黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二上学期10月考试数学试题

这是一份黑龙江省绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2024-2025学年高二上学期10月考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线和的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
6．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
8．在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．下列各点中，不在圆的外部的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，之间的距离为
11．如图，已知正方体的棱长为1，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，使平面
B．三棱锥的体积为定值
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。)
12．已知空间向量，，且a⊥b，则 .
13．已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
14．对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.（本题满分13分）已知直线经过点和.
(1)求的一般式方程；
(2)若直线过的中点，且，求的斜截式方程.
16．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
17.（本题满分15分）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程，并说明表示何曲线?
18.（本题满分17分）已知直线．
(1)求直线过定点的坐标；
(2)当直线时，求直线的方程；
(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，∆AOB的面积为，求最小值时直线的方程．
19.（本题满分17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
高二数学试题答案
一、单选题
1-5 CBADD 6-8 CCA.
二、多选题
9. ACD 10． ABD 11． ABC
三、填空题
12． . 13． 或. 14．.
四、解答题
15．【详解】（1）由题意得的两点式方程为，
化为一般式方程为.
（2）设，的斜率分别为，.
由题意得中点的坐标为，
由，得，则.
因为，所以，得.
故的斜截式方程为.
16. 【详解】（1）连结，交于点，连结，
点是的中点，点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，
则，，
设平面的法向量，
则，令，，，
所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
17．【详解】（1）因为圆C经过点和点两点，
所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上，
联立可解得，即，
所以圆C的半径为
则圆C的标准方程；
（2）设线段MN的中点，
又M的坐标，且G为线段MN的中点，
所以，
又N在圆C上运动，
可得，
化简可得，
所以，线段MN的中点G的轨迹方程.
18.【详解】（1）直线可化为，
直线过定点．
（2）直线，，，
直线的方程为，
即直线的方程为．
（3）解法：设，
直线过得：，
，当且仅当，即取等号，
，
，当时，最小值为，
此时，直线的方程为，即．
解法：由直线的方程得：，，由题设得：．
当且仅当时取等号．
取最小值时，直线的方程为．
19．【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由， ，，，
则，，因，则，，
所以，
①设平面的法向量为，由，，得：
，可取
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或.
②如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.