福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷(含解析)

这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 第24届冬季奥林匹克运动会于2月4日﹣20日在北京和河北张家口举行．下列体育运动项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：解：选项A，C，D中的图形不是轴对称图形，选项B中的图形是中心对称图形，
故选B
本题考查的是轴对称图形的识别，轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，掌握“轴对称图形的定义”是解本题的关键.
2. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 了解某校初三一班的体育学考成绩B. 了解某种节能灯的使用寿命
C. 了解我国青年人喜欢的电视节目D. 了解全国九年级学生身高的现状
答案：A
解析：A、了解某校初三一班的体育学考成绩，适合普查，故A正确；
B、了解某种节能灯的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；
C、了解我国青年人喜欢的电视节目，调查范围广，适合抽样调查，故C错误；
D、了解全国九年级学生身高的现状，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：A
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 点(－2，5)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (2,－5)B. (－2,－5)C. (2,5)D. (5,－2)
答案：C
解析：点(－2，5)关于y轴对称的点的坐标是（2,5），
故选：C.
此题考查轴对称的性质—关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等.
4. 不等式x＜2在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵不等式x＜2
∴在数轴上表示为
故选：A．
5. 如图，在中，，，的平分线交于点E，则的值是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴.
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，理解平行四边形的性质是解题的关键．
6. 如图，，，平分外角，则与的关系是（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵，
∴，
∴，
∵平分外角，
∴，
∴；
故选：A.
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.
7. 如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，那么超市（ ）

A. 距离A较近B. 距离B较近
C. 距离C较近D. 与A，B，C三点的距离相同
答案：D
解析：解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
又∵超市恰好在，两边垂直平分线的交点处，
∴超市与A，B，C三点的距离相同，故D正确．
故选：D．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
8. 在中，已知，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：A
解析：解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故选：A．
本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的判定定理，运用了方程的思想．熟知三角形的内角和是是解题的关键．
9. 下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
②有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形．
A. 个B. 个C. 个D. 个
答案：C
解析：解：等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，
不正确；
一个外角为，
该等腰三角形有一个内角为，
该等腰三角形为等边三角形，
正确；
三个角都相等的三角形是等边三角形，
正确；
在一个三角形中，两个角为、，则可求得第三个角为，
该三角形为等腰三角形，
正确；
所以正确的有共三个，
故选：C．
本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（ ）
A B. C. D.
答案：B
解析：解：∵点在点的右侧，
∴，
解得：，
记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个，
∵点，，的坐标分别是，，，
∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的个都在线段上，如图，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
故选：B．

本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的个点存在于线段AB上是解题的关键．
二、填空题
11. 等腰三角形两边长分别为，，求此等腰三角形的周长______．
答案：17cm
解析：解：当等腰三角形的三边3cm，3cm，7cm时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，所以不符合题意；
当等腰三角形的三边为3cm，7cm，7cm时，3+7＞7，符合三角形三边关系，周长为3+7+7=17（cm）．
故答案为：17cm．
本题主要考查了求等腰三角形的周长，解题的关键是注意分情况讨论．
12. 如图，ABC中，∠B＝90°，线段BD上的点D在边AC的垂直平分线上．已知∠C＝36°．则∠BAD的度数为______．
答案：18°
解析：解：∵∠B＝90°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°，
∵点D在边AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13. 如图，在2×2的正方形网格中，则∠1＋∠2=________．
答案：##90度
解析：解：由题意得，，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
14. 如图是某班45个学生在一次数学测试中成绩的频数分布直方图（成绩为整数），图中从左到右的小长方形的高度比为1：3：5：4：2，则该次数学测试成绩在80.5到90.5之间的学生有___________个．
答案：12
解析：45×=12人
故答案为12
考查频数分布直方图制作方法以及各个小长方形的高所表示的意义，用总人数去乘以80.5到90.5之间的学生所占的比即可．
15. 图1是一个三角形，沿直线折叠后得到图2，图2中多边形（直线右侧部分图形）的面积是三角形面积的，已知图2中阴影部分的面积和为15，将三角形的面积记作，若，则四边形的面积是________．

答案：
解析：解：设原三角形面积为x平方厘米，
∵四边形的面积为，
∴图2中多边形的面积为，
由题意得，
，
，
，
．
∵，
∴
∴，
∴
∴
故答案为：．
本题考查了折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意求出图2多边形的面积是解答此题的关键．
16. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则___________°

