数学第一册上册四种命题课后作业题

这是一份数学第一册上册四种命题课后作业题，共32页。

知识点01 命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…．
【即学即练】下列语句为命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形B．同位角相等
C．D．
知识点02 全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
知识点03 存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数D．有一个偶数是素数
知识点04 全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练】命题“，”的否定是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
知识点05 常用的正面叙述词语和它的否定词语
题型01 命题的概念
【典例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）是有理数；
（2）年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
（3）；
（4）梯形是不是平面图形呢？
（5）；
（6）请勿喧哗；
（7）.
【变式1】有下列语句，其中是命题的个数为（ ）．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．
A．3B．4C．5D．6
【变式2】下列语句是命题的是（ ）
A．空集是任何集合的子集B．指数函数是增函数吗？C．x>15D．2x-10.
（3）垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
（4）一个数不是奇数就是偶数；
（5）2030年6月1日上海会下雨.
题型02 判断命题的真假
【典例1】判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若，则；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；
(6)．
【变式1】下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则D．若是小数}，则
【变式2】（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A．，B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．若n为整数，则是偶数D．若，则
【变式3】（多选）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．任何一个四边形的内角和都是
C．四边形都有外接圆
D．，使得
【变式4】（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型03 已知命题的真假求参数
【典例1】命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为
【变式1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（ ）
A．4B．2
C．0D．
【变式2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ．
【变式3】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【变式4】若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
题型04 判断全称量词命题与存在量词命题
【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示．
(1)整数的平方大于或等于零；
(2)存在实数，满足；
(3)实数的绝对值是非负数；
(4)存在实数，使函数的值随的增大而增大．
【变式1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形B．，
C．，D．存在一个实数x，使
【变式2】下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数
B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得是质数
D．存在一个实数x，使得
【变式3】下列命题中的存在量词命题是（ ）
A．所有能被3整除的整数都是奇数B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
C．有的三角形是等边三角形D．任意两个等边三角形都相似
【变式4】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．
(1)对任意的实数，都有；
(2)存在实数，使得；
(3)所有的素数都是奇数；
(4)方程的每一个根都是正数．
题型05 判断全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例1】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数，，若，都有；
(4)存在一个实数x，使得．
【变式1】下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是菱形
B．，使
C．至少有一个实数，使
D．，使
【变式2】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．直角三角形的内角是锐角或直角B．至多有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使
【变式3】（多选）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．任意实数的平方大于0
C．有些菱形是正方形
D．对任意的整数不是4的倍数
【变式4】（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．有些菱形是正方形B．若，则
C．，D．，
题型06 根据全称量词命题的真假求参数
【典例1】命题“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【变式1】已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是
【变式4】对任意，等式成立，则实数 .
题型07 根据存在量词命题的真假求参数
【典例1】若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【变式1】已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】命题，是假命题，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【变式3】若命题“”是真命题，则不能等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式4】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型08 全称（存在）量词命题的否定
【典例1】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1】命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式3】命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命题为全称量词命题的是（ ）
A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
3．下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等
B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形
C．正数的平方根不等于0
D．至少有一个正整数是偶数
4．下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在，使B．存在，使
C．有的素数是偶数D．有的实数为正数
5．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
8．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．或B．若则
C．，D．，
9．（多选）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
10．若命题 ，则p的否定是 ，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是
11．设集合．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
12．已知命题p：，都有，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．
教学目标
1.理解命题的否定的
含义，会写给定命题的
否定并判断命题的真假；
2.正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;
3.明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.
教学重难点
重点：了解命题的否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
难点：根据命题的真假求参数。
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有
专题1.4 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定

知识点01 命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…．
【即学即练】下列语句为命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形B．同位角相等
C．D．
【答案】B
【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果.
【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假，
故选：B.
知识点02 全称量词与全称量词命题
概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.
对全称量词与全称量词命题的理解
(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
(2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”.
(4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
【即学即练】下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①任意一个自然数都是正整数；
②有的平行四边形也是菱形；
③n边形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】①③是全称量词命题．
知识点03 存在量词与存在量词命题
概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为.
对存在量词与存在量词命题的理解
(1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
(2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
(3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
(4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”.
(5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
【即学即练】下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数D．有一个偶数是素数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.
【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；
对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；
对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；
对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；
故选：D.
