（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题02 向量三大定理及三角形四心（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7213" 【题型一】奔驰定理 PAGEREF _Tc7213 \h 1
\l "_Tc18322" 【题型二】奔驰定理综合应用 PAGEREF _Tc18322 \h 4
\l "_Tc20128" 【题型三】极化恒等式 PAGEREF _Tc20128 \h 6
\l "_Tc7539" 【题型四】等和线 PAGEREF _Tc7539 \h 8
\l "_Tc17911" 【题型五】 四心之重心 PAGEREF _Tc17911 \h 11
\l "_Tc2722" 【题型六】四心之外心 PAGEREF _Tc2722 \h 12
\l "_Tc19051" 【题型七】四心之内心 PAGEREF _Tc19051 \h 14
\l "_Tc18532" 【题型八】四心之垂心 PAGEREF _Tc18532 \h 16
\l "_Tc8817" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc8817 \h 19
\l "_Tc13453" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc13453 \h 23
\l "_Tc2271" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc2271 \h 28
【题型一】奔驰定理
【典例分析】
已知为内一点，且，则与面积比为（ ）
A．B．C．D．

【变式训练】
1.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则
A．B．C．D．
3.已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【题型二】奔驰定理综合应用
【典例分析】
如图，设为内的两点，且，＝＋，则的面积与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知点为内一点，，则的面积之比为______．
3.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.
【题型三】极化恒等式
【典例分析】
如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ．
【变式训练】
1.在△中，已知，，则的最大值为 .
2.如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为 .
3.如图放置的边长为1的正方形，顶点分别在轴，轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为______________.
【题型四】等和线
【典例分析】
如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
2.如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合与点O且三组对边分别平行.点A,B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若OP=xOA +yOB，则x+y的取值范围是（ ）
图1 六芒星 图2
A．[-4,4]B．[−21,21]C．[-5,5]D．[-6,6]
3.中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．8
【题型五】 四心之重心
【典例分析】
如图，点为的重心，且，，则的值为 ．
【变式训练】
1.已知是平面上不共线三点，是的重心，动点满足，则一定为的（ ）
A．边中线的三等分点（非重心） B．边的中点
C．边中线的中点 D．重心
2.已知点G是△ABC的重心，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型六】四心之外心
【典例分析】
已知的外接圆半径为1，圆心为点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.若点是的外心，且，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
2.在中，，若为内一点，且满足，则的值是 ．
3.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【题型七】四心之内心
【典例分析】
在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【变式训练】
1.已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2.在△中，，，，O为△的内心，若，则（ ）
A．B．C．D．
3.在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【题型八】四心之垂心
【典例分析】
奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.若为所在平面内一点，且则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
2.已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
3.已知H为的垂心，若，则（ ）
A．B．
C．D．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知在中，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知面积为6的直角中，为斜边上的两个三等分点，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．
5．在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）.
A．内心B．外心C．重心D．垂心
6．已知是的重心，若，，则的最小值是（ ）
A．4B．2C．D．
7．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足·，则点P一定是△ABC的
A．内心B．外心C．重心D．垂心
8．已知的垂心为M，则“M不在的外部"是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
培优第二阶——能力提升练
1．过的重心任作一直线分别交、于点、，若，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知的重心为，边的中点分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．若为正三角形，则
C．若，则
D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，，若∥，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
5．设为的外心，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．过所在平面外一点，作，垂足为，以下推断正确的是（ ）
A．若，，则点是的垂心
B．过点分别作边的垂线，垂足分别为，若，则点是的重心
C．若，，则点是的内心
D．若，则点是的外心
7．在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
8．正六边形ABCDEF的边长为a，有五个力，，，，作用于同一点A，则这五个力的合力的大小为______.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知在中，是边上中点，，则的取值范围是___________.
2．已知点，其中，则的取值范围为___________.
3．已知等边三角形ABC的边长为2，边AB的中点为D，边BC上有两动点E，F，若，则的取值范围是______．
4．如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得8，若为常数，则的长度为__________.
5．设H是的垂心，且，则______.
6．设为的重心，若，则___________．
7．设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．
8．设锐角的外心为O，且，，则__________．