答案：150
解析：解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．

，
，
，，且，，
故答案为：150．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：原式

；
小问2解析：
解：原式
．
本题考查实数的混合运算，算术平方根和立方根，熟记运算法则是关键．
18. 如图，在四边形中，点为对角线上一点，，，且．证明：；

答案：证明见解析
解析：证明：∵，
∴，
在与中，
，
；
本题主要考查了平行线的判定及全等三角形的判定及性质，熟练运用全等三角形的判定及性质是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，，
（1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为 ；
（2）如果要使以为顶点的三角形与全等（不重合），写出所有符合条件的点坐标．
答案：（1）图见解析，
（2）或或
小问1解析：
如图，即为所求；的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）；
小问2解析：
如图2，所有符合条件的点坐标为：或或；
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．
20. 为庆祝中国共产党建党100周年，育才中学共1000名学生参加了学校举行的党史知识竞赛（满分100分）．从中抽取部分学生的成绩进行统计分析．
收集数据：77 71 80 63 52 88 73 53 68 100 64 85 95 59 70 50 85 99 86 65 89 66 65 52 82 65 75 62 75 68 75 75 80 65 65 76 86 79 67 78 86 77 79 62 70 59 66 76 98 79
整理、分析数据：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出表格中的a＝ ，b＝ ；并把频数分布直方图补充完整；
（2）从直方图中你能得到什么信息（写出两条即可）？
（3）如果成绩达到90分（含90分）以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
答案：（1）a＝14、b＝4；图见解析；（2）样本中，在70≤x＜80的人数最多，达到16人；成绩比较集中在60≤x＜90范围内，约占调查人数的80%；（3）80人
解析：解：（1）分别统计各组频数可得，
在60≤x＜70组的频数为14，即a＝14；
在90≤x≤100组的频数为4，即b＝4；
故答案为：14，4；
补全频数分布直方图如下：
（2）样本中，在70≤x＜80的人数最多，达到16人；
成绩比较集中在60≤x＜90范围内，约占调查人数的80%；
（3）1000×＝80（人），
答：该校进入决赛的学生大约有80人．
本题主要考查的是频数分布表、频数分布直方图的应用及用样本估计总体，能够从统计图和统计表中获取有效信息是解题的关键．
21. 电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）
答案：见解析
解析：解：如图所示，分别作线段的垂直平分线，的角平分线，二者交于点P，点P即为所求．
22. 某学校开展课本剧展示活动，计划购买、两种奖品，已知购买3件奖品和2件奖品，共需费用390元：4件奖品比5件奖品的费用多60元.
（1）求奖品和奖品每件各需多少元；
（2）若学校计划购买、两奖品共30件，且奖品的数量不少于奖品的一半，两奖品购买总费用不超过2170元，该校怎样采购可使总费用最低?最低费用是多少元?
答案：（1）A奖品和B奖品每件各需90元、60元；
（2）购买A奖品10件，B奖品20件总费用最低，最低费用是2100元．
小问1解析：
解：设A、B两种奖品每件各需x元、y元，根据题意，得
，
解得，，
答：A奖品和B奖品每件各需90元、60元；
小问2解析：
解：设购买A奖品a件，则购买B奖品件，
根据题意得，
解得，，
∴，共有三种购买方案，
方案一：购买A奖品10件，B奖品20件，
方案二：购买A奖品11件，B奖品19件，
方案三：购买A奖品12件，B奖品18件．
设总费用为w元，，
∴当时，w取得最小值，此时，
答：购买A奖品10件，B奖品20件总费用最低，最低费用是2100元．
本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，对于点、两点给出如下定义：若点到，轴的距离的较大值等于点到，轴的距离的较大值，则称、两点为等距点．如点和点就是等距点．
（1）下列各点中，是的等距点的有；
①，②，③
（2）已知点的坐标是，点的坐标是，若点与点是“等距点”，求点的坐标；
（3）若点与点是“等距点”，直接写出的值．
答案：（1）①③ （2）或
（3）的值为或
小问1解析：
解：依题意，到坐标轴的距离的较大值为，
①，到坐标轴的距离的较大值为，
②，到坐标轴的距离的较大值为，
③，到坐标轴的距离的较大值为，
则的等距点的有①③，
故答案：①③；
小问2解析：
点到，轴的距离的较大值为，点与点是“等距点”，
或，
解得：或或或，
当时，点的坐标是，符合题意；
当时，点的坐标是，不符合题意；
当时，点的坐标是，不符合题意；
当时，点的坐标是，符合题意；
点坐标为：或；
小问3解析：
解：分情况讨论：
①当时，
点与点是“等距点”，
，
解得：或，
当时，点坐标为，点坐标为，符合题意；
当时，点坐标为，点坐标为，不符合题意，舍去；
，
②当时，
点与点是“等距点”，
，
解得：或，
当时，点坐标为，点坐标为，符合题意；
当时，点坐标为，点坐标为，不符合题意；
，
综上，值为或．
本题考查了点的坐标，解绝对值方程，正确理解“等距点”的定义是解题的关键．
24. （1）阅读理解：

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 ；则中线的取值范围是 ；
（2）问题解决：
如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系
答案：（1）；（2），见解析；（3）
解析：解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至，使，连接，

，，，
，
，
连接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．
25. 已知在方程组中，、均为正数．
（1）求出、的值（用含代数式表示）；
（2）求出的取值范围；
（3）当为何正整数时，求：的最大值？
答案：（1）
（2）
（3）当时，的最大值为
小问1解析：
解：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：；
小问2解析：
解：、均为正数．
，，
，
解得：，
的取值范围为：；
小问3解析：
解：，，



，
，为正整数，
当时，有最大值，且，
当时，的最大值为．
本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
分组
划记
频数
50≤x＜60
正一
6
60≤x＜70
a
70≤x＜80
正正正一
16
80≤x＜90
正正
10
90≤x≤100
b
合计
50
50