福建省福州第一中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省福州第一中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．将一元二次方程化成一般形式，则它的一次项系数是（ ）
A．4B．6C．8D．25
3．如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ）
A．45mB．30mC．22.5mD．7.5m
4．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，1，B．5，4，12C．1，，8D．，，
5．函数中自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
7．对于一次函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数图象经过点B．随着的增大而增大
C．函数图象经过第二、三、四象限D．当时，
8．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ）

A．B．
C．D．
9．扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ）
①若，则方程有一个根是1；
②若方程的两根为和2，则有成立；
③若c是方程的一个根，则有成立；
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
11．二次函数的顶点坐标是 ．
12．数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是
13．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为 ．
14．淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点A的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为_____．
16．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
18．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为．
(1)求、的值与点坐标；
(2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围；
(3)求三角形的面积．
19．如图：在平行四边形中，点在上，且．
(1)尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形为菱形．
20．AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下，
两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下：
(1)m，a，b的值分别为______，______，______；
(2)若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数；
(3)小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由．
21．某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数．
(1)求出与x的函数关系式；
(2)若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？
22．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(2)若该方程的两个实数根满足，求k的值．
23．某小组准备合作制作出一个水流装置．下面是制作装置的活动过程：
请根据活动过程完成任务一和任务二．
24．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”
(1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)；
①平行四边形②菱形③矩形④正方形
(2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．
求证：四边形是“忧乐四边形”
(3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长．
25．如图1，已知二次函数的图像经过点，，，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求点的坐标；
(3)若点是抛物线上异于点的一点，且，求点的坐标；
(4)如图2，在（3）的条件下，点是线段上的动点，点在第一象限，且，交抛物线于点，连接，，，四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标．
参考答案
1．C
解：根据函数的定义：一个x确定唯一一个y值，可知C中图像不符合条件；
故选：C .
2．C
∵方程化成一般形式是，
∴一次项系数为，
故选：．
3．B
解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
4．A
解：A、∵，
∴，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意；
B、∵，
∴5，4，12不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴1，，8不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．D
解：∵且，即
∴且
故选：D .
6．B
解：原抛物线为，其顶点为；向左平移1个单位后，顶点变为，平移后的函数解析式为：对应选项B；
选项A为向右平移的结果，C和D改变了常数项，属于上下平移，与题意不符．
故选：B．
7．C
解：∵当时，，
∴图象不经过点，
∴选项不符合题意，
∵，
∴随增大而减小，
∴选项不符合题意，
∵，，
∴函数图象经过第二、三、四象限，
∴选项符合题意，
∵当时，，
∴，
∴，
∴选项不符合题意，
故选：．
8．D
解：，，
四边形是平行四边形，
，，，
A、B、C选项结论成立，不符合题意，
无法证明，
D选项不一定成立，符合题意，
故选D．
9．D
设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
10．D
解：当时，，
∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求；
∵方程的两根为和2，
∴，即，正确，故②符合要求；
∵c是方程的一个根，
∴，即，
∵，
∴，
∴，正确，故③符合要求；
故选：D．
11．
二次函数的顶点坐标是．
故答案为：．
12．3
解：∵数据的方差计算公式为，
∴这组数据的平均数是3，
故答案为：3．
13．
解：把代入，
∴，
∴点，
∵一次函数与的图象交于点
∴关于x，y的方程组的解为：，
故答案为：
14．
解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是，
由题意得：，
解得：，（舍去），
她的体重平均每年的增长率为，
故答案为：．
15．3
解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形，
，，，
点A的坐标为，，
，
．
在中，，，
．
D点坐标为，E点纵坐标为10，
由折叠性质可知．．
，
设，则，．
在中，根据勾股定理得：
，即．
解得．
，
点E的横坐标为3．
故答案为：3．
16．①③/③①
解：∵二次函数图像与轴有两个交点，
∴对于方程有两个不相等的实数解，即有，
∴，故结论①正确；
∵二次函数图像对称轴为直线，且当时，有，
∴由抛物线的对称性质可知，当时，有，
∴，故结论②不正确；
∵二次函数图像的对称轴为直线，
∴，即
又∵当时，有，
∴，
∴，故结论③正确；
∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，取最大值，此时，
令，可有，
∴，
∴，故结论④不正确；
∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下，
∴数轴上的点距离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，故结论⑤错误．
综上所述，结论正确的有①③．
故答案为：①③．
17．(1)，
(2)，
（1）
解得，；
（2）
或
解得，．
18．(1)， ，点B坐标为
(2)
(3)3
（1）解：把代入，
可得，
，
把代入，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
令，
解得，
；
（2）解：根据图象可得，
当函数的值大于函数的值，，
故答案为：；
（3）解：如图所示，设一次函数与y轴交于点D
将代入得，，
∴，
∵将代入得，，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）证明：∵点到，的距离相等，
∴点E在的角平分线上，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
20．(1)12，，8
(2)八年级得分不低于8分的人数为人
(3)同意小明的说法，理由见解析
（1）解：由扇形统计图可得，
，
八年级成绩的平均数（分），
由条形统计图知七年级成绩中第25,26个数分别是8,8，
．
（2）解：（人，
答：八年级得分不低于8分的人数为人．
（3）解：同意小明的说法，七年级学生的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数和中位数相同，而七年级的众数均高于八年级，
所以七年级学生的成绩更好．
21．(1)
(2)应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元
（1）解：设出与x的函数关系式为，
将，代入可得：，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：设销售乙商品件，则销售甲商品件，总利润为元．
∵．
∴二次函数的对称轴为直线．
∵在对称轴右侧，且，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最大值，
，
∴销售甲商品的件数为：（件）．
答：应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元．
22．(1)
(2)
（1）解：根据题意得
解得；
（2）解：根据题意得：
∵，
，
即 ，
整理得 ，
解得
∵，
∴．
23．任务一：；任务二：能，见解析
解：任务一：由题可得抛物线的对称轴为，
，即，
把点代入抛物线，得，
把代入得，解得，
水流抛物线的函数表达式为；
任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，，
，
水流能流到圆柱形水杯内．
24．(1)②④
(2)见解析
(3)或
（1）①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合．
②菱形，④正方形一定是忧乐四边形；
故答案为：②④；
（2）证明：如图2，连接，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
将沿折叠后得到，
，，，
，
，
，
四边形沿折叠完全重合，
四边形是“忧乐四边形”；
（3）．
若，连接，则四边形是矩形，
，
由（2）知，，
设，则，，
，
，
，
；
若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
（负值舍），
．
综上所述，的长为或．
25．(1)
(2)
(3)
(4)的最大值为，此时
（1）解：∵二次函数的图像经过点，，，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：；
（2）解：如图所示，连接，，
∵
∴点A到的距离等于点P到的距离
∴
∵，
∴设所在直线表达式为
∴
∴
∴所在直线表达式为
∴设所在直线表达式为
将代入得，
解得
∴所在直线表达式为
∴联立得，
解得（舍去）或
∴将代入
∴；
（3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴点P即为所求，
∵，，
∴可得所在直线表达式为，
∴联立得，，
解得，
∴；
（4）如图所示，连接，，
∵点M在抛物线上，
∴设
∵，，
∴可得所在直线表达式为
∵
∴设所在直线表达式为
∴将代入得，
∴
∴所在直线表达式为
∵，
∴可得所在直线表达式为
∴联立得，
解得
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴当时，有最大值
∴将代入得，．
∴的最大值为，此时．
平均数
中位数
众数
方差
七年级
7.6
8
8
1.08
八年级
a
b
7
1.08
活动目的
制作简易水流装置
设计方案
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知
轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为．
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）