内蒙古锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试卷(含解析)

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的面积为（ ）

A．B．9C．8D．7
3．下列三边组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的面积为（ ）
A．B．C． 或 D．以上都不对
5．如图，在中，，，；D为上一点．若是的平分线，则的长是（ ）

A．3B．4C．5D．6
6．如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（ ）
A．①②B．②③④C．①②③D．①③④⑤
7．如图，已知点C为线段AB的中点，．按下列步骤作图：
（1）分别以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D；
（2）作射线AD，并在射线AD上截取；
（3）连接CE，设CE的中点为F，连接BF．
则BF的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小B．一直减小后增大
C．一直不变D．先增大后减小
二、填空题
9．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为 cm2．
10．已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是
11．如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上的一点，且，F为的中点，若的周长为30，则的长为 ．
12．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ．
三、解答题
13．如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
14．计算：．
15．如图，在中，相交于点O．
(1)求的长；
(2)求面积．
16．如图，已知在中，是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接．
(1)当秒时，求的面积；
(2)若平分，求t的值；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
17．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
(1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足，，求的值．
(3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．
例如：如图1，在中，如果是边上的中线，那么和是“朋友三角形”，则有．
应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
(1)求证：和是“朋友三角形”．
(2)如图3，在四边形中，，//，，，点在上，点在上，与交于点，．
①求证：和是“朋友三角形”；
②连接，若和是“朋友三角形”，求四边形的面积．
(3)在中，，，点在线段上，连接，和是“朋友三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，则的面积是________（请直接写出答案）．
内蒙古锡林郭勒盟三县联考2024--2025学年八年级下学期期中考试数学卷参考答案
1．A
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，解得：，
故选：A．
2．B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
解得：，
∴，
故选：B；
3．B
【详解】A．，所以能够成直角三角形，故不符合题意．
B．，所以不能够成直角三角形，故符合题意．
C．，所以能够成直角三角形，故不符合题意．
D．，所以能够成直角三角形，故不符合题意．
故选：B
4．C
【详解】解：由题意得，当腰为时，则第三边也为腰，为，
此时．
故以，，可构成三角形，
如图：，
则，

∴，则三角形的面积；
当腰为时，则第三边也为腰，为6，
此时，故以，，可构成三角形，
如图：，
则，

∴，
则三角形的面积．
故选：C．
5．C
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．C
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
在和中 ，
，
∴，故③正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴ 故④错误；
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当时，，
则，
即，
∵与不一定垂直，
∴不一定等于，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②③，
故选：.
7．C
【详解】解：如下图，连接CD，
∵C为线段AB的中点，，
∴，
∵以点A和C为圆心，以AC长为半径画弧，两弧相交于点D，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴在中，，，
，
∵F为CE的中点，
∴，
∴在中，．
故选：C．
8．A
【详解】过点P作，交的延长线于点H，
∵平行四边形，
∴，；
∵，
∴，
∴，
根据正方形的性质，得，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
根据正方形的性质，，得，，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据运动属性，得一直增大，继而判定一直减小，
故选A．

9．10
【详解】解：如下图所示：

根据勾股定理可知，
∵，
，
，
∴，
故答案为：10．
10．40或88
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，则，

∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，如图，过点作的垂线交于点，则，

∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是正方形，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：40或88．
11．
【详解】解：的周长为30，
．
为的中点，
．
在正方形中，，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，
∵O为的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
12．
【详解】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
,
．
故答案为：．
13．此时梯子底端离墙的距离为1.4m．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，
∴
答：此时梯子底端离墙的距离为1.4m．
14．5
【详解】解：
．
15．(1)
(2)48
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，由勾股定理得：，
∴；
（2）解：的面积是．
16．(1)；
(2)；
(3)或．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
∴，
∴当秒时，求的面积为；
（2）解：当线段恰好平分时，作于，如图，
∵线段平分，， ，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
（3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图，
则，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图，
同得 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使．
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：如图2，正方形的面积，
正方形的面积，
；
（2），且，，
，
即，
的值为．
（3）如图3，正方形的面积，
正方形的面积，
，
即．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②四边形的面积为48
(3)8或
【详解】（1）证明：连接EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴，即是的中线，
∴和是“朋友三角形”；
（2）①证明：∵//，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴和是“朋友三角形”；
②解：∵和是“朋友三角形”，
∴，
∵，
，
∵和是“朋友三角形”，
∴，
∵，
∴，
∵和是“朋友三角形”，
，
∴四边形的面积
；
（3）分为两种情况：
①如图1所示：
∵，
∴，
∵沿折叠A和重合，
∴，
∵与重合部分的面积等于面积的，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过作于，
∵，，
∴，
即和重合，
∴，由勾股定理得，
∴的面积；
②如图2所示：
∵.
∴，
∵沿折叠A和重合，
∴，
∵与重合部分的面积等于面积的，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过作于，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，的面积是8或．
故答案为：8或．题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
B
B
C
C
C
C
A