知识点04 全称量词命题和存在量词命题的否定
1全称量词命题及其否定（高频考点）
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
2存在量词命题及其否定（高频考点）
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
【即学即练】命题“，”的否定是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据存在性命题的否定求解.
【详解】由存在性命题的否定知，
，的否定是，.
故选：C
知识点05 常用的正面叙述词语和它的否定词语
题型01 命题的概念
【典例1】判断下列语句是不是命题，并说明理由.
（1）是有理数；
（2）年夏季奥运会的举办城市是日本的东京；
（3）；
（4）梯形是不是平面图形呢？
（5）；
（6）请勿喧哗；
（7）.
【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析；（4）不是，理由见解析；（5）是，理由见解析；（6）不是，理由见解析；（7）是，理由见解析
【分析】结合命题的概念，对题中语句逐个分析，可得出答案.
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能判断它是假的，所以它是命题；
（2）“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京”是陈述句，并且能判断它是真的，所以它是命题；
（3）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题；
（4）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题；
（5）因为“”中，所以“”是真的，所以它是命题；
（6）“请勿喧哗”是祈使句，不是陈述句，所以它不是命题；
（7）“”是假的，所以它是命题.
【点睛】①一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；
②语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；
③对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题.
【变式1】有下列语句，其中是命题的个数为（ ）．
（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好．
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题；
（2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题；
（3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（4）不能判断是否正确，所以不是命题；
（5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题；
（6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题.
所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题．
故选：A
【变式2】下列语句是命题的是（ ）
A．空集是任何集合的子集B．指数函数是增函数吗？C．x>15D．2x-115，2x-10.
（3）垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
（4）一个数不是奇数就是偶数；
（5）2030年6月1日上海会下雨.
【答案】（1）不是；答案见解析（2）是；答案见解析（3）不是；答案见解析（4）是；答案见解析（5）不是；答案见解析.
【分析】根据命题的定义分别判断即可．
【详解】解：（1）不是命题，不能判断真假.
（2）是命题.当时，能判断真假.
（3）疑问句，不是命题.
（4）是命题，能判断真假.
（5）不是命题，不能判断真假.
【点睛】本题主要考查命题的定义，属于基础题．
题型02 判断命题的真假
【典例1】判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若，则；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；
(6)．
【答案】(1)不是命题；
(2)是命题，真命题；
(3)不是命题；
(4)是命题；真命题；
(5)是命题，假命题；
(6)不是命题.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假.
【详解】（1）是祈使句，不是命题．
（2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题．
（3）是疑问句，不是命题．
（4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果.
（5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数．
（6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
【变式1】下列命题为真命题的是（ ）
A．若a，b都是有理数，则是有理数B．若a，b都是无理数，则是无理数
C．若，则D．若是小数}，则
【答案】A
【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误．
【变式2】（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A．，B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．若n为整数，则是偶数D．若，则
【答案】AC
【分析】举例判断A，根据菱形定义判断B，根据整数性质判断C，因式分解判断D.
【详解】对于A，当时，，所以，为真命题.
对于B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，为假命题.
对于C，，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，为真命题.
对于D，若，则，所以或，假命题.
故选：AC
【变式3】（多选）下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．有的无理数的平方是有理数
B．任何一个四边形的内角和都是
C．四边形都有外接圆
D．，使得
【答案】AD
【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假.
【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题.
对于A，因为是无理数，2是有理数，A中命题是真命题，其否定是假命题；
对于B，平面四边形的内角和是，B中命题是假命题，其否定是真命题；
对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题；
对于D，因为当时，，所以原命题为真命题，其否定为假命题.
故选：AD.
【变式4】（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AD
【分析】判断每个选项的命题的真假即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，都为无理数，故C错误；
对于D，取，则，满足条件，故D正确；
故选：AD
题型03 已知命题的真假求参数
【典例1】命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为
【答案】
【分析】由命题为真，即解不等式即可；
【详解】解：有两个不相等的实数根，则解得且
故的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查命题的真假求参数的取值范围，属于基础题.
【变式1】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（ ）
A．4B．2
C．0D．
【答案】ABD
【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可.
【详解】因为方程有实数根，所以，解得或，
故当，，时符合条件.
故选：ABD.
【变式2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ．
【答案】或
【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可．
【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解；
②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为．
综上可得当或时，方程有实数解．
故答案为：或
【变式3】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到，解得答案.
