福建省福州第一中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州第一中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．
【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2. 在下列四项调查中，调查方式正确的是（ ）
A. 了解云南省所有中学生每天完成作业所用的时间，采用全面调查的方式
B. 为保证运载火箭的成功发射，要对其零部件进行检查，采用抽样调查的方式
C. 了解某市每天的流动人口数，采用全面调查的方式
D. 了解全市中学生的课外阅读情况，采用抽样调查的方式
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A、了解云南省所有中学生每天完成作业所用的时间，，采用抽样调查的方式，本选项调查方式错误，不符合题意；
B、为保证运载火箭的成功发射，要对其所有零部件进行检查，采用全面调查的方式，本选项调查方式错误，不符合题意；
C、了解某市每天的流动人口数，采用抽样调查的方式，本选项调查方式错误，不符合题意；
D、了解全市中学生的课外阅读情况，采用抽样调查的方式，本选项调查方式正确，符合题意；
故选：D．
3. 点A关于y轴的对称点A1坐标是（2，-1），则点A关于轴的对称点A2坐标是（ ）
A. （-1，-2）B. （-2，1）C. （2，1）D. （2，-1）
【答案】B
【解析】
【分析】由题意由对称性先求出A点坐标，再根据对称性求出点关于轴的对称点坐标．
【详解】解：由点关于轴的对称点坐标是，可知A为，则点关于轴的对称点坐标是．
故选B．
【点睛】本题考查对称性，利用点关于轴对称，横轴坐标变为相反数，纵轴坐标不变以及点关于轴对称，纵轴坐标变为相反数，横轴坐标不变进行分析．
4. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系点的坐标特征，解不等式组，数轴表示不等式解集，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意得，解不等式组并在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：点在第二象限
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示为：
故选：A．
5. 如图，在平行四边形中，已知，，的平分线交边于点，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 都不对
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据四边形是平行四边形，得到，，，利用平行线性质，结合平分，得到，利用等角对等边，得到，即可得解．
【详解】解： 四边形是平行四边形，
，，，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
6. 如图，的垂直平分线1交于点D．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等要三角形的性质得到，再根据垂直平分线的性质求出，从而可得结果．
【详解】∵，
∴
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
7. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边中线交点B. 三条角平分线交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三边上高的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答．
【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点，
故选：C
8. 如图，在Rt中，，，，，平分交于点，为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理，过点D作于H，先由角平分线的定义和三角形内角和定理求出，则可证明，据此求出的长，进而由角平分线的性质得到的长，再根据垂线段最短即可得到答案．
【详解】解；如图所示，过点D作于H，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由垂线段最短可知，当时，线段长度最小，即点E与点H重合时线段长度最小，最小值为2，
故选：D．
9. 下列对的判断，错误的是（ ）
A. 若，，则是等边三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，，则是等腰三角形
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【详解】解：A.，，
是等边三角形，故该选项正确；
B.，
最大角为：，
是直角三角形，故该选项正确；
C.，，
，
是等腰三角形，故该选项正确；
D.，，
，故该选项错误；
故选：D
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定及性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键
10. 如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、垂线最短、三角形的面积公式等知识，求得的面积是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合点的坐标易得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可获得答案．
详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，，，
∴，，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当时，如图所示，取最小值，
此时可有，
即，解得，
∴长度的最小值是2．
故选：A．
二、填空题
11. 等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______________．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：当腰长为，底为，能构成三角形，周长为：；
当腰长为，底为，不能构成三角形，舍去，
故答案为：19．
12. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__．
【答案】40°
【解析】
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE．
【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示：
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线．
13. 如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得．
【详解】解：，
，
在与中，
，
．
．
，
．
，
．
故答案为：．
14. 绘制频数分布直方图时，计算出一组数据的最大值与最小值的差为21．若取组距为4．则最好分成___组．
【答案】6
【解析】
【分析】利用公式：组距=(最大值-最小值)÷组数，即可解出．
【详解】21÷4=5.25，向上取整即为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查组距的算法，关键在于记住公式且向上取整．
15. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则的值为_______．
【答案】0或2##2或0
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“点到两坐标轴的距离相等”得出，然后根据绝对值的意义得出关于a的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：根据点到两坐标轴的距离相等可知：，
当，
解得：，
当，
解得：，
故答案：0或2．
16. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：五边形是正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18. 如图，，且，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定；由可得，结合已知条件用“”即可证明，进而得到结论．
【详解】证明：∵，
，（两直线平行，内错角相等）
在与中，

，
．
19. 定义：以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，这些点叫做该图象的关联点．
（1）在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有______（填序号）；
（2）已知A，C两点是方程图象的关联点，B，C两点是方程图象的关联点．若点A在x轴上，点B在y轴上，求四边形的面积；
