第12讲 椭圆（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4

这是一份第12讲 椭圆（原卷版）-【暑期精品课】2021年高一升高二数学衔接精品讲义（苏教版2019）-A4，共17页。
2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．
3．理解并掌握椭圆的几何性质．
情景一：“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像．“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及标准方程．
情景二：奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)．所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？
思考1 在画板上取两个定点F1和F2，把一条长度为定值且大于F1F2的细绳的两端固定在F1，F2两点，如图，用笔尖把细绳拉紧并使笔尖在画板上移动一周，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？



思考2 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？






思考3：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？根据椭圆方程，如何确定焦点位置？



思考4 观察椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？




思考5 椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？




1．椭圆的定义
(1)定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．
(2)相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
2．椭圆的标准方程
3．椭圆的简单几何性质

一、对错辨析
1．判断下列结论对错(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标是(±3,0)．( )
(3)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(4)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a．( )
(5)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2．( )
(6)离心率相同的椭圆是同一个椭圆．( )
二、教材改编
2．(教材P77例1改编)以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( )
A．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1或eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1或eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1
三、易错演练
3．以下方程表示椭圆的是( )
A．x2＋y2＝1 B．2x2＋3y2＝6 C．x2－y2＝1 D．2x2－3y2＝6
4．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3,4) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(2,3)
5．(双空题)椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点坐标是 ，顶点坐标是 ．
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】(1)(多选题)已知在平面直角坐标系中，点A(－3,0)，B(3,0)，点P为一动点，且PA＋PB＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的是( )
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
(2)已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长是 ．
(3)已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．







椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
(3)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
1．已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
3．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________．
考点二 求椭圆的标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26；
(2)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))．
(3)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
(4)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为eq \f(\r(5),5)．








利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)经过点M(1，2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同的离心率．





2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，则椭圆的标准方程是__________．
考点三 椭圆的几何性质
【例3】(教材P83例1改编)已知椭圆C1：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．






【例4】设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．



2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．



【例5】已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．
提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
3．求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a和c，再求e＝eq \f(c,a)，也可利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解．
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成eq \f(c,a)的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
4．直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
1.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
2.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(1＋\r(5),4) D.eq \f(\r(3)＋1,4)
3．直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
1．到两定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对
2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D．x2＋eq \f(y2,4)＝1
3．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
4．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
5．已知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于( )
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
6．(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则椭圆的离心率为 ．




1．知识梳理：
(1)椭圆的定义及其应用：概念理解、焦点三角形应用；
(2)求椭圆的标准方程：待定系数法、几何性质、巧设法．
(3)椭圆的几何性质及其应用：几何性质理解、离心率求解、直线与椭圆的位置关系应用．
2．应用细节
(1)平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2aeq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＞|F1F2|，轨迹为椭圆,2a＝|F1F2|，线段F1F2,2a＜|F1F2|，不存在))．
(2)求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a，b，c其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．
(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．
3．思想方法总结：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想．
4．易错提醒：易忽视椭圆定义中a，b，c的关系；易忘记讨论焦点所在位置．
A组 基础巩固练

1．设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋eq \f(4,m)(m>2)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．不存在
2．“20)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
11．(多选题)为使椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，正数m的值可以是( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \f(8,3) D.eq \f(3,2)
12．(多选题)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是( )
A．椭圆C的长轴长为10
B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)
C．椭圆C的离心率等于eq \f(3,5)
D．若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝eq \f(32,5)
13．(多选题)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
14．与椭圆eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1有相同的离心率且长轴长与eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．
15．若椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(3,5)，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为__________．
16．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
17．已知F1为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆长轴上一点M(不含端点)任意作一条直线l，交椭圆于A，B两点，且△ABF1的周长的最大值为5b，则该椭圆的离心率为________.
18．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
19．已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1．(1)求椭圆的长轴长和短轴长；(2)求椭圆的离心率；
(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．


20．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．





21．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．







22．已知椭圆M与椭圆N：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(5),5))).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．










B组 能力提升练
1．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中期中)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为( )
A．5eq \r(3) B．10eq \r(3) C．2eq \r(15) D．4eq \r(15)
2．(多选题)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( )
A．(4，0) B．(0，5) C．(－4，0) D．(0，－5)
3．(多选题)设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．PF1＋PF2＝2eq \r(2) B．离心率e＝eq \f(\r(3),2)
C．△PF1F2面积的最大值为eq \r(2) D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq \r(2)＝0相切
4．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，方程x2sin α＋y2cs α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(sin A＋sin C,2sin B)＝________.
6．已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为eq \r(3)，则椭圆的方程为____．
7．设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为____．
8．如图，把椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴AB八等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为________．
条件
结论
2a＞|F1F2|
动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2|
动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2|
动点不存在，因此轨迹不存在
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1)