第15讲 圆锥曲线与方程章节复习（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

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思考1 圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义分别是什么？



思考2：椭圆、双曲线、抛物线都有什么共同的几何性质？



热点题型一 圆锥曲线的定义及应用
【例1】(1)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足eq \(PD,\s\up6(→))＝2eq \(MD,\s\up6(→))，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．





(2)若点M(1，2)，点C是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是 ．
圆锥曲线定义及其应用的解题方法
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．
1．已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
2．(双空题)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，则|PM|＋|PF|的最小值为 ，则此时点P的坐标为 ．
热点题型二 圆锥曲线的标准方程
【例2】(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
热点题型三 圆锥曲线的几何性质及其应用
【例3】(1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________．
(3)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝eq \f(\r(3),2).已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))到这个椭圆上的点的最远距离为eq \r(7)，则这个椭圆方程是________．
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq \f(c,a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
1.设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点，若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
2.已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA＝c，则双曲线的渐近线方程为__________．
热点题型四 直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】(1)若直线kx－y＋3＝0与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．－eq \f(\r(5),4)0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．
3．相离：Δb>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
6．双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,8) C.eq \f(16,3) D.eq \f(8,3)
7．已知F是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－eq \f(1,16) C．x2＝y－eq \f(1,2) D．x2＝2y－2
8．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A．2sin 40° B．2cs 40° C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
9．直线l过点(eq \r(2)，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆eq \f(y2,n)－eq \f(x2,m)＝1的焦距等于4，则n＝( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
11．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
12.如图，已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
13．(多选题)以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－4x C．x2＝－4y D．x2＝－2y
14．(多选题)已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则( )
A．当mn>0时，方程表示椭圆 B．当mnb>0)的左、右焦点分别为F1，F2.焦距为2c，若直线y＝eq \r(3)(x＋c)与椭圆r的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于______．
21．(双空题)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq \f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq \r(5)，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)
22．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2eq \r(13)，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．






23．(本小题满分10分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以x＝eq \f(a2,c)(a，c分别为双曲线中的实半轴与半焦距)为准线的抛物线的标准方程．







24．(12分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|MN|＝eq \f(3\r(2),2)，求直线MN的方程．









B组 能力提升练
1．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－eq \f(y2,4)＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝eq \f(13,2) B．a2＝13 C．b2＝eq \f(1,2) D．b2＝2
2．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．BF＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
3．过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.
4．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为________．
5．设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．
6．给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝－2.
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；
(2)过点(4，0)的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B两点，试探究是否总有eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))？请说明理由．