高中数学人教A版 (2019)必修 第一册二次函数与一元二次方程、不等式测试题

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1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对于A;若，时，则，故A错；
对于B;若取，则无意义，故B错；
对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；
对于D;若取，但,故D错；故选：C
2．设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
∴，故选：A
3．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，
由题意可得．故选：B．
4．若且，则，，，中的最大值的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，实数且，可得，，
又由，
因为，可得，所以，
所以，所以最大值为.故选：C.
5．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，则或
因为是或的真子集，故选：A．
6．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.故选：C.
7．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C
8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【解析】由题意知，
，
当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即 ，解得.故选：C.
二、多项选择题：
9．（多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】AB
【解析】对于A：因为，所以，，所以，故A为真命题；
对于B：因为，，所以，同理可得，即，故B为真命题；
对于C：因为，，所以，故C为假命题；
对于D：因为，，所以，，，所以，故D为假命题．
故选：AB．
10．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】不等式变形为，又，所以，时，不等式解集为空集；，，时，，因此解集可能为ABD．故选：ABD．
11．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以，
当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．
三、填空题：
12．已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，，，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.故答案为：
13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，设围成的整个矩形场地的面积为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，因此.故答案为：
14．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若与只有一个为真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】对于：成立，而，有，
∴，∴；
对于：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若，一真一假，则有两种情况：
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：
15.已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】
【解析】∵的解集为，
∴且和4是方程的根.
，解得.
∴可化为，
即，即，解得且.
∴不等式的解集为.
16．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）4；（2）25．
【解析】（1）因为a、b是正数，
所以，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）由
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
17．已知关于的不等式．
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，
所以实数的取值范围是．
18．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．
19．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）满足题意的条件为①③，，，；（2）答案见解析﹒
【解析】（1）假设条件①②符合题意．
∵，二次函数图象开口向下，
∴的解集不可能为，不满足题意．
假设条件②③符合题意．
由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．
∴满足题意的条件为①③．
∵不等式的解集为，
∴，3是方程的两根，
∴，，即，．
∴函数在处取得最小值，
∴，即，
∴，．
（2）由（1）知，则，即，
即．
∴当时，不等式的解集为{或}；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为{或}．