）
因为AB=AC，A=，所以△ABC为等边三角形，即AC=BC=AB=1.
如图，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，
由余弦定理得cs B=，
所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，
所以CD=2-BE+，
因为0≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，
当且仅当2-BE=，即BE=2-时，等号成立，
所以CD的最小值为2-3.
12．记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为R，已知．
(1)若，求A的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知等式由正弦定理边化角解得，又，可求A的值；
（2）锐角且，可求角B的范围，利用正弦定理边化角得，可求取值范围．
【详解】（1）根据正弦定理，有，
由，有，得，
因为，所以，
所以，由，解得．
（2）因为，所以，
因为，即，所以，
则
，
，有，所以，
所以的取值范围为.
13．在中，的对边分别为.
(1)若，求的值；
(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；
（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
， 即，
.
（2）由（1）知，由，则.
设，，
，，
.
14．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若于，求的面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面积公式可以求得，再根据基本不等式即可求得边长的取值范围，即可得面积最小值.
【详解】（1）由可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）如下图所示：
三角形面积，
又，所以，
由（1）中可得，当且仅当时，等号成立；
即，得.
所以面积，
故的面积的最小值为
15．已知的内角所对的边分别为，若向量，相互垂直.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由向量，相互垂直，所以，化简可得，进而求解；
（2）根据正弦定理可得，结合及三角函数性质即可求解.
【详解】（1）由题意，与相互垂直
由正弦定理得：，
即，
即，
，
，即，
即，所以，
又为三角形内角，
.
（2），，
由正弦定理得：.
，
，
，
，
，
周长的取值范围是.【提分秘籍】
基本规律
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
【提分秘籍】
基本规律
最值范围型，多从两个方面考虑：
余弦定理+均值不等式型
正弦定理消边化角→消角，确定角的范围→→辅助角型求范围最值