【详解】命题“，”是真命题，则，
解得.
故答案为：.
【变式4】若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由命题否定为真命题可得参数范围．
【详解】解：命题为假命题，则：“，”为真命题，
恒成立，
故，解得．
故答案为：．
题型04 判断全称量词命题与存在量词命题
【典例1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示．
(1)整数的平方大于或等于零；
(2)存在实数，满足；
(3)实数的绝对值是非负数；
(4)存在实数，使函数的值随的增大而增大．
【答案】(1)全称量词命题，符号表示为
(2)存在量词命题，符号表示为
(3)全称量词命题，符号表示为
(4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大．
【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解．
【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为；
（2）这是存在量词命题，符号表示为；
（3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为；
（4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大．
【变式1】下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形B．，
C．，D．存在一个实数x，使
【答案】A
【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.
【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；
对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误；
CD选项都为存在量词命题，不合题意.
故选：A.
【变式2】下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．存在一个实数的平方是负数
B．每个四边形的内角和都是360°
C．至少有一个整数x，使得是质数
D．存在一个实数x，使得
【答案】B
【分析】由存在量词和全称量词的性质逐项判断即可；
【详解】选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题.
故选：B.
【变式3】下列命题中的存在量词命题是（ ）
A．所有能被3整除的整数都是奇数B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
C．有的三角形是等边三角形D．任意两个等边三角形都相似
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的定义求解即可.
【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误；
对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误；
对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确；
对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误.
故选：C.
【变式4】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假．
(1)对任意的实数，都有；
(2)存在实数，使得；
(3)所有的素数都是奇数；
(4)方程的每一个根都是正数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定并判定真假即可.
【详解】（1）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个实数，使得．原命题的否定是真命题．
（2）存在量词命题．
原命题的否定：对任意的实数，都有．原命题的否定是假命题．
（3）全称量词命题．
原命题的否定：存在一个素数不是奇数．原命题的否定是真命题．
（4）全称量词命题．
原命题的否定：方程至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题.
题型05 判断全称量词命题与存在量词命题的真假
【典例1】指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数，，若，都有；
(4)存在一个实数x，使得．
【答案】(1)全称量词命题，真命题；
(2)存在量词命题，真命题；
(3)全称量词命题，假命题；
(4)存在量词命题，假命题.
【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假.
【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题．
（2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题．
（3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题．
（4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题．
【变式1】下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．所有正方形都是菱形
B．，使
C．至少有一个实数，使
D．，使
【答案】C
【分析】先判断量词，再判断量词命题的真假即可得解.
【详解】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误；
B，，使为存在量词命题，
而恒成立，该命题为假命题，故B错误；
C，至少有一个实数，使为存在量词命题，
当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确；
D，，使为存在量词命题，
而恒成立，该命题为假命题，故D错误；
故选：C.
【变式2】下列命题既是真命题又是全称量词命题的是（ ）
A．直角三角形的内角是锐角或直角B．至多有一个实数，使
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使
【答案】A
【分析】根据全称命题及真假分别判断各个选项即可.
【详解】直角三角形的内角是锐角或直角,原命题为真命题，属于全称量词命题，A正确；
当时，满足，原命题为真命题且是存在量词命题，B错误；
存在，原命题为全称量词命题且为假命题，C错误；
对于任意一个负数，都有，原命题为存在量词命题且为假命题，D错误．
故选：A.
【变式3】（多选）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个末位是0的整数都是5的倍数
B．任意实数的平方大于0
C．有些菱形是正方形
D．对任意的整数不是4的倍数
【答案】AD
【分析】根据命题所含量词判断全称量词命题，再判断真假即可.
【详解】由题意，ABD是全称量词命题，C是存在量词命题，
其中AD都是真命题，B 中，为假命题.
故选：AD
【变式4】（多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ）
A．有些菱形是正方形B．若，则
C．，D．，
【答案】ACD
【分析】根据特称命题的定义，逐项进行检验，可得答案.
【详解】对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确；
对于B，等价于，则，这不是存在量词命题，故B错误；
对于C，对有，故C正确；
对于D，对有，故D正确.
故选：ACD.
题型06 根据全称量词命题的真假求参数
【典例1】命题“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】写出原命题的否定，根据真假性列不等式来求得的取值范围.
