黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二下学期开学初考试数学试题

这是一份黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二下学期开学初考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．设等差数列的公差为，若，，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线被圆截得的弦长为2，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
8．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （ ）
A．B．数列 {an}是递减数列
C．数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃D．满足的最大正整数n=22
10．已知圆和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．两圆相交，有两个公共点
B．两圆的公共弦所在直线方程为
C．两圆公共弦长度为
D．经过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程为
11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C．若与平面所成的角为，则
D．若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)
12．已知正项等比数列的前n项和为，若，则 ．
13．已知函数，则 .
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15．（本题满分13分）已知函数的图象过点，且．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
16．（本题满分15分）在数列中，点在直线上；在等比数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，底面矩形，，是PD的中点．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面夹角．
18．（本题满分17分）已知公差为2的等差数列满足，数列满足，．
(1)求数列，的通项公式．
(2)设，数列的前n项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值．
19．（本题满分17分）已知椭圆的一个焦点坐标是，短轴长是长轴长的
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值；
(3)设椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的最大值.
高二学年数学试题参考答案
一、选择题
1-5 CDCCA 6-8 CCD
9．AD 10．ABD 11．ACD
二、填空题
12． 13． 14．或
三、解答题
15．.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，
所以②，
由①②解得：，．……………………………………………………………….6分
（2）由（1）知，
又因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
即．………………………………………………………………………………13分
16．【详解】（1）易知
故求数列的通项公式分别为
……………………………………………………………7分
（2）由（1）知：
设数列的前项和为，数列的前项和为，则
则数列的前n项和
………………………………………………15分
17． 【详解】法一：（1）因为平面，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，M是PD的中点，所以．
因为平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
由（2）知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，因为，，
所以令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角为．
法二：（1）因为平面，且四边形为矩形，所以两两垂直，
故以为坐标原点，以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，，，
所以，
设平面的法向量为，且，
则，故，取，则，
因为，所以，所以，所以平面………………7分
（2）设平面的法向量为，且，
则，故，取，则，
设平面与平面的夹角为，
则，因此平面与平面的夹角为………………………….15分
18．【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且，所以，
所以，解得，所以，
因为，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以；……………………………………………………5分
（2）（ⅰ）因为，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以；…………………………………………………………………分
（ⅱ）由，可得，令，
则，
所认单调递增，所以，所以λ的最大值为7．……………………17分
19．【详解】（1）由，，,得，，
所以椭圆的方程为；……………………………………………….4分
（2）

显然直线的的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
则点的坐标为，，
联立方程，消去整理，
则，且，，
又因为直线的方程为，
令，得Q的横坐标为
代入，，得
所以为定值……………………………………10分
（3）

依题意，，，设，，直线斜率为，
若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
联立方程，消去得，
则，，，
因为是椭圆上一点，满足，
所以，
则，，
因为，
得，
得
得，得，此时
故直线恒过轴上一定点，，，
所以故，
得，令，
则，
故当，即时，取得最大值……………………………分