（3）若，，三点是二元一次方程图象的关联点，探究与的大小．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题．
（1）将①；②；③三点，分别代入方程，利用图象的关联点定义即可解决问题；
（2）根据图象的关联点定义，解方程组求出点，，三点坐标，进而可以利用割补法求四边形的面积；
（3）将，，三点分别代入二元一次方程即可求得与的大小关系．
【小问1详解】
解：将①；②；③三点，分别代入方程中，
①方程左边，方程左右两边相等；
②方程左边，方程左右两边不相等；
③方程左边，方程左右两边相等；
在①；②；③三点中，是方程图象的关联点有①③，
故答案为：①③；
【小问2详解】
∵，两点是方程图象的关联点，，两点是方程图象的关联点，
∴联立，
解得，
，
点在轴上，
当时，，则，
∴，
点在轴上，
当时，，则，
∴，
四边形的面积；
【小问3详解】
解：，，三点是二元一次方程图象的关联点，
∴将，代入得
整理，得①，
将代入得②，
得，
解得
∴即
解得，
将代入得即
解得，
．
20. 为了解七年级学生的跳绳情况，我校体育老师从七年级学生中随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳测试，并根据结果列出了频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
一分钟跳绳次数（x）的达标要求是：为不合格，为合格，为良好，为优秀．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中___________，补全频数分布直方图；
（2）若我校七年级共有学生480人，则其中跳绳等级为“优秀”的学生约有多少人？
（3）请评价一下七年级的跳绳成绩并说明理由．
【答案】（1）18，图见解析
（2）48 （3）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】（1）用样本总数减去已知的各区间段的频数即可求出a，再根据a的值即可补全图形；
（2）求出样本中达到优秀的学生人数的占比，再用全校七年级人数乘以该比值即可求解；
（3）根据各区间段的情况作答，理由合理即可．
【小问1详解】
a=50-(2+4+8+13+4+1)=18，
即；
补全图形如下：
【小问2详解】
（人），
答：跳绳等级为“优秀”的学生约有48人．
【小问3详解】
还可以，样本中良好的人数为31人，占62%，不过优秀的人较少，想要更好的成绩还需加强跳绳方面的训练．（只要回答合理即可）
【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图、用样本估计总体的知识，注重数形结合是解答本题的关键．
21. 如图，在中，是的平分线，于点E，于点F，求证：平分．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由角平分线的性质得到，证明，得到，即可得到结论．
【详解】证明：∵是的平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元；任务2：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键．
任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解．
【详解】任务1：
解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元．
任务2：
解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴；
方案二：，
解得，
由题意得，
∴，
∴；
答：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾．
23. （1）如图①，在中，，，点D为线段上的动点，则最小值为 ．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，D为线段上的一点且平分的面积，请求出D点坐标．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，点D坐标为．按设计要求在线段上任取一点C，以为底，在右侧作等腰直角三角形区域，取中点F，连接．现对区域进行围挡施工，为节约材料，设计要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合设计的的周长，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）；（3）的周长的最小值为：米
【解析】
【分析】（1）根据垂线段最短即可得出答案；
（2）先根据一次函数解析式求出点A、B坐标，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得出此时点D为线段的中点，最后根据中点坐标公式，求出结果即可；
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，证明，得出，说明点在直线上，根据中点坐标公式说明点F在直线上，作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，求出其最小值，即可得出的周长最小值．
【详解】解：（1）∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
（2）解：把，代入得，
把代入得，解得，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴当D为中点时，将分成面积相等的两部分，
∴点D的坐标为：，即．
（3）过点E作轴于点M，轴于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设点，
∵点为的中点，，
∴，即，
令，，
则，
∴点F在直线上，
设直线与轴交于点P，与轴交于点Q，
则P点坐标为，Q点坐标为，
∴，，
∴，
∴，
作点D关于直线的对称点，连接交直线于一点F，连接，，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
∴轴，
∵，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
又∵为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴的周长的最小值为：米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，中点坐标公式，垂线段最短，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使周长最小时，点F的位置．
24. 如图，在中，，，平分，交于点，连接，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平分得，证，得即可；
（2）在等腰三角形中，，利用等腰三角形性质及内角和定理求出，同理求出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：平分
在与中
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
，，
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键．
25. 解不等式组：，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，解集在数轴上的表示见解析．
【解析】
【分析】解不等式组中的每个不等式，两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解．
【详解】
解不等式①，得
．
解不等式②，得
．
不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，牢记解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
次数
频数
2
4
8
13
a
4
1
如何购买保洁物品
素材1
某学校需要增加保洁物品的库存量，因经费问题，计划用不超过720元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的2倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2
商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需33元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需48元．
素材3
商店提供以下两种优惠方案：
方案1：两种商品按原价的8折出售；
方案2：两种商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
问题解决
任务1
确定物品单价
请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装单价．
任务2
探究购买方案
如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？