高中数学人教A版 (2019)必修 第二册立体图形的直观图学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册立体图形的直观图学案，共6页。
如图是交警在指挥交通时出现的一个手势,该手势从两个不同的方向同时拍摄,形成了交警两种不同的照片．
1．若交警在做这个手势时,你恰好站在交警的正前方,则图中的第一张照片就是你看交警的 正（主）视图 ,第二张图片就是你看交警的 侧（左）视图 ；
2．若此时另外一个人看交警做这个手势,他所观察到的正（主）视图是第二张照片,那么这个人相对交警来说站在交警的 右边 方向,如果我们俯视交警的这个手势,所观察的图象就是 俯视图 ,
（一）、三视图的定义：
1．正（主）视图:光线从几何体的 前面 向 后面 正投影,得到的投影图；
2．侧（左）视图:光线从几何体的 左面 向 右面 正投影,得到的投影图；
3．俯视图:光线从几何体的 上面 向 下面 正投影,得到的投影图．
（二）、投影的定义：
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 影子 ,这种现象叫作投影,其中,我们把光线叫作 投影线 ,把留下物体影子的屏幕叫作 投影面 ．
（三）、常见的投影有中心投影、平行投影两类：
1．中心投影:光由 一点 向外散射形成的投影,叫作中心投影．中心投影的投影线交于 一点 ．
2．平行投影:在一束 平行 光线照射下形成的投影,叫作平行投影．平行投影的 投影线 是平行的． 3．在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫作 正投影 ,否则叫作 斜投影 ．
（四）、三视图分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）?哪些数量（长、宽、高）?有何关系?
1．正（主）视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的 高度 和 长度 ；
2．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的 长度 和 宽度 ；
3．侧（左）视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的 高度 和 宽度 ．

4．因此正（主）视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”;正（主）视图与侧（左）视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”;俯视图与侧（左）视图的宽度相等,即“宽相等”．
如图所示:
知识点二：空间几何体的直观图
《清明上河图》为北宋画家张择端所作,该画描绘北宋京城汴梁及汴河两岸的繁华、热闹的景象和优美的自然风光．作品以长卷形式,采用散点透视的构图法,将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画卷中,画卷有814人,牲畜60多头,船只28艘,房屋楼宇30多栋,车20辆,轿8顶,树木170多棵,往来衣着不同,神情各异,栩栩如生,其间还穿插各种活动,注重情节,构图疏密有致,富有节奏感和韵律的变化,笔墨章法都很巧妙,颇见功底．
（一）、直观图的定义：
1．张择端通过画笔把北宋汴河两岸的繁华和热闹的景象呈现在纸上,从数学角度来看,就是把空间图形通过 平面图形 来呈现,像这种表示 空间图形 的 平面图形 叫作空间图形的直观图．
（二）、直观图的画法：
1．用斜二测画法画空间几何体的直观图：
（1）建立三条轴:x'轴,y'轴和z'轴．
（2）这三条轴相交于O',且∠x'O'y'= 45°（或135°） ．
与x轴平行的线段,在直观图中长度保持 不变 ,与y轴平行的线段,在直观图中长度为原来的 一 半 ,平行于z轴的线段,在直观图中也要保持 长度不变 ．
要点诠释
空间几何体的三视图与直观图有密切联系．由于 三视图 从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,因此得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）． 直观图 是对空间几何体的整体刻画,根据 直观图 的结构可以想象实物的结构．

典例强化
例1．下列说法:①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,其大小和形状不变;③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（ ）．

例3．下面关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是（ ）
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B．几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
例4．已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为（ ）
A．2a B．a C．a2 D．
例5．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体直观图可以是（ ）．
例6．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是（ ）
例7．画出下列几何体的三视图
例8．根据几何体的三视图画出几何体

例9．如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=AO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积
知识巩固练习
1．一条直线在平面内的平行投影可能是（ ）
A．一条线段 B．一条射线 C．一条折线 D．一个点
2．给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是（ ）
①角的水平放置的直观图一定是角;②相等的角在直观图中仍相等;③相等的线段在直观图中仍然相等;④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．根据图中给出的俯视图,找出对应的物体
（1）对应 ；（2）对应 ；（3）对应 ；（4）对应 ；（5）对应 ．
4．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）

课时跟踪训练
1．如左下图所示的是物体的实物图,其俯视图是（ ）



2．一个几何体的三视图如图所示,则组成该组合体的简单几何体为（ ）
A．圆柱与圆台 B．四棱柱与四棱台
C．圆柱与四棱台 D．四棱柱与圆台
3．在下列选项中,利用斜二测画法,边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）
4．如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的
周长是（ ）
A． B． C．6 D．8
5．在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画
出的直观图A'B'C'D'的面积为 ．
6．由若干个小正方体组成的几何图形的三视图如图所示,则组成这个组合体的小正方体的个
数是 ．
7．如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A=6,O'C'=2,则原图形OABC的
面积为多少．
正
侧
俯