（人教A版）高一数学下册期末考点归纳复习训练专题07 几何体侧面展开与最短距离（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc12793"
\l "_Tc28308" 【题型一】棱柱侧面展开 PAGEREF _Tc28308 \h 1
\l "_Tc18402" 【题型二】 棱锥展开 PAGEREF _Tc18402 \h 4
\l "_Tc12426" 【题型三】棱台展开 PAGEREF _Tc12426 \h 7
\l "_Tc29454" 【题型四】圆柱侧面展开 PAGEREF _Tc29454 \h 9
\l "_Tc26488" 【题型五】圆锥侧面展开 PAGEREF _Tc26488 \h 11
\l "_Tc517" 【题型六】圆台侧面展开 PAGEREF _Tc517 \h 13
\l "_Tc2033" 【题型七】最短距离1：圆柱侧面型 PAGEREF _Tc2033 \h 15
\l "_Tc32427" 【题型八】最短距离2：圆锥侧面型 PAGEREF _Tc32427 \h 17
\l "_Tc9584" 【题型九】最短距离3：圆台侧面型 PAGEREF _Tc9584 \h 20
\l "_Tc25329" 【题型十】最短距离4：棱锥型 PAGEREF _Tc25329 \h 23
\l "_Tc23787" 【题型十一】最短距离5：棱柱型 PAGEREF _Tc23787 \h 26
\l "_Tc16314" 【题型十二】 最短距离6：内部按面展开型（难点） PAGEREF _Tc16314 \h 28
\l "_Tc11403" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc11403 \h 32
\l "_Tc20491" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc20491 \h 35
\l "_Tc27297" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc27297 \h 41
\l "_Tc722"
【题型一】棱柱侧面展开
【典例分析】
已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个．
【变式训练】
1.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）
2.如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）
A．B．
C．D．
3.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）
A．A与BB．D与EC．B与DD．C与F
【题型二】 棱锥展开
【典例分析】
已知正三棱锥纸模，的边长为，侧棱长为，沿，，将三棱锥剪开得到一个多边形，若小花想用一张圆形纸裁剪一个相同的多边形，并折叠成正三棱锥形礼盒，则圆形纸的半径至少为（ ）
A．3B．4C．5D．6

【变式训练】
1.下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
2.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形是某几何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是
A．平面
B．平面平面
C．平面平面
D．
3.现有边长为3，4，5的两个三角形纸板和边长为4，5，的两个三角形纸板，如图，用这四个纸板围成一个四面体，则这个四面体的体积是______.

【题型三】棱台展开
【典例分析】
下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱台的为（ ）
A．B． C．D．
【变式训练】
1.一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字和“你”字相对的分别是（ ）
A．前，程B．你，前C．似，棉D．程，锦
2.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称．
3.如图是三个空间图形的平面展开图，请问各是什么空间图形？
【题型四】圆柱侧面展开
【典例分析】
如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（ ）（保温带厚度忽略不计）
A．B．C．D．
2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
3.用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径.
【题型五】圆锥侧面展开
【典例分析】
若一个圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长与其底面圆的直径应满足的等量关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（ ）
A．4B．C．D．2
2.如图：现有一个30%圆周且半径为40cm的扇形纸片，小明同学为了表演节目，他将扇形纸片先剪去部分然后用余下的部分制成一个底面半径为10cm的图锥形纸帽（衔接处不重叠），则剪去部分扇形纸片的圆心角为（ ）
A．30°B．45°C．18°D．63°
3.．一个圆锥的母线与其轴所成的角为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】圆台侧面展开
【典例分析】
圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的表面积为________.（结果中保留）
【变式训练】
1.若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.
2.已知圆台的上底半径为cm，下底半径为cm，圆台的高为cm，则侧面展开图所在扇形的圆心角__．
3.圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的母线长是___________.
【题型七】最短距离1：圆柱侧面型
【典例分析】
如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A．B．C．3D．2
【变式训练】
1.如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
2.“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm），则三视图中，两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（，）
A．8.4B．9.8C．10.4D．11.2
3.如图，是圆柱的直径，是圆柱的母线，，，点是圆柱底面圆周上的点.，是线段上靠近点的三等分点，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】最短距离2：圆锥侧面型
【典例分析】
如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60kmB．kmC．72kmD．km
2.．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为
A．B．C．D．
3.“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．
【题型九】最短距离3：圆台侧面型
【典例分析】
已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为为圆台的一条母线（点在圆台的上底面圆周上），为的中点，一只蚂蚁从点出发，绕圆台侧面一周爬行到点，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30B．40C．50D．60
【变式训练】
1.圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，母线长为，三视图如图所示．圆台表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆台表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆台的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．1C．D．
2.若圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线AB（点A在下底面圆周上，点B在上底面圆周上）长为20cm，从AB中点拉一根绳子绕圆台侧面转到A，则绳子最短的长度___________．
3.如图所示，圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6.求轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离.
【题型十】最短距离4：棱锥型
【典例分析】
在正四棱锥中，，为的中点，为的中点，则从点沿着四棱锥的表面到点的最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（ ）
A．B．C．D．
2.正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．12D．
4.如图，底面为正方形的四棱锥中，四条侧棱相等，且，，分别为棱和上的两点，，，处有只蚂蚁欲沿该正四棱锥的侧面爬行到处，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．D．9
【题型十一】最短距离5：棱柱型
【典例分析】
棱长为2的正方体中，E为的中点，点P，Q分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25B．24C．31D．28
2.在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知直三棱柱中，，，为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【题型十二】 最短距离6：内部按面展开型（难点）
【典例分析】
已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.如图，棱长为1的正方体中，为的中点，为对角线上的动点，为棱上的动点，则的最小值为______.
2.已知在一个表面积为24的正方体中，点在上运动，则当取得最小值时，（ ）
A．2B．C．D．
3.已知，如图正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为2，D为AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则最小值是（ ）
A．B．C．D．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（ ）
A．平行B．相交C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
3．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．B．C．6D．
4．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ）
A．B．C．D．
5．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.
6．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______．
7．如图C是圆台母线AB的中点，BD是底面的直径，上底面半径为1，下底面半径为2，AB=2，点M是弧BD的中点，则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______.
8．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为_______．
培优第二阶——能力提升练
1．在直三棱柱中，，点P在线段上，则的（ ）
A．最小值为B．最小值为
C．最大值为D．最大值为
2．如图，在多面体中，四边形，，均是边长为1的正方形，点在棱上，则（ ）
A．该几何体的体积为B．点在平面内的射影为的垂心
C．的最小值为D．存在点，使得
3．已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
4．在棱长为1的正方体中，点为线段（包括端点）上一动点，则（ ）
A．异面直线与所成的角为
B．三棱锥的体积为定值
C．不存在点，使得平面
D．的最小值为
5．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是_______.
6．如图正三棱锥中，，，过点A的平面截棱于E，截棱于F．则的周长的最小值为___________．
7．如图，AB是圆柱的直径且，PA是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点. 若，D是PB的中点，点E是线段PA上一动点，则的最小值为______.
8．圆锥的底面圆直径为2，母线长为6，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_____．
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为______.
2．圆锥的底面半径为，母线长是底面半径4倍，在底面圆周上有一点，则一个动点自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为________.
3．如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)
4．如图，在正四棱锥中，.从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为___________.
5．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且，为棱上的动点，若的最小值为，则__________．
6．如图，在棱长为1的正四面体中，平面与棱分别交于点，则四边形周长的最小值为___．
7．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.
8．已知在棱长为4的正方体中，点为的中点，点为及其内部上一动点，且，求点的轨迹长度为_______．