北师大版（2024）八年级上册数学第7章《证明》评估测试卷（含答案解析）

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北师大版（2024）八年级上册数学第7章《证明》评估测试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 2．下列命题：①无理数都是实数；②无理数是开方开不尽的数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数：⑤实数包括有理数、0和无理数，其中错误的命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同旁内角互补 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 4．下列真命题中，不是公理的是（   ） A．同角的余角相等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．三边分别相等的两个三角形全等 5．要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．要判断命题“若，则”是假命题，可以举一个反例．下列反例中符合要求的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，已知直线，点C，E是线段上的点，且满足，，，，，，则为（   ） A．44 B．46 C．48 D．51 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．命题“如果，则，”，很显然是假命题，请您举一个反例： ． 10．请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 11．请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么 ． 12．对于命题“如果，则”，能说明它是假命题的例子是 ．（写出一个x的值即可） 13．如图，，为的中点，若，，则 ． 三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。 14．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 15．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)同位角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 16．推理，填空．如图： (1)若，则________________；（内错角相等，两直线平行） (2)若时，则；（两直线平行，同旁内角互补） (3)若时，则．理由：____________________ 17．如图，在同一平面内，如果两条直线b，c都垂直于同一条直线a，那么直线b，c互相平行吗？为什么？ 18．已知：如图，直线，和是直线被直线截出的同旁内角．求证：． 19．已知：如图，，．求证：． 20．（新情境试题·生活应用型）某地在建造公路时，为了避开村庄，两次拐弯，但要保证和原来的方向相同．已知，求的大小． 21．已知：如图，点B、E分别在上，分别交于点M、N，，． 将下列证明过程补充完整： 求证：．   证明：因为（已知）． 又因为（ ）， 所以 （等量代换）． 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换） 22．如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图，在中，，D是的中点，，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)下面是一个命题，请判断其是真命题还是假命题．若是真命题，请给出证明；若是假命题，请举出反例，可图示并做好必要标识． 在中，，D是的中点，点E，F分别在上．若，则． 24．如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 25．如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． (1)直线与有平行吗？请说明理由； (2)求的度数； (3)若，求此时的度数． 26．（新情境试题·综合与实践） 【综合与实践】 筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动． (1)图1为“五指凌乱式”抓法及示意图，，交于点，，垂足为点，若．则______； (2)图2为“传统式”抓法及其示意图，，为上一点，射线交于点，射线交于点．若，请判定直线与之间的位置关系，并说明理由； (3)图3为“丁字形”抓法及示意图，，射线交于点，交于点，交于点，射线交于点．若，垂足为点，，，求的度数． 答案解析部分 1．B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了实数．熟练掌握实数的定义，是解题的关键． 根据实数、无理数的定义，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①∵实数包括无理数和有理数， ∴无理数都是实数， ∴①正确； ②∵π也是无理数， ∴②不正确； ③∵是有理数， ∴③不正确； ④∵是有理数， ∴④不正确； ⑤实数仅分为 “有理数” 和 “无理数” 两类， 0 已包含在有理数中，不应重复列举， ∴⑤不正确； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行公理以及垂线段的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．依次对每个选项依据相关数学知识进行判断，确定真命题． 【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，并非互相垂直，故A是假命题； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这里没强调“直线外”一点，故B是假命题； 两直线平行，同旁内角才互补，故C是假命题； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的性质，故D是真命题． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了公理的定义，公理是逻辑或数学系统中的基本假设，是不证自明的命题，作为推理的起点．根据公理的定义以及平行线的判定，全等三角形的判定等知识内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. 同角的余角相等不是公理，符合题意； B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； C. 同位角相等，两直线平行是公理，不符合题意； D. 三边分别相等的两个三角形全等是公理，不符合题意； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、若，满足，故本选项不符合题意； B、若，满足，故本选项不符合题意； C、若，满足，故本选项不符合题意； D、若，满足，而不成立，故本选项符合题意； 故选：D 6．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 根据“同旁内角互补两直线平行”得，再根据“两直线平行内错角相等”可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 不能确定之间的关系. 故选：D. 7．D 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解答． 【详解】解：A、若，满足，此选项不符合题意； B、若，满足，此选项不符合题意； C、若，满足，此选项不符合题意； D、若，满足，但，故命题“若，则”是假命题，此选项符合题意； 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，从而得出，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．，（答案不唯一） 【分析】此题考查了举反例．找到符合命题题设，但不符合结论的例子即可． 【详解】解：如，，满足，但，． 故答案为：，（答案不唯一） 10．如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 11．0（答案不唯一） 【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，，此时； ∴“”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题真假的判定，解题的关键是判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．找到一个满足题设但不满足结论的x的值即可． 【详解】解：当时，， 但， ∴当时，对于命题“如果，则”不成立． 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据为的中点，得到，然后根据“”证得，得出，即可求得的长． 【详解】， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 14．乙的说法正确 【分析】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可． 【详解】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断． “内错角相等”满足上述两个条件，是假命题． 因此乙的说法正确． 15．(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． (2)在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键，确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法即可求解． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行； 题设：同位角相等，结论：两直线平行， ∴改写为：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． （2）解：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． 题设：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形，结论：这两个三角形全等， ∴改写为：在两个三角形中，如果有两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等． 16．(1) (2) (3)两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）由利用“内错角相等，两直线平行”，即可得出； （2）由利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可得出； （3）由利用“两直线平行，同位角相等”，即可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：； （3）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：两直线平行，同位角相等． 17．平行，理由见解析 【分析】本题考查在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系，需要利用垂直的定义和平行线的判定定理来判断． 【详解】解：平行 ． ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，利用垂直的定义得出同位角相等，进而根据平行线的判定定理判断直线平行是解题的关键． 18．证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平角，求解的关键是依据两直线平行，同位角相等得到，，然后，利用平角的定义得到，最后，通过等量代换得到，即可得证． 【详解】证明：， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， （等量代换）． 19．见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 20． 【分析】本题考查了平行线性质，“两直线平行，内错角相等”，由于与互为内错角，因此，即可得出结果． 【详解】解：依据题意可知，公路两次拐弯，要保证和原来方向相同， 如下图所示可知，与互为内错角， 由平行线性质可知，“两直线平行，内错角相等”． ． 21．对顶角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． 【详解】解：因为（已知） 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）， 故答案为：对顶角相等；；；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；． 22．(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． （1）由平行线的性质得到，，根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质得到，即可求出． 【详解】（1）证明： ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ． 23．(1)证明见解析 (2)是假命题，反例见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及判断命题的真假， （1）先证明，再证明即可得出结论； （2）先说明命题是假命题，根据题意画出符合命题条件但不符合命题结论的图形即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是假命题，反例是： 如图， 当点E、F在图上的点处时， 虽然有，但不能得到，故此命题是假命题． 24．(1) (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； （1）延长至点，使，连接，证明，可得，再根据三角形三边关系即可解答． （2）根据可得，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接， 因为是边的中线， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 25．(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得，等量代换得到，解答即可； （2）根据题意，得，得，利用平分线的定义解答即可； （3）设，根据平行线的性质，三角形外角性质解答即可． 此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线定义．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． （3）设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 故． 26．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得到，结合，计算出．利用对等角相等，得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补，结合，证明即可； （3）设，根据平行线的性质，三角形内角和定理，构造方程组，解答即可． 本题考查了平行线的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理的应用，方程组的应用，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 故答案为：70； （2）证明：．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴．