2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大青冈实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y2=2x的焦点坐标是( )
A. (0,12)B. (0,−12)C. (−12,0)D. (12,0)
2.直线x+y+2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π2D. 3π4
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an−1，则a1a3a5=( )
A. 8B. −8C. 64D. −64
4.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,1)，B(0,1,0)，C(1,2,3)，则点C到直线AB的距离为( )
A. 32B. 3C. 2D. 2 2
5.平面内动点P在椭圆x24+y23=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 3
6.等差数列{an}中，a2+a11+a14=9，则前17项的和a1+a2+a3+⋯+a17=( )
A. 0B. 17C. 34D. 51
7.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1=AB，D，E，F分别是棱AA1，BB1，BC的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是( )
A. 510
B. 55
C. 1510
D. 155
8.已知F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若该椭圆上存在两点A、B，使得F1A=2F2B，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. (0,12)B. (0,13)C. (12,1)D. (13,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1：(a+2)x+3y+3=0与l：x−y−2=0，则( )
A. 若a=1，则两直线垂直B. 若两直线平行，则a=5
C. 直线l1恒过定点(0,−1)D. 直线l2在两坐标轴上的截距相等
10.在等差数列{an}中，a1>0，a6a7<0，Sn为{an}的前n项和，则下列式子一定成立的有( )
A. d<0B. a6>0C. a12<0D. S13>0
11.已知圆C：x2+y2−2x−8=0，直线l：y=k(x+1)+1，则( )
A. 圆C的圆心为(−1,0)B. 点(−1,1)在l上
C. l与圆C相交D. l被圆C截得的最短弦长为4
12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.知抛物线C：y2=px(p>0)，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线l1从点M(5,2)射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线l2射出，经过点N.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，下列说法正确的是( )
A. 若p=2，则x1x2=14
B. 若p=2，NA平分∠BAM，则N点横坐标为3
C. 若p=4，抛物线在点A处的切线方程为x−y+1=0
D. 若p=4，抛物线上存在点P，使得PA⊥PB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l1：2ax+y−2=0与直线l2：2x+ay−3=0平行，则实数a= ．
14.数列{an}的前n项和为Sn=3n，则an=______．
15.经过点A(2,−2)且与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．
16.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为np1+p2+⋅⋅⋅+pn，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为12n+1，则a2023的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,8)，C(0,2)，求：
(1)边BC上的中线所在直线的方程；
(2)边BC上的高所在直线的方程．
18.(本小题12分)
如图，已知圆C与y轴相切于点(0,1)且被x轴正半轴分成两段圆弧，其弧长之比为1：2．
(1)求圆C的方程；
(2)已知点P(3,2)，是否存在弦AB被点P平分？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=3an+1．
(1)证明：数列{an+12}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和为Sn．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD，底面ABCD为正方形，PB⊥平面ABCD，E为线段PB的中点．
(1)证明：AC⊥PD；
(2)若PB=2AB=2，求直线DE与平面PCD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差d≠0，前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=2n−1an，求数列{bn}的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，过点F1作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，且|F1P|= 2．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的左顶点为A，过点Q(2,0)的直线l与双曲线E交于M，N两点，连接MA，NA分别交于y轴于点R，S，且|RS|=2，求直线l的方程及△AMN的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题给出抛物线方程，求它的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．
根据抛物线方程，可得2p=2，得p2=12.再根据抛物线是开口向右以原点为顶点的抛物线，即可得到它的焦点坐标．
【解答】
解：∵抛物线方程为y2=2x，
∴2p=2，得p2=12，
∵抛物线开口向右且以原点为顶点，
∴抛物线的焦点坐标是(12,0)，
故选D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考察斜率和倾斜角的关系，属于简单题．
先求斜率再求倾斜角
【解答】
解：斜率k=−1，故倾斜角为3π4，选D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化能力以及计算能力，是中档题．
利用数列的递推关系式求解首项，然后求解通项公式，即可求解a1a3a5．
【解答】
解：当n=1时，3S1=3a1=2a1−1，解得a1=−1，
当n≥2时，3Sn=2an−1，3Sn−1=2an−1−1，
两式相减得3an=2an−2an−1，即anan−1=−2，所以，数列{an}是以−1为首项，−2为公比的等比数列．
∴an=−(−2)n−1，a3=−4，a5=−16，
∴a1a3a5=a33=−64，
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：过点C作直线AB的垂线，垂足为D，设D(x,y,z)，BD=λBA，则BD=(x,y−1,z)，
结合BA=(1,0,1)，可得x=λy−1=0z=λ，解得x=λy=1z=λ，所以D(λ,1,λ)，可得CD=(λ−1,−1,λ−3)．
因为CD⊥AB，所以CD⋅AB=0，即(λ−1)×1+(−1)×0+(λ−3)×1=0，解得λ=2，可得D(2,1,2)．
因此，点C到直线AB的距离等于|CD|= (2−1)2+(1−2)2+(2−3)2= 3．
故选：B．
利用共线向量定理，求出直线AB上满足CD⊥AB的点D的坐标，再根据两点间的距离公式算出答案．
本题主要考查空间向量的数量积及其性质、空间两点间的距离公式等知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：平面内动点P在椭圆x24+y23=1上，则|OP|(O为坐标原点)的最大值为a=2．
故选：B．
由椭圆的性质，直接写出结果即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的应用，长轴的求法，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由{an}是等差数列，得a2+a11+a14=3a9=9，即a9=3，
所以a1+a2+a3+⋯+a17=172(a1+a17)=17a9=17×3=51．
故选：D．
由题意可知a2+a11+a14=3a9=9，即a9=3，进一步利用a1+a2+a3+⋯+a17=172(a1+a17)=17a9即可求解．
本题考查等差数列的前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：设O，O1分别是AC，A1C1的中点，连接OO1，OB，O1B1，则OO1//AA ​1，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
又根据题意可得：平面ACC1A1⊥平面ABC，且交线为AC，又OB⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，又OO1⊂平面ACC1A1，
∴OB⊥OO1.又根据直三棱柱的性质可知：AA1⊥平面ABC，
∴OO1⊥平面ABC，AC，OB⊂平面ABC，
∴OO1⊥AC，OO1⊥OB，
∴以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设AB=AC=BC=AA1=2，
则D(0,−1,1),F( 32,12,0),C1(0,1,2),E( 3,0,1)，
∴DF=( 32,32,−1),C1E=( 3,−1,−1)，
设异面直线DF与C1E所成角为θ，
则csθ=|DF⋅C1E|DF|⋅|C1E||=12× 5= 510．
故选：A．
建系，根据向量法即可求解．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：延长AF1交椭圆于A1，根据对称性可得|A1F1|=|BF2|，
因为F1A=2F2B，所以2|A1F1|=|AF1|，
如图，过A，B分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为M，N，
过A1作A1D⊥AM ，于D，设|A1F1|=m，
根据椭圆的第二定义可得|AD|=|AM|−|A1N|=2me−me=me，
令直线AA1的倾斜角为θ，且0<θ<π2，
则ADAA1=me3m=csθ∈(0,1)，
∴13故选：D．
延长AF1交椭圆于A1，根据对称性可得|A1F1|=|BF2|，过A，B分别作椭圆的左准线的垂线，垂足分别为M，N，过A1作A1D⊥AM ，于D，设|A1F1|=m，根据椭圆的第二定义可得则ADAA1=me3m=csθ∈(0,1)，从而求解．
本题考查椭圆的性质，椭圆的第二定义应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：A中，当a=1时，直线l1的方程为：x+y+1=0，因为两条直线的斜率互为负倒数，所以两条直线垂直，所以A正确；
B中，若两条直线平行，则a+21=3−1≠2−2，解得a=−5，所以B不正确；
C中，直线l1：(a+2)x+3y+3=0整理可得ax+2x+3y+3=0，
联立x=02x+3y+3=0，解得x=0，y=−1，即直线恒过定点(0,−1)，所以C正确；
D中，直线l：x−y−2=0在x轴的截距为2，在y轴的截距为−2，所以直线l在坐标轴上的截距不相等，所以D不正确．
故选：AC．
A中，当a=1时，可得直线l1的方程，可得两条直线的斜率的关系，判断出A的真假；B中，写出两条直线平行的充要条件，可得a的值，判断出B的真假，C中，将直线整理为ax+2x+3y+3=0，可得直线恒过的定点的坐标，判断出C的真假；D中，求出直线l在坐标轴上的焦距，判断出D的真假．
本题考查直线在坐标轴上的截距的求法，两条直线的位置关系的判断方法，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
根据已知条件，结合等差数列的性质与等差数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】
解：∵在等差数列{an}中，a1>0，a6a7<0，设等差数列{an}的公差为d，
∴d<0，a6>0，a7<0，故AB正确；
a12=a7+5d<0，故C正确；
S13=13a7<0，故D错误．
故选ABC．
11.【答案】BCD
【解析】解：由x2+y2−2x−8=0⇒(x−1)2+y2=9，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r=3，A不正确；
因为x=−1时，y=k(−1+1)+1=1，所以点(−1,1)在l上，B正确；
因为圆心(1,0)到(−1,1)的距离为 5<3，所以点(−1,1)在圆内，又点(−1,1)在l上，故l与圆C相交，C正确；
(−1,1)与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短，最短弦长为2 32−( 5)2=4，D正确．
故选：BCD．
一般方程化成标准方程可判断A；点(−1,1)代入直线方程可判断B；根据点(−1,1)在圆内判断C；根据(−1,1)与圆心连线与直线垂直时，l被圆C截得的弦最短判断D．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：当p=2时抛物线C：y2=2x，则F(12,0)，
设AB：x=my+12，由x=my+12y2=2x，消元得y2−2my−1=0，
所以y1y2=−1，所以x1x2=y122⋅y222=14，故A正确；
若NA平分∠BAM，则|BA|=|BN|，且A(2,2)，
所以AF：y=43(x−12)，由y=43(x−12)y2=2x，
解得x=2y=2或x=18y=−12，所以B(18,−12)，所以|AB|=2+18+1=258，
所以xN−xB=258，所以xN=258+18=134，故B错误；
当p=4时抛物线C：y2=4x，则F(1,0)，A(1,2)，所以B(1,−2)，
由y=2 x，则y′=x−12，所以y′|x=1=1−12=1，
所以抛物线在点A处的切线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0，故C正确；
若存在点P(x0,y0)，使得PA⊥PB，则kPA⋅kPB=−1，
而kPA=y0−2x0−1=y0−2y024−1=4y0+2,kPB=y0+2x0−1=y0+2y024−1=4y0−2，
所以4y0+2⋅4y0−2=−1，即y02−4=−16，即y02=−12，显然不符合题意，故D错误．
故选：AC．
当p=2得到抛物线方程，求出焦点坐标，设AB：x=my+12，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，即可判断A，假设NA平分∠BAM，则|BA|=|BN|，求出B点坐标，利用焦半径公式求出|AB|，从而求出xN，即可判断B；当p=4时得到抛物线方程，求出A点坐标，利用导数求出切线方程，即可判断C；假设存在点P(x0,y0)，使得PA⊥PB，则kPA⋅kPB=−1，推出矛盾，即可判断D．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】±1
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的应用，属于基础题．
直接利用直线平行的充要条件求出结果．
【解答】
解：直线l1：2ax+y−2=0与直线l2：2x+ay−3=0平行，
则：2a2=22a×−3≠2×−2，解得a=±1．
故答案为：±1．
14.【答案】3,n=12×3n−1,n≥2
【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn=3n，
n=1时，a1=S1=3，
n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n−3n−1=2⋅3n−1．
则an=3,n=12×3n−1,n≥2．
故答案为：3,n=12×3n−1,n≥2．
利用an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2即可得出．
本题考查了数列的递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】y22−x24=1
【解析】解：与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为x22−y2=λ，(λ≠0)，
∵双曲线过点(2,−2)，
∴λ=222−(−2)2=2−4=−2，
即x22−y2=−2，即y22−x24=1，
故答案为：y22−x24=1．
根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．
本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．
16.【答案】8091
【解析】解：∵数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+⋯+an=nSn=12n+1，
∴Sn=(2n+1)n，
∴当n≥2时，Sn−1=[2(n−1)+1](n−1)=2n2−3n+1，
∴an=Sn−Sn−1=4n−1，
又当n=1时，a1=S1=3，满足an=4n−1，
∴an=4n−1，a2023=4×2023−1=8091．
故答案为：8091．
由题意得Sn=(2n+1)n，利用an与Sn的关系可得an=4n−1，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由题设，BC的中点坐标为(6+02,8+22)=(3,5)，则中线的斜率5−03−4=−5，
则边BC上的中线所在直线的方程为y=−5⋅(x−4)=−5x+20，
所以BC上的中线所在直线的方程为5x+y−20=0．
(2)由题设，边BC的斜率为8−26−0=1，则边BC高的斜率为−1，且过A(4,0)，
则边BC上的高所在直线的方程为y=−x+4，
所以BC上的高所在直线的方程x+y−4=0．
【解析】(1)求BC的中点坐标并求直线斜率，应用点斜式求直线方程；
(2)根据已知求边BC高的斜率，应用点斜式求直线方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1)，
所以圆心C在直线y=1上，
设圆C与x轴的交点分别为A、B，
由圆C被x轴分成的两段弧长之比为1：2，得∠ACB=2π3，
所以CA=CB=2，圆心C的坐标为(2,1)，
所以圆C的方程为(x−2)2+(y−1)2=4；
(2)由点P(3,2)，有(3−2)2+(2−1)2=2<4，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦AB被点P平分，则AB⊥CP，又kCP=2−13−2=1，所以kAB=−1，
所以AB的方程为y−3=−(x−2)，即x+y−5=0，
此时圆心C到直线AB的距离d=2+1−5 1+1= 2<2，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦AB被点P平分，此时直线AB的方程为x+y−5=0．
【解析】(1)由题意可知圆心在直线y=1上，设出圆与x轴的交点分别为A和B，由被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2得到∠ACB的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径AC和CB的长，进而得到圆心C的坐标，再根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可；
(2)假设存在弦AB被点P平分，根据条件，得到AB⊥CP，由此求得直线AB的斜率，再判断直线AB是否与圆相交即可．
本题考查直线与圆的位置关系，需掌握两直线垂直时斜率的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
19.【答案】(1)证明：∵an+1=3an+1，∴an+1+12=3(an+12)
故an+1+12an+12=3，
∴{an+12}是以3为公比，a1+12=32为首项的等比数列．
(2)解：由(1)知an+12=32⋅3n−1，
∴an=3n2−12，
利用分组求和求出Sn=32(1−3n)1−3−n2，
化简得Sn=3n+14−n2−34．
【解析】(1)利用构造法和等比数列的定义即可求出答案．
(2)首先求出an的解析式，再根据分组求和即可求出答案．
本题主要考查了构造法求通项公式，以及分组求和，属于中档题．
20.【答案】证明：(1)连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，如图所示：

因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
因为PB⊥平面ABCD，所以AC⊥PB，因为BD∩PB=B，BD，PB含于面PBD，
所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PD；
(2)因为底面ABCD为正方形，且PB⊥平面ABCD，
所以BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系B−xyz，如图所示：

所以C(0,1,0)，D(1,1,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，所以CD=(1,0,0)，PC=(0,1,−2)，DE=(−1,−1,1)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CD=0n⋅PC=0，即x=0y−2z=0，
令z=1，则n=(0,2,1)，设直线DE与平面PCD所成角为α，由图可知α为锐角，
则sinα=|cs|=|n⋅DE||n|⋅|DE|=1 5× 3= 1515，
即直线DE与平面PCD所成角的正弦值为 1515．
【解析】(1)连接AC，设AC与BD交点为O，连接PO，根据ABCD为正方形得到AC⊥BD，再利用线面垂直得到AC⊥PB，然后利用线面垂直的判定得出AC⊥平面PBD，进而得到线线垂直；
(2)根据ABCD为正方形和PB⊥平面ABCD可知：BA，BC，BP两两垂直，则建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由已知，3a1+3d=9(a1+d)2=a1(a1+4d)，解得a1=1d=2．
∴an=1+2(n−1)=2n−1；
(Ⅱ)∵bn=2n−1an=(2n−1)2n−1，
∴Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n−3)×2n−2+(2n−1)×2n−1，
2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n−3)×2n−1+(2n−1)×2n，
两式作差可得：−Tn=1+22+23+…+2n−(2n−1)×2n=1+4(1−2n−1)1−2−(2n−1)×2n，
得Tn=(2n−3)×2n+3．
【解析】(Ⅰ)由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，则通项公式可求；
(Ⅱ)利用错位相减法求解．
本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
22.【答案】(1)解：因为双曲线E的左、右焦点为F1(− 3,0)，F2( 3,0)，
所以c= 3，双曲线E：x2a2−y2b2=1的渐近线为y=±bax，因为|F1P|= 2，
所以F1(− 3,0)到双曲线一条渐近线的距离为：| 3b| a2+b2= 3bc=b= 2，
则a= c2−b2=1，
所以双曲线E：x2−y22=1；
(2)证明：由题意可得A(−1,0)，B(1,0)，
设直线l：x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x=my+2x2−y22=1，消去x整理得：(2m2−1)y2+8my+6=0，Δ=16m2+24>0，
则y1+y2=−8m2m2−1,y1y2=62m2−1，|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= 16m2+24|2m2−1|，
设直线方程MA：y=y1x1+1(x+1)，可得R(0,y1x1+1)，
设直线NA：y=y2x2+1(x+1)，可得S(0,y2x2+1)，
所以|RS|=|y1x1+1−y2x2+1|=2，因为x1=my1+2，x2=my2+2，
所以|y1x1+1−y2x2+1|=|y1my1+3−y2my2+3|=|y1(my2+3)−y2(my1+3)(my1+3)(my2+3)|
=3|y1−y2||m2y1y2+3m(y2+y1)+9|=2，
又|m2y1y2+3m(y2+y1)+9|=|m262m2−1+3m(−8m2m2−1)+9|=9|2m2−1|，
所以3|y1−y2||m2y1y2+3m(y2+y1)+9|=3 16m2+24|2m2−1|9|2m2−1|=2，
所以16m2+24=36，化简得m2=34，所以m=± 32，
所以直线l的方程为：x=± 32y+2，
则S△AMN=12×3×|y2−y1|=12×3× 16m2+24|2m2−1|=18．
【解析】(1)由题意可得c= 2，再由F1(− 3,0)到双曲线一条渐近线的距离可得b，进而得到双曲线方程；
(2)设直线l：x=my+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，把直线方程代入双曲线方程整理可得：y1+y2=−8m2m2−1，y1y2=62m2−1，求得MA，NA方程，求得R，S两点坐标，再由|RS|=2，求出m，即可求出直线l的方程，最后由三角形面积公式求出△AMN的面积．
本题考查了直线与双曲线位置关系的综合应用，属于难题．