【详解】命题“”为假命题，
命题“”为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【变式1】已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果.
【详解】因为命题为真命题，
则对恒成立，
所以，
即的取值范围是.
故选：D
【变式2】若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围.
【详解】因为“，”为假命题，
所以“，”是真命题，
即方程有实数根，则，解得，
即实数的取值范围是．
故选：A．
【变式3】若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解.
【详解】由题意可知，任意，是真命题，
当时，成立，
当时，，得，
综上可知，的取值范围是.
故答案为：
【变式4】对任意，等式成立，则实数 .
【答案】
【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解.
【详解】因为对任意，等式成立，
所以，
则，解得.
故答案为：.
题型07 根据存在量词命题的真假求参数
【典例1】若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围.
【详解】因为“”为假命题，
所以“”为真命题，
即方程没有实数根，
所以，故，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式1】已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围.
【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“”为真命题.
由，，移项可得，
因为，两边同时除以，得到在上恒成立.
在中，因为，所以2x和都是正实数，则，
当且仅当，即时等号成立.
因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值，
即，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
【变式2】命题，是假命题，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】因为命题，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得，根据选项的值，可判断选项B符合．
【变式3】若命题“”是真命题，则不能等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据命题为真分离参数求得在上的最大值，可得结果.
【详解】由，可得，
即.
故选：D.
【变式4】已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原命题为假命题则它的否定为真命题，由二次函数的性质得到判别式小于0，建立不等式求得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题的否定“，”是真命题，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：D.
题型08 全称（存在）量词命题的否定
【典例1】命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】运用全称量词命题的否定为存在量词命题变形即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”，
故选：C.
【变式1】命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”.
故选：D
【变式2】命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是存在命题即可得到答案．
【详解】，的否定是，，
故选：A．
【变式3】命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由特称命题的否定定义可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选:D.
【变式4】命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.
【详解】命题“任意实数，都有”的否定是:
.
故选：B.
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由命题的否定求解即可.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
2．下列命题为全称量词命题的是（ ）
A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
【答案】C
【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题．
3．下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
A．正方形的四条边相等
B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形
C．正数的平方根不等于0
D．至少有一个正整数是偶数
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案．
【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题.
故选：D
4．下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在，使B．存在，使
C．有的素数是偶数D．有的实数为正数
【答案】B
【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立．
5．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可.
【详解】由题意知“，”是真命题，
所以，解之可得,
所以的取值范围是.
故选：B
6．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
7．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案.
【详解】命题“”为假命题，
则，
当时，，成立；
当时，则，解得，即；
当时，成立；
综上所述：.
故选：D.
8．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．或B．若则
C．，D．，
【答案】ACD
【分析】根据命题的真假的概念判断．
【详解】选项A，是真命题，因此或命题为真，A正确；
选项B，时，，但，B错误；
选项C，当时，，存在性命题为真，C正确；
选项D，由平方性质知D正确，
故选：ACD．
9．（多选）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可.
【详解】命题，为假命题，则，.
当时满足题意；当时，有，解得.
综上有
故选：ABC
10．若命题 ，则p的否定是 ，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】根据命题的否定及其真假即可得到答案.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
则p的否定是“”，
若命题p为假命题，则其否定为真命题，则，解得.
故答案为：；.
11．设集合．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全称量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据存在量词命题，元素与集合，集合与集合的关系列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）若，则，
当时，，满足，
当时，，要使，
则需，解得，
综上所述，的取值范围是.
（2）若，，
先求时的取值范围：
当当时，，满足.
当当时，，要使，
则需或，解得.
综上所述，时，或，
所以当时，.
12．已知命题p：，都有，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】¬p是假命题，则p是真命题，利用集合的包含关系列不等式求实数a的取值范围．
【详解】因为¬p是假命题，所以p是真命题，
又，都有，
所以，
则，解得，
即实数a的取值范围是．
教学目标
1.理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假；
2.正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;
3.明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.
教学重难点
重点：了解命题的否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式。
难点：根据命题的真假求参数。
正面词语
等于（）
大于（）
小于（）
是
否定词语
不等于（）
不大于（）
不小于（）
不是
正面词语
都是
任意的
所有的
至多一个
至少一个
否定词语
不都是
某个
某些
至少两个
一个也没有